Axiomática de Tarski (números reales)

La axiomática de los números reales de Tarski es una variante del sistema de bases de la aritmética de los números reales propuesto por Alfred Tarski en 1936 [1] .

Características

Esta axiomática de Tarski se puede considerar como una versión de la definición más usual del conjunto de números reales como un solo campo ordenado completo en el sentido de Dedekind [2] (ver también propiedad Least-upper-bound ).

El enfoque de Tarski, a diferencia de los análogos más comunes (ver el artículo Números reales ), contiene solo 9 axiomas que conectan cuatro conceptos primitivos [3] .

Cabe señalar que la axiomática de Tarski no utiliza lógica de primer orden , sino de segundo orden , lo que también la distingue de las análogas. La brevedad de la axiomática se logra mediante el uso de variantes poco ortodoxas de los axiomas algebraicos estándar y otros trucos sutiles (ver, por ejemplo, los axiomas 5 y 6, que combinan los cuatro axiomas habituales de los grupos abelianos ). Además, la compacidad de la lista de axiomas exige la tediosa prueba de una larga lista de teoremas que "llevan" la teoría a un nivel práctico [4] .

Axiomática

La axiomática de Tarski utiliza cuatro conceptos primitivos (indefinidos).

  1. Un conjunto de números, denotados R .
  2. Una relación binaria del orden completo de los elementos de R , denotada por el símbolo infijo < .
  3. La operación de suma binaria en R , denotada por el símbolo infijo +.
  4. constante 1.

Estos conceptos están conectados por los siguientes nueve axiomas [3] .

Axiomas de orden para R
  1. ( linealidad ): si x ≠ y , entonces x < y o y < x .
  2. ( asimetría ): si x < y , entonces y < x es falso .
  3. (ley de densidad de orden): si x < z , entonces existe un y tal que x < y y y < z .
  4. (Axioma de continuidad de Dedekind): para cualquier subconjunto X , Y ⊆ R , si x  <  y para cualquier x  ∈  X e y  ∈  Y , entonces existe un elemento z tal que para cualquier x  ∈  X e y  ∈  Y se cumple la siguiente propiedad : si z  ≠  x y z  ≠  y , entonces x  <  z y z  <  y .

El último axioma significa claramente que si todos los elementos del conjunto X están ubicados en el eje numérico a la izquierda de todos los elementos del conjunto Y, entonces hay al menos un número real entre estos conjuntos. Es este axioma, que contiene dos subconjuntos de cuantificadores , lo que hace que la axiomática de Tarski no pertenezca al primer, sino al segundo orden de la lógica. El uso del axioma de continuidad permite (después de definir la multiplicación) introducir primero números racionales [5] y luego números reales arbitrarios como secciones de Dedekind [2] .

Axiomas de suma
  2. X  + ( y  +  z ) = ( X  +  z ) +  y .
  3. (posibilidad de sustracción ): para cualquier x , y , existe una z tal que x  +  z  =  y . Una de las consecuencias de este axioma es la existencia del cero como solución de la ecuación 1 +  x  = 1.
  4. si x  +  y  <  z  +  w , entonces x  <  zo y  <  w .
Axiomas para la unidad
  2. (existencia): 1 ∈ R .
  3. 1 < 1 + 1.

Tarski demostró que todos los axiomas excepto el primero son independientes (el primero puede deducirse de los demás [4] ). De los axiomas se deduce que R es un grupo abeliano linealmente ordenado divisible con respecto a la suma con elemento distinguido positivo 1. También se prueba la existencia de la multiplicación , la división y sus propiedades habituales. R es completa en el sentido de Dedekind .

Nota

El primer axioma ( linealidad del orden) se sigue del resto de los axiomas [6] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Tarski, Alfred. Introducción a la Lógica ya la Metodología de las  Ciencias Deductivas . - 4. - Oxford University Press , 1994. - ISBN 978-0-19-504472-0 .
  2. ↑ 1 2 Ver el enfoque de Dedekind en el libro: Fikhtengolts G. M. El curso de cálculo diferencial e integral. - Ed. 6to. - M. : Nauka, 1966. - T. I.
  3. ↑ 1 2 Tarski. Introducción a la Lógica, 1948 , p. 275.
  4. ↑ 1 2 Tarski. Introducción a la Lógica, 1948 , p. 278.
  5. ↑ Tarski. Introducción a la Lógica, 1948 , p. 285.
  6. ↑ Ucsnay, Stefanie. Una nota sobre la nota de Tarski  //  The American Mathematical Monthly  : revista. - 2008. - Enero ( vol. 115 , no. 1 ). - P. 66-68 . — .

Literatura