Actitud asimétrica

Una relación asimétrica en matemáticas es una relación binaria sobre un determinado conjunto que tiene la siguiente propiedad de “no reciprocidad” para cualquiera de ellos [1] : si esta relación está conectada con entonces no está conectada con . Notación formal: $R$ $X,$ $a, b$ $X$ $a$ $b,$ $b$ $a$

\forall a,b\in X(aRb\Rightarrow \lnot (bRa))

Un ejemplo es la relación "menor que" entre números reales : si , entonces es imposible que simultáneamente . En cambio, la relación "menor o igual que" no es asimétrica, ya que ambas desigualdades se cumplen en el caso: Otro ejemplo: la relación "ser padre". $x<y$ ${\ estilo de visualización y <x}$ $x=y$ $x\leqslant y;\y\leqslant x.$

De la definición se sigue que para una relación asimétrica no vacía la situación es imposible para cualquier elemento . Tales relaciones se denominan antirreflexivas (en otra terminología, irreflexivas ). $R$ $aRa$ $una.$

La antípoda de la asimétrica es la relación simétrica , para la cual la relación es siempre mutua: si entonces La única relación binaria que es a la vez simétrica y asimétrica es la relación vacía . $aRb,$ $bRa.$

No se debe confundir la relación asimétrica y antisimétrica - esta última no excluye la posibilidad y al mismo tiempo, si la relación antes mencionada "menor que o igual a" es antisimétrica, pero no asimétrica. Regla general [2] : $aRb$ $b R un$ ${\ estilo de visualización a = b.}$

Una relación binaria es asimétrica si y sólo si es antisimétrica y también antirreflexiva.

Propiedades

Si una relación es asimétrica, entonces su inversión y su contracción también lo son. Por ejemplo, la restricción de la relación real "menor que" a los números enteros es asimétrica, y también lo es su inversión: la relación "mayor que". $R$
Una relación transitiva es asimétrica si y sólo si es antirreflexiva [3] . De hecho, y en virtud de la transitividad, implica de donde se desprende que las "relaciones mutuas" son imposibles. $aRb$ $b R un$ $aRa,$
- Corolario: una relación es transitiva y asimétrica si y solo si es un orden parcial estricto .
No todas las relaciones asimétricas representan un orden parcial estricto. Ejemplo: una relación piedra-papel-tijera es asimétrica pero no transitiva (ni siquiera "anti-transitiva"):
- si vence , entonces no vence $X$ $y$ $y$ ${\ estilo de visualización x;}$
- si vence y vence , entonces no vence . $X$ $y$ $y$ ${\ estilo de visualización z,}$ $X$ $z$
Una relación asimétrica no tiene que ser completa [ , es decir, no hay garantía de que para cualquier par de elementos , o se cumpla . $x, y$ $xRy$ $yRx.$ $X$

Aplicación

Véase, por ejemplo, la axiomática de Tarski para números reales : uno de los axiomas requiere la asimetría de la relación " menor que ".

Notas

↑ Gries, David & Schneider, Fred B. (1993), Un enfoque lógico de las matemáticas discretas , Springer-Verlag, p. 273 .
↑ Nievergelt, Yves (2002), Fundamentos de lógica y matemáticas: aplicaciones a la informática y la criptografía , Springer-Verlag, p. 158 .
↑ Flaška, V.; Flaška, V.; Jezek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Cierres transitivos de relaciones binarias I (inglés) . - Praga: Escuela de Matemáticas - Universidad Charles de Física, 2007. - P. 1. Copia archivada (enlace inaccesible) . Consultado el 2 de septiembre de 2018. Archivado desde el original el 2 de noviembre de 2013. (indefinido) Lema 1.1(iv). Tenga en cuenta que esta fuente se refiere a las relaciones asimétricas como "estrictamente antisimétricas".

Literatura

Aleskerov F. T., Khabina E. L., Shvarts D. A. Relaciones binarias, gráficos y soluciones colectivas. - M. : Libros de texto de la Escuela Superior de Economía, 2006. - 300 p.

Enlaces

Diferencia entre relación asimétrica y antisimétrica