Campo (álgebra)

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Un campo en álgebra general es un conjunto para cuyos elementos se definen las operaciones de suma , tomando el valor opuesto , multiplicación y división (excepto la división por cero ), y las propiedades de estas operaciones son cercanas a las propiedades de las operaciones numéricas ordinarias . El campo más simple es el campo de los números racionales (fracciones). Los elementos de un campo no son necesariamente números, por lo que aunque los nombres de las operaciones de campo se toman de la aritmética , las definiciones de las operaciones pueden estar lejos de la aritmética.

El campo es el principal tema de estudio de la teoría de campos . Números racionales , reales , complejos , funciones racionales [1] y residuos módulo un número primo dado forman campos .

Historia

En el marco del concepto de campo , Galois trabajó implícitamente en 1830, utilizando la idea de una extensión algebraica de un campo, logró encontrar una condición necesaria y suficiente para que una ecuación en una variable sea resuelta en radicales _ Posteriormente, con la ayuda de la teoría de Galois , se demostró la imposibilidad de resolver problemas tan clásicos como la cuadratura de un círculo , la trisección de un ángulo y la duplicación de un cubo .

Una definición explícita del concepto de campo se atribuye a Dedekind (1871), quien utilizó el término alemán Körper (cuerpo). El término "field" ( campo inglés ) fue introducido en 1893 por el matemático estadounidense Eliakim Hastings Moore [2] .

Siendo la más cercana de todas las abstracciones algebraicas generales a los números ordinarios, el campo se usa en álgebra lineal como una estructura que universaliza el concepto de escalar , y la estructura principal del álgebra lineal, el espacio lineal , se define como una construcción sobre un objeto arbitrario. campo. Además , la teoría de campos constituye en gran medida la base instrumental de secciones como la geometría algebraica y la teoría algebraica de números .

Definiciones formales

Formalmente, un campo es un álgebra sobre un conjunto que forma un grupo conmutativo por suma sobre un elemento neutro y un grupo conmutativo por multiplicación sobre elementos distintos de cero , con la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. $F$ $+$ $F$ ${\ símbolo de negrita {0}}$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Si ampliamos la definición, entonces un conjunto con las operaciones algebraicas de suma y multiplicación introducidas en él ( , es decir ) se llama campo si se cumplen los siguientes axiomas: $F$ $+$ $*$ $+\dos puntos F\times F\to F,\quad *\dos puntos F\times F\to F$ $\para todo a,b\en F\quad (a+b)\en F,\;a*b\en F$ $\left\langle F,+,*\right\rangle$

Conmutatividad de la suma: . $\para todo a,b\in F\quad a+b=b+a$
Asociatividad de adición: . $\para todo a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$
Existencia de un elemento nulo: . $\exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a$
La existencia del elemento opuesto: . $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0))$
Conmutatividad de la multiplicación: . $\para todo a,b\in F\quad a*b=b*a$
Asociatividad de la multiplicación: . $\para todo a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$
Existencia de un solo elemento: . $\exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a$
Existencia de elemento inverso para elementos distintos de cero: . $(\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0)))\;\existe a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e$
Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma: . $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)$

Los axiomas 1-4 corresponden a la definición de un grupo conmutativo por adición sobre ; los axiomas 5-8 corresponden a la definición de un grupo conmutativo por multiplicación sobre ; el axioma 9 conecta las operaciones de suma y multiplicación por una ley distributiva. $+$ $F$ $*$ $F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}$

Los axiomas 1-7 y 9 son la definición de un anillo conmutativo con identidad.

Todos los axiomas anteriores, a excepción de la conmutatividad de la multiplicación, también corresponden a la definición de un cuerpo .

En conexión con otras estructuras (históricamente emergentes más tarde), un campo puede definirse como un anillo conmutativo que es un anillo de división . La jerarquía de la estructura es la siguiente:

Anillos conmutativos ⊃Dominios de integridad ⊃ Anillos factoriales ⊃Dominios de ideales principales ⊃ Anillos euclidianos ⊃ Campos.

Definiciones relacionadas

Sobre los campos, las definiciones algebraicas generales básicas se introducen de forma natural: un subcampo es un subconjunto que es en sí mismo un campo con respecto a la restricción de operaciones del campo principal a él, y una extensión es un campo que contiene lo dado como un subcampo.

El homomorfismo de campos también se introduce de forma natural: como una aplicación tal que , y . En particular, ningún elemento invertible bajo el homomorfismo puede ir a cero, ya que , por lo tanto, el núcleo de cualquier homomorfismo de campo es cero, es decir, el homomorfismo de campo es una incrustación . $F$ $f(a+b)=f(a)+f(b)$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $f(1)=1$ $f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1$

La característica del campo es la misma que la característica del anillo : el entero positivo más pequeño tal que la suma de copias de uno es cero: $norte$ $norte$

\underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.

Si tal número no existe, entonces la característica se considera igual a cero. El problema de determinar la característica generalmente se resuelve utilizando el concepto de un campo simple : un campo que no contiene sus propios subcampos, debido al hecho de que cualquier campo contiene exactamente uno de los campos simples.

Los campos de Galois son campos formados por un número finito de elementos. El nombre de su primer explorador Évariste Galois .

Propiedades

La característica del campo es siempre o un número primo . ${\ estilo de visualización 0}$
- El campo de características contiene un subcampo
isomorfo al campo de los números racionales . ${\ estilo de visualización 0}$ $\matemáticas {Q}$
El campo de una característica simple contiene un subcampo isomorfo al campo de los residuos . $pags$ $\mathbb {Z} _{p}$

El número de elementos en un campo finito siempre es igual a la potencia de un número primo.

pag^{n}

Además, para cualquier número de la forma hay un campo de elementos único (excepto el isomorfismo ) , generalmente denotado por . $pag^{n}$ $pag^{n}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

No hay divisores de cero en el campo .

Cualquier subgrupo finito de un grupo de campo multiplicativo es cíclico . En particular, el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo finito es isomorfo a .

\mathbb {F} _{q}

\mathbb {Z} _{q-1}

Desde el punto de vista de la geometría algebraica , los campos son puntos, porque su espectro consta exactamente de un punto: el {0} ideal . De hecho, el campo no contiene otros ideales propios : si un elemento distinto de cero pertenece a un ideal, entonces todos sus múltiplos, es decir, todo el campo, están en el ideal. Por el contrario, un anillo conmutativo que no es un campo contiene un elemento no invertible (y distinto de cero) a . Entonces el ideal principal generado por a no coincide con todo el anillo y está contenido en algún ideal máximo (y por lo tanto simple ); y por lo tanto el espectro de este anillo contiene al menos dos puntos.

Ejemplos de campo

Campos de característica igual a 0

$\matemáticas {Q}$ son números racionales ,
$\matemáticas {R}$ son números reales ,
$\matemáticas {C}$ son números complejos ,
$\matemáticas {A}$ son números algebraicos sobre el campo de los números racionales (un subcampo en el campo ). $\matemáticas {C}$
Números de la forma , , relativos a las operaciones habituales de suma y multiplicación. Este es un ejemplo de un campo cuadrático que forma un subcampo en . $a+b{\raíz cuadrada {2}}$ $a,b\en \mathbb {Q}$ $\matemáticas {R}$
$\matemáticas {F} (x)$ es el campo de funciones racionales de la forma , donde y son polinomios sobre algún campo de característica 0 (en este caso , , y no tienen divisores comunes, excepto las constantes). $f(x)/g(x)$ $F$ $gramo$ $\matemáticas {F}$ $g\neq 0$ $F$ $gramo$

Campos de característica distinta de cero

Todo campo finito tiene una característica distinta de cero. Ejemplos de campos finales:

$\mathbb {Z} _{p}$ es el campo de residuos módulo , donde es un número primo. $pags$ $pags$
$\mathbb {F} _{q}$ es un campo finito de elementos, donde es un número primo, es un número natural. Todos los campos finitos tienen esta forma. $q=p^{k}$ $pags$ $k$

Hay ejemplos de campos infinitos de característica distinta de cero.

Véase también

campo algebraicamente cerrado

Notas

↑ Lev Dmítrievich Kudryavtsev. Curso de análisis matemático. Volúmen 1
↑ Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (F) . Consultado el 28 de septiembre de 2019. Archivado desde el original el 24 de enero de 2021. (indefinido)

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Parte 2. Polinomios y cuerpos. Grupos ordenados. — M .: Nauka, 1965.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1968. — 564 p.
P. Aluffi. Capítulo VII // Álgebra: Capítulo 0. - American Mathematical Society, 2009 . - (Estudios de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 0-8218-4781-3 .
Galois, Evariste. Sur la théorie des nombres (neopr.) // Bulletin des Sciences mathématiques. - 1830. - T. XIII . - art. 428 .
LV Kuzmin. Campo // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.

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