Álgebra de conjuntos

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El álgebra de conjuntos en la teoría de conjuntos es un sistema no vacío de subconjuntos de algún conjunto , cerrado bajo las operaciones de suma (diferencia) y unión (suma) . $X$

Definición

Una familia de subconjuntos de un conjunto (aquí booleano ) se llama álgebra si cumple las siguientes propiedades: ${\mathfrak {A}}\subconjunto 2^{{X}}$ $X$ $2^{{X}}$

$\varnada \in {\mathfrak {A}).$
Si el conjunto es , entonces su complemento $A\en {\mathfrak {A}}$ $X\setminus A\in {\mathfrak {A}).$
La unión de dos conjuntos también pertenece a $A,B\en {\mathfrak {A}}$ ${\ matemáticas {A}).$

Notas

Por definición, si un álgebra contiene un conjunto , entonces también contiene su complemento. La unión con su complemento es el conjunto original . El complemento de un conjunto es el conjunto vacío. Esto significa que el conjunto y el conjunto vacío están contenidos en álgebra por definición. $A$ $A$ $X$ $X$ $X$
Debido a las propiedades de las operaciones sobre conjuntos, el álgebra de conjuntos también se cierra bajo intersección y diferencia simétrica .
El álgebra de conjuntos es un caso especial de álgebra unitaria , donde la operación de "multiplicación" es la intersección de conjuntos, y la operación de "suma" es la diferencia simétrica.
Si el conjunto original es el espacio de eventos elementales , entonces el álgebra se llama álgebra de eventos , un concepto clave de la teoría de la probabilidad y disciplinas matemáticas relacionadas, que tiene una interpretación única y juega un papel independiente en las matemáticas. $X$ ${\mathfrak {A}}$

Álgebra de eventos

El álgebra de eventos (en la teoría de la probabilidad ) es el álgebra de subconjuntos del espacio de eventos elementales , cuyos elementos son eventos elementales . $\Omega$

Como corresponde a un álgebra de conjuntos, el álgebra de eventos contiene un evento imposible ( un conjunto vacío ) y se cierra bajo operaciones de teoría de conjuntos realizadas en un número finito de conjuntos. Basta con exigir que el álgebra de eventos sea cerrada bajo dos operaciones, por ejemplo, intersección y complemento , de lo que se sigue inmediatamente que es cerrada bajo cualquier otra operación de teoría de conjuntos. El álgebra de eventos , que es cerrada con respecto a las operaciones de teoría de conjuntos realizadas con un número contable de conjuntos, se denomina sigma-álgebra de eventos.

En la teoría de la probabilidad, ocurren las siguientes álgebras y sigma-álgebras de eventos:

álgebra de subconjuntos finitos ; $\Omega$
sigma-álgebra de subconjuntos contables ; $\Omega$
álgebra de subconjuntos formada por uniones finitas de intervalos ; ${{\matemáticas {R}}}^{n}$
el álgebra sigma de los subconjuntos de Borel de un espacio topológico , es decir, el álgebra sigma más pequeña que contiene todos los subconjuntos abiertos ; $\Omega$ $\Omega$
el álgebra de cilindros en el espacio de funciones y el sigma-álgebra generada por ellas.

El evento o , que consiste en que ocurre al menos uno de los dos eventos, se denomina suma de eventos y . $A+B$ $A\taza B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Un espacio de probabilidad es un álgebra de eventos con una función de probabilidad dada , es decir, una medida finita sigma-aditiva , cuyo dominio es el álgebra de eventos, donde . $\matemáticas {P}$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Cualquier probabilidad aditiva sigma en el álgebra de eventos se extiende únicamente a una probabilidad aditiva sigma definida en el álgebra sigma de eventos generada por el álgebra de eventos dada .

Véase también

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S.V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág.