Establecer diferencia

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La diferencia de dos conjuntos es una operación de teoría de conjuntos, cuyo resultado es un conjunto que incluye todos los elementos del primer conjunto que no están incluidos en el segundo conjunto. Por lo general, la diferencia de los conjuntos y se denota como , pero a veces se puede ver la notación y . $A$ $B$ $A\setminus B$ $AB$ $A \ sim B$

Sean y dos conjuntos especificados en la definición, luego se define su diferencia (en el lenguaje de la teoría de conjuntos): $A$ $B$

A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.

Este conjunto a menudo se llama el complemento de un conjunto a un conjunto . (solo cuando el conjunto B pertenece completamente al conjunto A) $B$ $A$

Se suele suponer que se consideran subconjuntos de un mismo conjunto que, en este caso, se denomina universo , digamos, . Entonces podemos considerar, junto con cada conjunto , su complemento relativo , que a menudo se denota omitiendo el icono del universo: $X$ $A\subconjunto X$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; al mismo tiempo se dice que es (simplemente) el complemento de un conjunto (sin especificar de qué es complemento el conjunto dado). $\setminus A$

En vista de esta observación resulta que , es decir, el complemento de un conjunto a un conjunto es la intersección del conjunto y el complemento del conjunto . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $A$ $A$ $B$

También se utiliza la notación de operador de la forma , o (si se omite el conjunto universal) , , . $A^{\complemento}$ $\complemento _{X}A$ $\complemento A$ $\overline A$ $A'$

La operación diferencia de conjuntos no es, por definición, simétrica con respecto a los conjuntos incluidos en ella. Una versión simétrica de la diferencia teórica de conjuntos de dos conjuntos se describe mediante el concepto de diferencia simétrica .

Ejemplos

deja _ Después $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Sea el conjunto de todos los números reales , sea el conjunto de los números racionales y sea el conjunto de los enteros . Entonces - el conjunto de todos los números irracionales , y - fraccionario . $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Propiedades

Sean conjuntos arbitrarios. $A B C D$

Restar un conjunto de sí mismo da como resultado el conjunto vacío :

A\setminus A=\varnada.

Propiedades del conjunto vacío con respecto a la diferencia:

\varnada \setminus A=\varnada ;

A\setminus\varnada =A.

La diferencia de dos conjuntos está contenida en el minuendo:

A\conjunto menos B\subconjunto A.

$A\taza (B\conjunto menos A)=A\taza B$ . De esta fórmula se sigue que la operación diferencia no es la inversa de la operación suma (es decir, unión).
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
La diferencia no se cruza con el sustraendo:

A\cap (B\setminus A)=\varnada.

La diferencia de conjuntos es igual al conjunto vacío si y solo si el minuendo está contenido en el sustraendo:

A\setminus B=\varnothing\Leftrightarrow A\subset B.

Las leyes de De Morgan en álgebra de conjuntos se formulan de la siguiente manera:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);

A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\taza B)\conjunto menos C=(A\conjunto menos C)\taza (B\conjunto menos C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);$
$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A$ si _ $C\cap A=\varnada$
si y entonces $A\subconjunto B$ $C\subconjunto D$ $(A\conjunto menos D)\subconjunto (B\conjunto menos C);$
Si , entonces para cualquiera . Esta relación tiene su analogía en la aritmética : si , entonces para cualquiera . $A\subconjunto B$ $C$ $(C\conjunto menos B)\subconjunto (C\conjunto menos A)$ $a\leqslant b$ $C$ $(cb)\leqslant (ca)$

Implementaciones informáticas

En el paquete de Mathematica , la operación se implementa usando la función Complement . En el paquete MATLAB también se implementa mediante la función setdiff.

En el lenguaje de programación Pascal (así como en su extensión de objeto Object Pascal ), la operación de diferencia de conjuntos está representada por el operador "-", ambos operandos y cuyo resultado son valores de tipo set.

En el lenguaje de programación Python, la operación se implementa mediante el método diff en un objeto de tipo conjunto.

Establecer complemento

Definición

Si del contexto se deduce que todos los conjuntos considerados son subconjuntos de algún universo fijo , entonces se define la operación de suma: $X$

A^{\complement}=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\not \in A\}.

Propiedades

La operación de complemento es una operación booleana unaria . $2^{X}$
Leyes complementarias: [1]

$A\taza A^{\complemento}=X;$
$A\cap A^{\complement}=\varnada.$

En particular, si ambos y no están vacíos , entonces es una partición .

A

A^{\complemento}

\{A,\;A^{\complemento}\}

X

$X^{\complemento}=\varnada;$
$\varnada ^{\complemento}=X;$
$(A\subconjunto B)\Leftrightarrow (B^{\complemento}\subconjunto A^{\complemento}).$

La operación del complemento es una involución :

(A^{\complemento})^{\complemento}=A.

Leyes de De Morgan :

$(A\cup B)^{\complement}=A^{\complement}\cap B^{\complement};$
$(A\cap B)^{\complement}=A^{\complement}\cup B^{\complement}.$

Establecer leyes de diferencia:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement};$
$(A\setminus B)^{\complement}=A^{\complement}\cup B.$

Codificación

grafema	Nombre	Unicode	HTML	Látex
∁	COMPLEMENTAR	U+2201	∁	\complement

Véase también

Operaciones sobre conjuntos

Literatura

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problemas en teoría de conjuntos, lógica matemática y teoría de algoritmos. - M. : Fizmatlit, 2004. - 256 p.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoría de conjuntos/Per. De inglés. MI Brevemente, ed. A. D. Taimanova. -M.: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Notas

↑ Ilyin V.A. , Sadovnichiy V.A. , Sendov Bl. H. . Capítulo 2. Números Reales // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Derivados de la letra latina C, c
Letras	Çç Ç̌ç̌ Ç̇ç̇ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ C Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ʗ ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ C C C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ C ʨ
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