Axiomática de Kolmogorov

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 8 de abril de 2021; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

La axiomática de Kolmogorov es una axiomática generalmente aceptada para la descripción matemática de la teoría de la probabilidad . La versión original fue propuesta por Andrei Nikolaevich Kolmogorov [1] [2] en 1929, la versión final, en 1933 . La axiomática de Kolmogorov hizo posible dar a la teoría de la probabilidad el estilo adoptado en las matemáticas modernas .

Historia de la axiomatización de la teoría de la probabilidad

El problema de la axiomatización de la teoría de la probabilidad es incluido por D. Hilbert en la formulación de su 6º problema "Presentación matemática de los fundamentos de la física ":

Estrechamente relacionado con la investigación sobre los fundamentos de la geometría está el problema de la construcción axiomática sobre el mismo modelo de aquellas disciplinas físicas en las que las matemáticas ya juegan un papel destacado: se trata principalmente de la teoría de la probabilidad y la mecánica . En cuanto a los axiomas de la teoría de la probabilidad , me parecería deseable que, paralelamente a la fundamentación lógica de esta teoría, se desarrollara rigurosa y satisfactoriamente el método de los promedios en la física matemática , en particular, en la teoría cinética de los gases. , debe ir de la mano.

Antes de Kolmogorov, G. Bolman [3] ( 1908 ), S. N. Bernstein [4] ( 1917 ), R. Mises [5] ( 1919 y 1928 ), y también Lomnitsky A. [6] ( 1923 ) basado en las ideas de E. Borel [7] sobre la conexión entre los conceptos de probabilidad y medida .

A. N. Kolmogorov, influenciado por las ideas de la teoría de conjuntos , medidas, integración , funciones , formuló un sistema simple de axiomas (en general, no el único), que permitió describir las secciones clásicas de la teoría de la probabilidad que ya existían. en ese momento, para dar impulso al desarrollo de sus nuevas secciones, por ejemplo, la teoría de los procesos estocásticos , y ha llegado a ser generalmente aceptada en la moderna teoría de la probabilidad.

Axiomas de Kolmogorov de la teoría elemental de la probabilidad

La teoría elemental de la probabilidad es esa parte de la teoría de la probabilidad en la que uno tiene que lidiar con las probabilidades de solo un número finito de eventos. La teoría de la probabilidad, como disciplina matemática, puede y debe ser axiomatizada exactamente en el mismo sentido que la geometría o el álgebra . Esto significa que, una vez dados los nombres de los objetos en estudio y sus relaciones básicas, así como los axiomas a los que deben obedecer estas relaciones, toda exposición posterior debe basarse únicamente en estos axiomas , sin depender del significado concreto habitual. de estos objetos y sus relaciones. La axiomatización de la teoría de la probabilidad se puede llevar a cabo de varias maneras, tanto en lo que respecta a la elección de los axiomas como a la elección de los conceptos básicos y las relaciones básicas. Si perseguimos el objetivo de la posible simplicidad tanto del sistema de axiomas en sí mismo como de la construcción de una teoría adicional sobre él, entonces parece más apropiado axiomatizar el concepto de un evento aleatorio y su probabilidad .

Sea el conjunto de elementos , que se llaman eventos elementales, y sea el conjunto de subconjuntos , llamados eventos aleatorios (o simplemente eventos), y sea el espacio de eventos elementales. $\Omega$ $\omega$ ${\ matemáticas {F}}$ $\Omega$ $\Omega$

Axioma I ( álgebra de eventos ) . es el álgebra de los eventos. ${\ matemáticas {F}}$
Axioma II (existencia de la probabilidad de eventos) . A cada eventodese le asigna un número real no negativo, que se denomina probabilidad del evento. $X$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {P}} (x)$ $X$
Axioma III (normalización de la probabilidad) . . ${\mathbf{P}}(\Omega)=1$
Axioma IV ( aditividad de probabilidad) . Si los eventosyno se cruzan, entonces $X$ $y$

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

Un conjunto de objetos que satisface los axiomas I-IV se denomina espacio de probabilidad (según Kolmogorov: un campo de probabilidades ). $(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

El sistema de axiomas I-IV es consistente. Esto se muestra con el siguiente ejemplo: consiste en un solo elemento , — de y un conjunto de eventos imposibles (conjunto vacío) , mientras que . Sin embargo, este sistema de axiomas no es completo: en diferentes cuestiones de la teoría de la probabilidad se consideran diferentes espacios de probabilidad. $\Omega$ $\omega$ ${\ matemáticas {F}}$ $\Omega$ $\varnada$ ${\mathbf {P}}(\Omega)=1,{\mathbf {P}}(\varnada)=0$

Deducción empírica de axiomas de Kolmogorov

Por lo general, se puede suponer que el sistema de eventos considerados al que se asignan ciertas probabilidades forma un álgebra de eventos que contiene un conjunto como elemento ( axioma I , así como la primera parte del axioma II: la existencia de una probabilidad ). Prácticamente puede estar seguro de que si el experimento se repite una gran cantidad de veces y si el número de ocurrencias del evento se denota por , entonces la proporción diferirá poco de . Además, está claro que , por lo que la segunda parte del Axioma II resulta bastante natural. Para un evento siempre , por lo que es natural poner ( axioma III ). Si, finalmente, y son incompatibles entre sí (es decir, los eventos y no se intersecan como subconjuntos de ), entonces , donde denotan, respectivamente, el número de experimentos cuyos resultados son eventos . Esto implica: ${\ matemáticas {F}}$ $x,y,z,\ldots ,$ $\Omega$ $norte$ $metro$ $X$ $Minnesota$ ${\ matemáticas {P}} (x)$ $0\leqslant m/n\leqslant 1$ $\Omega$ $m=n$ ${\mathbf{P}}(\Omega)=1$ $X$ $y$ $X$ $y$ $\Omega$ $m=m_{1}+m_{2}$ $m,m_{1},m_{2}$ $x+y,x,y$

{\frac {m}{n}}={\frac {m_{1}}{n}}+{\frac {m_{2}}{n}}.

Por lo tanto, es apropiado poner

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

( axioma IV ).

Axioma de continuidad y espacios de probabilidad infinitos

En contraste con la teoría elemental de la probabilidad, los teoremas que se derivan de la teoría matemática general de la probabilidad también se aplican naturalmente a cuestiones relacionadas con un número infinito de eventos aleatorios. Pero en el estudio de estos últimos se aplican principios esencialmente nuevos: se supone que, además de los axiomas de la teoría elemental de la probabilidad (I-IV) , se cumplen los siguientes

Axioma V (de continuidad) . Para una secuencia descendente

x_{1}\supseteq x_{2}\ldots \supseteq x_{n}\supseteq \ldots

eventos de tal manera que ${\ matemáticas {F}}$

\bigcap _{{n}}x_{n}=\varnada,

hay una igualdad

\lim _{{n\rightarrow \infty }}{\mathbf {P}}(x_{n})=0.

El axioma de continuidad es el único axioma de la teoría de la probabilidad moderna que se aplica precisamente a la situación de un número infinito de eventos aleatorios. Por lo general, en la teoría de la probabilidad moderna, solo un espacio de probabilidad de este tipo se denomina espacio de probabilidad , lo que, además, satisface el axioma V. Espacios de probabilidad en el sentido de los axiomas I-IV Kolmogorov propuso llamar espacios probabilísticos en el sentido extendido (Kolmogorov tiene el campo de probabilidades en el sentido extendido ), en la actualidad este término se usa muy raramente. Note que si el sistema de eventos es finito, el axioma V se sigue de los axiomas I-IV . Por lo tanto , todos los modelos con espacios de probabilidad en el sentido extendido satisfacen el axioma V. El sistema de axiomas I-V es consistente e incompleto. En cambio, para espacios de probabilidad infinitos, el axioma de continuidad V es independiente de los axiomas I-IV . $(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ ${\ matemáticas {F}}$

Dado que el nuevo axioma es esencial solo para espacios de probabilidad infinitos, es casi imposible explicar su significado empírico, por ejemplo, como se hizo con los axiomas de la teoría elemental de la probabilidad (I-IV) . Al describir cualquier proceso aleatorio realmente observable, solo se pueden obtener campos finitos: espacios de probabilidad en el sentido extendido . Los espacios de probabilidad infinitos aparecen como esquemas idealizados de fenómenos aleatorios reales . Generalmente se acepta limitarnos tácitamente a aquellos esquemas que satisfacen el axioma V , que resulta apropiado y efectivo en diversos estudios.

Espacios de probabilidad infinitos y "eventos ideales"

El álgebra de eventos en el espacio de resultados elementales se llama álgebra de Borel si todas las sumas contables de eventos pertenecen a . En la teoría de la probabilidad moderna, las álgebras de eventos de Borel se conocen comúnmente como álgebras de eventos ( sigma álgebras ). Sea dado un espacio de probabilidad en el sentido extendido , donde es un álgebra y es una medida de probabilidad sobre ella. Se sabe que existe el sigma-álgebra más pequeño que contiene . Además, justo ${\ matemáticas {F}}$ $\Omega$ $\sum_{{n}}x_{n}$ $x_{n}$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {F}}$ $\sigma$ $(\Omega,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\ matemáticas {P}}$ ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Teorema (a continuación) . Una función de conjunto definida en unafunción de conjunto contablemente aditiva no negativasiempre puede extenderse conservando ambas propiedades (no negatividad y sumabilidad contable) a todos los conjuntos dey, además, de forma única. $(\Omega,{\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(\cdot)$ ${\ matemáticas {F}}$

Por lo tanto, cada espacio de probabilidad en el sentido extendido puede extenderse matemáticamente correctamente a un espacio de probabilidad infinito , al que comúnmente se hace referencia en la teoría de probabilidad moderna como simplemente un espacio de probabilidad . $(\Omega,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ $(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Al mismo tiempo, los conjuntos del sigma-álgebra de un espacio de probabilidad infinito solo pueden considerarse como "eventos ideales" que no pueden representarse directamente en el mundo de las observaciones. Sin embargo, si el razonamiento que utiliza las probabilidades de tales "sucesos ideales" lleva a una definición de las probabilidades de un "suceso real" a partir de , entonces esta definición obviamente será consistente automáticamente desde un punto de vista empírico. ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {F}}$

Críticas al término "axiomática de la teoría de la probabilidad"

Algunos científicos[ quien? ] no estoy de acuerdo con que Kolmogorov haya hecho de la teoría de la probabilidad una teoría axiomática . sus argumentos :

La probabilidad es un concepto del mundo real, por lo tanto es imposible axiomatizarla, solo se puede construir un modelo matemático . Por ejemplo, también es imposible axiomatizar el concepto de " puente ", que no interfiere con el cálculo de la resistencia de los puentes mediante la construcción de modelos matemáticos con propiedades similares a los puentes reales.
Se argumenta que la axiomática de Kolmogorov no introduce un solo "concepto básico" nuevo ( no definido como un punto o una línea ). Entonces, es solo una definición : " La probabilidad es una medida tan limitada que ". Al mismo tiempo, llaman a la axiomática de Kolmogorov el "modelo de Kolmogorov". A veces se dan modelos alternativos de la teoría de la probabilidad. $\nombre de operador P(\Omega )=1$

Otra visión: el concepto de " eventos " y el álgebra de operaciones sobre ellos, que es isomorfa al álgebra de conjuntos , se introducen en el modelo de Kolmogorov . Pero en lógica cuántica , hay un álgebra de eventos diferente, obedece a una axiomática diferente (y tales álgebras fueron estudiadas por I.M. Gelfand ), y la “ probabilidad cuántica ” se construye de manera diferente a la clásica (ver, por ejemplo , [8] ).

Notas (literatura)

↑ Kolmogorov A. N. Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. - M. - L. : ONTI, 1936. - 80 p.
↑ Kolmogorov A. N. Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. - 2ª ed. — M .: Nauka, 1974. — 120 p.
↑ Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. - Roma, 6-11 de abril. 1908.V.III. Temporada IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
↑ Bernshtein S. N. Experiencia de justificación axiomática de la teoría de la probabilidad // Soobshch. Járkov. Estera. Ob-va, 1917, Edición. 15, pág. 209-274.
↑ von Mises R. Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Matemáticas. Ztschr., 1919, v. 5, pág. 52-99.
↑ Łomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fondo. Matemáticas. , 1923, v. 4, pág. 34-71.
↑ Borel E. Sur les probabilidades denombrables et leurs application arithmetiques // Rend. Circ. Estera. Palermo, 1909, nº 26, pág. 247-271.
↑ Holevo A. S. Probabilidad cuántica y estadística cuántica. Resultados de la ciencia y la tecnología. Ser. Moderno problema estera. Fundam. direcciones, 1991, 83, pp. 5-132. Archivado el 7 de abril de 2012 en Wayback Machine .

Véase también

Axiomática de la teoría de conjuntos
álgebra de eventos
El teorema de Cox es otro fundamento matemático de la teoría de la probabilidad
La probabilidad cuántica es otra axiomatización