Matriz (matemáticas)

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Una matriz es un objeto matemático escrito como una tabla rectangular de elementos de un anillo o campo (por ejemplo, números enteros , reales o complejos ), que es una colección de filas y columnas en la intersección de las cuales se encuentran sus elementos. El número de filas y columnas establece el tamaño de la matriz. Si bien, por ejemplo, históricamente se han considerado matrices triangulares [1] , en la actualidad se habla exclusivamente de matrices rectangulares, ya que son las más convenientes y generales.

Las matrices se utilizan ampliamente en matemáticas para la representación compacta de sistemas de ecuaciones diferenciales o algebraicas lineales. En este caso, el número de filas de la matriz corresponde al número de ecuaciones y el número de columnas corresponde al número de incógnitas. Como resultado, la solución de sistemas de ecuaciones lineales se reduce a operaciones sobre matrices.

Las siguientes operaciones algebraicas se definen para una matriz :

suma de matrices del mismo tamaño ;
multiplicación de matrices de tamaño adecuado (una matriz con columnas se puede multiplicar a la derecha por una matriz con filas) ; $norte$ $norte$
incluyendo la multiplicación de una matriz por un vector columna y la multiplicación de un vector fila por una matriz (según la regla habitual de la multiplicación de matrices; un vector es en este sentido un caso especial de matriz) ;
multiplicación de una matriz por un elemento del anillo o campo subyacente (es decir, un escalar ) .

Con respecto a la suma, las matrices forman un grupo abeliano ; si también consideramos la multiplicación por un escalar, entonces las matrices forman un módulo sobre el anillo correspondiente (un espacio vectorial sobre un campo). El conjunto de matrices cuadradas se cierra bajo la multiplicación de matrices, por lo que las matrices cuadradas del mismo tamaño forman un anillo asociativo con unidad bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices.

Se prueba que cada operador lineal que actúa en el espacio lineal bidimensional puede asociarse con una única matriz cuadrada de orden ; y viceversa: cada matriz de orden cuadrado se puede asociar con un único operador lineal que actúa en este espacio. [2] Las propiedades de una matriz corresponden a las propiedades de un operador lineal. En particular, los valores propios de una matriz son los valores propios del operador correspondiente a los vectores propios correspondientes . $norte$ $norte$ $norte$

Lo mismo puede decirse de la representación de formas bilineales (cuadráticas) por matrices .

En matemáticas, se consideran muchos tipos y tipos diferentes de matrices . Tales, por ejemplo, son matrices unitarias , simétricas , asimétricas , triangulares superiores (triangulares inferiores), etc.

De particular importancia en la teoría de matrices son todos los tipos de formas normales , es decir, la forma canónica, a la que se puede reducir una matriz cambiando las coordenadas. La más importante (en un sentido teórico) y elaborada es la teoría de las formas normales de Jordan . En la práctica, sin embargo, se utilizan formas normales que tienen propiedades adicionales, como la estabilidad.

Historia

Por primera vez, las matrices se mencionaron en la antigua China, luego se las llamó " cuadrado mágico ". La principal aplicación de las matrices fue la solución de ecuaciones lineales [3] . Además , los cuadrados mágicos se conocieron un poco más tarde entre los matemáticos árabes, por esa época apareció el principio de la suma de matrices. Después de desarrollar la teoría de los determinantes a fines del siglo XVII, Gabriel Cramer comenzó a desarrollar su teoría en el siglo XVIII y publicó la regla de Cramer en 1751. Aproximadamente en el mismo período de tiempo, apareció el " método de Gauss ". La teoría de la matriz comenzó su existencia a mediados del siglo XIX en los trabajos de William Hamilton y Arthur Cayley . Los resultados fundamentales en la teoría de matrices se deben a Weierstrass , Jordan , Frobenius . El término "matriz" fue introducido por James Sylvester en 1850 [4]

Introducción

Las matrices surgen naturalmente al resolver sistemas de ecuaciones lineales , así como al considerar transformaciones lineales .

Sistemas de ecuaciones lineales

Considere un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

\begin{casos}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{ casos}

Este sistema consta de ecuaciones lineales en incógnitas. Se puede escribir como la siguiente ecuación matricial: $metro$ $norte$

hacha = b

dónde

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

Una matriz es una matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, un vector columna es un vector de incógnitas y un vector columna es un vector dado. $A$ $X$ $b$

Para que el sistema tenga una solución (al menos una), es necesario y suficiente que el vector sea una combinación lineal de columnas , y luego el vector sea un vector que contenga los coeficientes de la expansión del vector sobre las columnas de la matriz $b$ $A$ $X$ $b$ $A$

En el lenguaje de las matrices, la condición para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales se formula como el teorema de Kronecker-Capelli :

el rango de una matriz es igual al rango de la matriz aumentada ,

A

[A|b]

compuesto por columnas y una columna . $A$ $b$

Un caso especial importante . Si el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas ( es decir, la matriz es cuadrada), entonces la condición de resolubilidad única es equivalente a la condición de que la matriz sea invertible . $m=n$ $A$ $A$

(Nota. La solucionabilidad del sistema aún no implica la no degeneración de la matriz. Ejemplo: .) $0x=0$

En particular, si la matriz es invertible, entonces la solución del sistema se puede escribir (y si se calcula , luego se encuentra) en la forma $A$ $A^{{-1}}$

x = A^{-1}b

Esto conduce a un algoritmo para calcular los valores de las incógnitas por la regla de Cramer .

Transformaciones lineales

Considere una transformación lineal de espacio vectorial -dimensional a espacio vectorial -dimensional que tiene la siguiente forma: $\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\a\mathbb{R}^m$ $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$ $metro$ $\mathbb{R} ^{m}$

\left\{\begin{matriz}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{matriz}\right.

En forma matricial, esta es una transformación de una ecuación de la forma:

y = hacha

Matrix es una matriz de coeficientes de transformación lineal. $A$

Si consideramos la acción de una transformación lineal sobre vectores de la forma $\mathcal{A}$

e_j=(0,\dots,0,1_j,0,\dots,0)^T,\quad j=\overline{1,n}

constituyendo la base del espacio , entonces -ésta es la -ésima columna de la matriz . $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathcal{A}\mathbf{e}_j$ $j$ $A$

Por lo tanto, la matriz describe completamente la transformación lineal y, por lo tanto, se denomina matriz de transformación lineal . $A$ $\mathcal{A}$

Definiciones

Matriz rectangular

Sean dos conjuntos finitos:

números de línea: ; $M=\{1,2,\puntos,m\}$

números de columna: , donde y son números naturales . $N=\{1,2,\puntos,n\}$ $metro$ $norte$

Llamemos a una matriz de tamaño ( siga leyendo ) ( -filas , -columnas ) con elementos de algún anillo o campo un mapeo de la forma . La matriz se escribe como $A$ $m\veces n$ $metro$ $norte$ $metro$ $norte$ $\mathcal{K}$ $A\dos puntos M\times N\to\mathcal{K}$

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatriz}},}

donde el elemento de la matriz está en la intersección de la -ésima fila y la -ésima columna . $a_{ij}=a(i,j)$ $i$ $j$

$i$ -ésima fila de la matriz ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{{i1}}&a_{{i2}}&\cdots &a_{{in}}\end{pmatrix}};}$
$j$ -ésima columna de la matriz ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix)).}$

En este caso, el número de elementos de la matriz es igual a . $m\cdotn$

De acuerdo a esto

cada fila de la matriz puede interpretarse como un vector en un espacio de coordenadas bidimensional ; $norte$ $\mathcal{K}^{n}$
cada columna de la matriz es como un vector en un espacio de coordenadas bidimensional . $metro$ $\mathcal{K}^{m}$

La matriz en sí se interpreta naturalmente como un vector en un espacio de dimensión . Esto permite introducir la suma componente por componente de matrices y la multiplicación de una matriz por un número (ver más abajo); en cuanto a la multiplicación de matrices , se basa en gran medida en la estructura rectangular de la matriz. $\mathcal{K}^{mn}$ $Minnesota$

Matriz cuadrada

Si la matriz tiene el mismo número de filas que el número de columnas , entonces dicha matriz se llama cuadrada , y el número se llama el tamaño de la matriz cuadrada o su orden . $metro$ $norte$ $m=n$

Vector fila y vector columna

Matrices de tamaño y son elementos de espacios y, respectivamente: $m\veces 1$ $1\veces n$ $\mathcal{K}^{m}$ $\mathcal{K}^{n}$

una matriz de tamaño se llama vector columna y tiene una notación especial: $m\veces 1$

\mathrm{dos puntos}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m) =\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{ array} \right) =(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m)^{T};

la matriz de tamaño se llama vector fila y tiene una notación especial: $1\veces n$

\mathrm{fila}\,(a_1,\puntos,a_i,\puntos,a_n)=(a_1,\puntos,a_i,\puntos,a_n);

Transformaciones de matrices elementales

Las siguientes transformaciones se denominan transformaciones elementales de filas de matrices:

Multiplicar una cadena por un número distinto de cero,
Agregar una línea a otra línea
Reordenando dos líneas.

Las transformaciones elementales de las columnas de la matriz se definen de manera similar.

Rango de matriz

Las filas y columnas de la matriz son elementos de los espacios vectoriales correspondientes:

las columnas de la matriz constituyen los elementos del espacio de dimensiones ; $A$ $metro$
las filas de la matriz forman los elementos del espacio de dimensiones . $A$ $norte$

El rango de una matriz es el número de columnas linealmente independientes de una matriz ( rango columna de una matriz) o el número de filas linealmente independientes de una matriz ( rango fila de una matriz). Equivalente a esta definición es la definición del rango de una matriz como el orden del menor máximo distinto de cero de la matriz.

Bajo transformaciones elementales , el rango de la matriz no cambia.

Notación

Una matriz generalmente se denota con una letra mayúscula del alfabeto latino: let

A\dos puntos M\times N\to {\mathcal {K)),

entonces es una matriz, que se interpreta como un arreglo rectangular de elementos de campo de la forma , donde $A$ $\mathcal{K}$ $a_{ij}=A(i,j)$

el primer índice significa el índice de la fila: ; $i=\sobrelínea{1,m}$
segundo índice significa índice de columna: ; $j=\sobrelínea{1,n}$

por lo tanto, es el elemento de la matriz ubicado en la intersección de la -ésima fila y la -ésima columna. En consecuencia, se adopta la siguiente notación compacta para una matriz de tamaño : $a_{{ij}}$ $A$ $i$ $j$ $m\veces n$

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

o simplemente

A=(a_{ij}),

si solo necesita especificar la designación de los elementos de la matriz.

A veces, en lugar de , escriben , para separar los índices entre sí y evitar confusiones con el producto de dos números. $a_{{ij}}$ $a_{i,j}$

Si es necesario dar una representación detallada de la matriz en forma de tabla, entonces use el registro de la forma

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{matriz}\right],\quad\left\|\begin{matriz}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j } & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \ vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{matriz}\right\|

Puede encontrar tanto designaciones con paréntesis "(...)" como designaciones con corchetes "[...]". Menos comunes son los símbolos con líneas rectas dobles “||…||”).

Dado que una matriz consta de filas y columnas, se utiliza la siguiente notación para ellas:

a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]

es la fila th de la matriz ,

i

A

a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end {matriz}\derecho]

es la ésima columna de la matriz .

j

A

Por lo tanto, la matriz tiene una representación dual, por filas:

A=[ \begin{matriz}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{matriz}]

y por columnas:

A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]

Esta representación permite formular las propiedades de las matrices en términos de filas o en términos de columnas.

Matriz transpuesta

Para cada matriz de tamaño $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\ fin{pmatrix}}$ $m\veces n$

se puede construir una matriz de tamaño , $B=(b_{j,i})_{\begin{pequeña matriz}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{pequeña matriz}} ={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\ fin{pmatrix}}$ $n\veces m$

que tiene para todos y . ${\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j))$ $i=\sobrelínea{1,m}$ $j=\sobrelínea{1,n}$

Tal matriz se llama matriz transpuesta para y se denota por , $A$ $A^{T}$

a veces (si no hay posibilidad de confusión con la diferenciación ) se denota , $A'$

a veces (si no hay posibilidad de confusión con la conjugación hermitiana ) se denota por . ${\ estilo de visualización A^{*}}$

Cuando se transponen, las filas (columnas) de las matrices se convierten en columnas (respectivamente, filas) de una matriz . $A$ ${\ estilo de visualización A^{T}}$

Obviamente _ ${\ estilo de visualización (A^{T})^{T}=A}$

Para matrices sobre un anillo , la transposición es un isomorfismo de los módulos de las matrices, ya que $\mathcal{K}$ $\mathcal{K}$

(A+B)^T=A^T+B^T

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, para cualquier .

\lambda \in {\mathcal {K}}

Matriz diagonal

Matriz diagonal : una matriz cuadrada, cuyos elementos, excepto los diagonales, son cero , a veces se escribe como: $(i \neq j: a_{ij} = 0)$

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n).

Otras diagonales de matriz

Además de la diagonal principal , a veces se consideran los elementos de la matriz que están directamente encima de los elementos de la diagonal. Estos elementos forman la sobrediagonal de la matriz. Los elementos inmediatamente debajo de la diagonal forman una matriz subdiagonal (ver matriz bidiagonal ).

Los elementos ubicados en lugares forman una diagonal lateral (ver, por ejemplo, Diagonal lateral o Tipos de matriz ). ${\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots,a_{n,1))$

Matriz de identidad

La matriz identidad es una matriz, cuando se multiplica por la cual cualquier matriz (o vector) permanece sin cambios, es una matriz diagonal con elementos diagonales identidad (todos):

\mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1).

Para su designación, la designación I o E se usa con mayor frecuencia , así como simplemente 1 (o 1 en una fuente especial).

Para designar sus elementos se utiliza también el símbolo de Kronecker , definido como: $\delta _{{ij}}$

\delta_{ii} = 1

\delta_{ij} = 0

yo \neq j.

Matriz cero

Para designar una matriz cero , una matriz, cuyos elementos son cero (cuando se agrega a cualquier matriz, permanece sin cambios, y cuando se multiplica por cualquier matriz, se obtiene una matriz cero), generalmente simplemente 0 o 0 es utilizado en una fuente especial, o una letra similar a cero, por ejemplo . $\Theta$

Operaciones matriciales

Suma de matrices

Solo puede agregar matrices del mismo tamaño.

La suma de matrices es la operación de encontrar una matriz , cuyos elementos son todos iguales a la suma por pares de todos los elementos correspondientes de las matrices y , es decir, cada elemento de la matriz es igual a $A+B$ $C$ $A$ $B$ $C$

\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Propiedades de la suma de matrices:

conmutatividad : ; ${\ estilo de visualización A + B = B + A}$
asociatividad : ; ${\ estilo de visualización (A + B) + C = A + (B + C)}$
suma con matriz cero: ; $A+\theta =\theta +A=A$
la existencia de la matriz opuesta: ; ${\ estilo de visualización A + (- A) = \ theta}$

Todas las propiedades de las operaciones lineales repiten los axiomas de un espacio lineal , y por lo tanto es válido el siguiente teorema:

El conjunto de todas las matrices del mismo tamaño con elementos del campo (el campo de todos los números reales o complejos ) forma un espacio lineal sobre el campo (cada una de esas matrices es un vector de este espacio). Sin embargo, principalmente para evitar confusiones terminológicas, las matrices se evitan en contextos ordinarios sin necesidad (que no es en las aplicaciones estándar más comunes) y especificación clara del uso del término para llamar vectores. $m\veces n$ $PAGS$ $PAGS$

Multiplicar una matriz por un número

Multiplicar una matriz por un número es construir una matriz . $A$ $\lambda \in \mathcal{K}$ $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$

Propiedades de la multiplicación de matrices por un número:

multiplicación por uno: ; $1\cdot A=A\cdot 1=A$
asociatividad : ; ${\ estilo de visualización (\ lambda \ beta) A = \ lambda (\ beta A)}$
distributividad: ; ${\ estilo de visualización (\ lambda + \ beta) A = \ lambda A + \ beta A}$
distributividad: ; ${\ estilo de visualización \ lambda (A + B) = \ lambda A + \ lambda B}$

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices (notación:, rara vez con el signo de multiplicación) es la operación de calcular una matriz, cada elemento de la cual es igual a la suma de los productos de los elementos en la fila correspondiente del primer factor y la columna del segundo. $AB$ $A\veces B$ $C$

{\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj))

El número de columnas en la matriz debe coincidir con el número de filas en la matriz , en otras palabras, la matriz debe ser consistente con la matriz . Si la matriz tiene dimensión , - , entonces la dimensión de su producto es . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $m\veces n$ $B$ $n \veces k$ $AB=C$ $m \ tiempo k$

Propiedades de multiplicación de matrices:

asociatividad : ; ${\ estilo de visualización (AB) C = A (BC)}$
no conmutatividad (generalmente): ; $AB\neq BA$
el producto es conmutativo en el caso de multiplicaciones con matriz identidad: ; $AI=IA=A$
distributividad : , ${\ estilo de visualización (A + B) C = AC + BC}$

${\ estilo de visualización A (B + C) = AB + AC}$ ;

asociatividad y conmutatividad con respecto a la multiplicación por un número: . ${\ estilo de visualización (\ lambda A) B = A (\ lambda B) = \ lambda (AB)}$

Multiplicación de un vector por una matriz

De acuerdo con las reglas habituales de la multiplicación de matrices, un vector columna se multiplica por una matriz, que se escribe a la izquierda, y un vector fila se multiplica por una matriz, que se escribe a su derecha. Dado que los elementos de un vector de columna o un vector de fila se pueden escribir (lo que generalmente se hace) usando un índice en lugar de dos, esta multiplicación se puede escribir como:

para un vector de columna (obteniendo un nuevo vector de columna ): $v$ $Av$

(Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},

para un vector de fila (obteniendo un nuevo vector de fila ): $s$ ${\ estilo de visualización sA}$

(sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.

Un vector de fila, una matriz y un vector de columna se pueden multiplicar entre sí, dando un número (escalar):

sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.

(El orden es importante: el vector fila está a la izquierda, el vector columna está a la derecha de la matriz).

Estas operaciones son la base de la representación matricial de operadores lineales y transformaciones de coordenadas lineales (cambio de bases), tales como rotaciones, escalas, reflejos especulares y también (último) la representación matricial de formas bilineales (cuadráticas).

Al representar un vector de un espacio vectorial real en forma ortonormal (lo que equivale a utilizar coordenadas cartesianas rectangulares), el vector columna y el vector fila que le corresponden, que son un conjunto de componentes del vector, coincidirán (elemento por elemento), difiriendo solo formalmente en su imagen para la corrección de las operaciones de matriz (entonces uno se obtiene del otro simplemente por una operación de transposición). Cuando se utilizan bases no ortonormales (por ejemplo, coordenadas oblicuas o al menos diferentes escalas a lo largo de los ejes), el vector columna corresponde a los componentes del vector en la base principal y el vector fila corresponde a la base dual a la principal. [5] (A veces también se habla del espacio de vectores fila como un espacio dual especial de vectores columna, el espacio de covectores ).

Tenga en cuenta que la motivación habitual para introducir matrices y definir la operación de multiplicación de matrices (ver también en el artículo sobre multiplicación de matrices ) es precisamente la introducción de las mismas, comenzando con la multiplicación de un vector por una matriz (que se introduce en base a transformaciones de base o, en general, operaciones lineales sobre vectores), y solo entonces se compara la composición de las transformaciones con el producto de matrices. En efecto, si el nuevo vector Av , obtenido del vector original v por una transformación representable por la multiplicación por la matriz A , ahora se transforma de nuevo por una transformación representable por la multiplicación por la matriz B , obteniendo B(Av) , entonces, en base a la regla para multiplicar un vector por una matriz, dada al comienzo de esta sección (usando la asociatividad de la multiplicación de números e invirtiendo el orden de la suma), es fácil ver la fórmula resultante que da los elementos de una matriz (BA) que representan el composición de la primera y segunda transformaciones y coincidiendo con la definición habitual de multiplicación de matrices.

Conjugación compleja

Si los elementos de la matriz son números complejos, entonces la matriz compleja conjugada (¡no debe confundirse con el conjugado hermitiano ! Ver más abajo) es igual a . Aquí está el complejo conjugado de . $A=(a_{ij})$ $\bar A = (\bar a_{i,j} )$ ${\ barra {a}}$ $a$

Transposición y conjugación hermitiana

La transposición ya se ha discutido anteriormente: si , entonces . Para matrices complejas, la conjugación hermitiana es más común : . Desde el punto de vista de la vista del operador de matrices, la matriz transpuesta y conjugada hermítica son las matrices del operador conjugado con respecto al producto escalar o hermitiano , respectivamente. $A=(a_{ij})$ $A^T = (a_{ji})$ $A^* = \bar A^T$

Menores

Para una matriz cuadrada, la suma de los elementos diagonales (es decir, los principales menores de primer orden) se denomina traza : $A$

\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}

(otras designaciones , , ). $\mathrm{traza}$ $\mathrm{Esp}$ $\mathrm{Estimular}$

Propiedades:

Si y están definidos , entonces . $AB$ $licenciado en Letras$ $\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)$
La traza es un invariante de las transformaciones de similitud de matrices , es decir si no es degenerado, entonces . $S$ $\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)$
La traza es igual a la suma (de todos, teniendo en cuenta la multiplicidad) de los valores propios de la matriz: . Además, para cualquier número entero (positivo) , . $\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}$ $k$ $\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{ k}$

Determinante (determinante)

Sea la matriz cuadrada, luego la designación del determinante: . Si la matriz es entonces $A$ ${\ estilo de visualización \ Delta = \ det A}$ ${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$ ${\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21))$

Permanente

Conceptos relacionados

Combinaciones lineales

En un espacio vectorial, una combinación lineal de vectores es un vector $\mathbf{x}_1,\puntos,\mathbf{x}_n$

\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,

donde están los coeficientes de expansión: $a_1,\puntos,a_n$

si todos los coeficientes son iguales a cero, entonces tal combinación se llama trivial ,
si al menos un coeficiente es diferente de cero, dicha combinación se llama no trivial .

Esto permite describir el producto de matrices y términos de combinaciones lineales: $C=AB$ $A$ $B$

las columnas de matriz son combinaciones lineales de columnas de matriz con coeficientes tomados de la matriz ; $C$ $A$ $B$
filas de matriz son combinaciones lineales de filas de matriz con coeficientes tomados de la matriz . $C$ $B$ $A$

Dependencia lineal

Si cualquier vector puede representarse como una combinación lineal, entonces se habla de una dependencia lineal de este vector de los elementos de la combinación.

Más precisamente, dicen esto: un cierto conjunto de elementos de un espacio vectorial se llama linealmente dependiente si hay una combinación lineal de elementos de este conjunto igual a cero o

\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\dots+a_n\mathbf{x_n},

donde no todos los números son iguales a cero; si tal combinación no trivial no existe, entonces la colección dada de vectores se llama linealmente independiente . $a_1,\puntos,a_n$

La dependencia lineal de los vectores significa que algún vector de un conjunto dado se expresa linealmente a través del resto de los vectores.

Cada matriz es una colección de vectores (del mismo espacio). Dos de tales matrices son dos conjuntos. Si cada vector de un conjunto se expresa linealmente en términos de los vectores de otro conjunto, entonces en el lenguaje de la teoría de matrices este hecho se describe utilizando el producto de matrices:

si las filas de la matriz dependen linealmente de las filas de la matriz , entonces para alguna matriz ; $C$ $B$ $C=AB$ $A$
si las columnas de una matriz dependen linealmente de las columnas de otra matriz , entonces para alguna matriz . $C$ $A$ $C=AB$ $B$

Propiedades

Operaciones matriciales

La suma y la resta solo se permiten para matrices del mismo tamaño.

Existe una matriz nula tal que su adición a otra matriz A no cambia A, es decir $\Theta$

A + \Theta = A

Todos los elementos de la matriz cero son iguales a cero.

Solo las matrices cuadradas se pueden elevar a una potencia .

Asociatividad de la suma: $A + (B + C) = (A + B) + C.$
Conmutatividad de la suma: $A + B = B + A.$
Asociatividad de la multiplicación: $A(BC) = (AB)C.$
En términos generales, la multiplicación de matrices no es conmutativa : . Utilizando esta propiedad, se introduce un conmutador matricial . $AB \ne BA$
Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma: $A(B + C) = AB + AC;$ $(B + C)A = BA + CA.$
Dadas las propiedades mencionadas anteriormente, las matrices forman un anillo con respecto a las operaciones de suma y multiplicación.
Propiedades de la operación de transposición de matrices: $(A^T)^T=A$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ si existe la matriz inversa . $A^{{-1}}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$ $\text{det}\; A=\texto{det}\; A^T$

Ejemplos

La matriz cuadrada y definiciones relacionadas

Si el número de filas de una matriz es igual al número de columnas, dicha matriz se llama cuadrada .

Para matrices cuadradas, existe una matriz identidad (análoga a la unidad para la operación de multiplicar números ) tal que multiplicar cualquier matriz por ella no afecta el resultado, a saber $mi$

EA=AE=A

La matriz identidad tiene unidades solo a lo largo de la diagonal principal, el resto de los elementos son iguales a cero

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {matrix}

Para algunas matrices cuadradas, se puede encontrar la llamada matriz inversa . La matriz inversa es tal que si se multiplica la matriz por su matriz inversa, entonces se obtendrá la matriz identidad: $A^{{-1}}$

AA^{- 1} = E

La matriz inversa no siempre existe. Las matrices para las que existe una matriz inversa se denominan no degeneradas (o regulares), y para las que no existe - degenerada (o singular ). Una matriz es no degenerada si todas sus filas (columnas) son linealmente independientes como vectores . El número máximo de filas (columnas) linealmente independientes se denomina rango de la matriz. El determinante (determinante) de una matriz es el valor de la forma de valencia multilineal normalizada oblicuamente simétrica (antisimétrica) en las columnas de la matriz. Una matriz cuadrada sobre un campo numérico es degenerada si y solo si su determinante es cero. $(p;\;0)$

Anillo matriz

De las propiedades anteriores de la suma y la multiplicación de matrices (asociatividad y conmutatividad de la suma, distributividad de la multiplicación, existencia de una matriz que es cero y además opuesta), se sigue que n por n matrices cuadradas con elementos de cualquier anillo R forman un anillo isomorfo al anillo de endomorfismo del módulo libre R n . Este anillo se denota por o . Si R es un anillo conmutativo , también es un álgebra asociativa sobre R. El determinante de una matriz con elementos de un anillo conmutativo se puede calcular utilizando la fórmula habitual, y la matriz será invertible si y solo si su determinante es invertible en R . Esto generaliza la situación con matrices con elementos del campo , ya que cualquier elemento excepto cero es invertible en el campo. $M(n,R)$ $M_{n}(R)$ $M(n,R)$

Matrices en teoría de grupos

Las matrices juegan un papel importante en la teoría de grupos . Se utilizan en la construcción de grupos lineales generales, grupos lineales especiales , grupos diagonales , grupos triangulares , grupos unitriangulares .

Un grupo finito (en particular, uno simétrico) puede modelarse (isomórficamente) mediante matrices de permutación (que contienen solo "0" y "1"),

por ejemplo, para : , , , , , . $S_{3}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

El campo de los números complejos se puede modelar (isomórficamente) sobre el campo de los números reales: $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$

para matrices análogas , , donde ; $z = x + iy , \quad c = a + ib \in \mathbb{C}$ $Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix}$ $C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ $x , y , a , b \in \mathbb{R}$

$z + c = (x + a) + i(y + b)$ partidos ; $Z + C = \begin{pmatrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmatrix}$

$zc = (xa - yb) + i(xb + ya)$ partidos ; $ZC = \begin{pmatrix} xa - yb & xb + ya\\- ya - xb & - yb + xa\end{pmatrix}$

$\bar{z} = x - iy$ partidos ; $Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix}$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R}$ ;

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$ at corresponde a at ; $z \ne 0$ $Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)))$ ${\ estilo de visualización \ det (Z) \ neq 0}$

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))$ correspondencia _ $e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix))$

En particular, para $E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$ $yo = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ corresponde , $Z = x mi + y yo$

donde _ $Yo ^ 2 = -E$

Comentario. El modelo tiene un automorfismo , es decir $(De mi a mi)$ $Z \a Z^T$

El cuerpo de cuaterniones se puede modelar (isomórficamente) sobre el campo de los números reales: $\mathbb{H}$ $\mathbb{R}$

para la matriz análoga , donde . $q=t+ix+jy+kz\en \mathbb {H}$ $Q = \begin{pmatrix} t & x & y & -z\\ -x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{ pmmatriz}$ $t , x , y , z \in \mathbb{R}$

Para que el cuaternión corresponda a la matriz , $q = t + ix + jy + kz$ $Q = t mi + x yo + y J + z K$

donde , , , , $I^2=J^2=K^2=-E$ $IJ=-JI=K$ $JK=-KJ=I$ $KI=-IK=J$

puedes introducir elementos básicos

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , , , . $I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix}$ $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix}$ $K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Los parámetros deben cumplir las condiciones: y . $a , b , c , d \in \left \{ -1, +1 \right \}$ $abcd=-1$

Hay 8 soluciones (8 vistas).

Véase también

norma matricial
Determinante matricial
Vectores propios, valores y espacios
Una matriz es un tipo de datos en programación que corresponde a una matriz (la multidimensionalidad se logra mediante matrices anidadas).
Una matriz dispersa es una de las formas informáticas de representar matrices dispersas .
Las desigualdades matriciales lineales son un aparato para resolver problemas de síntesis de leyes de control.
matriz lambda
Jordan forma normal
Lista de matrices

Notas

↑ Las matrices triangulares ahora se entienden como matrices cuyos elementos distintos de cero llenan una región triangular en la tabla de matrices, mientras que los elementos restantes son ceros.
↑ Este isomorfismo está completamente especificado por la elección de una base en un espacio lineal: para una base fija, el isomorfismo es fijo y, por lo tanto, se realiza la correspondencia uno a uno de las matrices con los operadores. Esto no significa que tal isomorfismo sea en principio único: en otra base, los mismos operadores lineales corresponderán a otras matrices (también uno a uno cuando esta nueva base sea fija).
↑ Berezkina E. I. [libgen.pw/view.php?id=1211718 Matemáticas de la antigua China] / Ed. edición BA Rosenfeld. - M. : Nauka, 1980. - S. 173-206. - 312 págs.
↑ Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Caminos y laberintos. Ensayos sobre la historia de las matemáticas: Per. del francés - M. : Mir, 1986. - S. 397.
↑ Formalmente, todo en esta definición es simétrico, y sería posible cambiar los lugares de la base "principal" y dual (ambas son simplemente duales entre sí), pero es precisamente el acuerdo descrito el que se acepta.

Literatura

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Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita = Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 págs.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro

Matriz (matemáticas)

Historia

Introducción

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Definiciones

Matriz rectangular

Matriz cuadrada

Vector fila y vector columna

Transformaciones de matrices elementales

Rango de matriz

Notación

Matriz transpuesta

Matriz diagonal

Otras diagonales de matriz

Matriz de identidad

Matriz cero

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Suma de matrices

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Multiplicación de matrices

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Conceptos relacionados

Combinaciones lineales

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Propiedades

Operaciones matriciales

Ejemplos

La matriz cuadrada y definiciones relacionadas

Anillo matriz

Matrices en teoría de grupos

Véase también

Notas

Literatura