Transformacion afin

La transformación afín , a veces la transformación afín [1] (del latín affinis "contiguo, cercano, adyacente") es un mapeo de un plano o espacio en sí mismo, en el que las líneas paralelas se convierten en líneas paralelas, las líneas que se cruzan se vuelven intersecantes, las líneas que se cruzan se vuelven intersecantes [ 2 ] .

Definiciones

Geométrico

Una biyección de un espacio o plano euclidiano en sí mismo que asigna líneas paralelas a líneas paralelas se denomina transformación afín.

Algebraico

Una transformación afín es una transformación de la forma ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$

f(x)=M\cdot x+v,

donde es una matriz invertible y . $METRO$ $v\en {\mathbb {R}}^{n}}$

Comentarios

Tenga en cuenta que la continuidad no se supone en la definición geométrica. Sin embargo, la continuidad se sigue de la definición de una manera no del todo trivial. Además, ambas definiciones son equivalentes por el llamado teorema fundamental de la geometría afín .

Tenga en cuenta que una transformación es afín si se puede obtener de la siguiente manera:
1. Elija una base espacial "nueva" con un origen "nuevo" ; $v$
2. Asocie cada punto en el espacio con un punto que tenga las mismas coordenadas relativas al "nuevo" sistema de coordenadas que en el "antiguo". $X$ $f(x)$ $X$

Ejemplos

Ejemplos de transformaciones afines son

Propiedades

Bajo una transformación afín, una línea recta se convierte en una línea recta.
- Si la dimensión del espacio ${\ estilo de visualización {n} \ geqslant 2}$ , entonces cualquier transformación del espacio (es decir, una biyección del espacio sobre sí mismo), que toma líneas en líneas, es afín. Esta definición se utiliza en la construcción axiomática de la geometría afín.
Las transformaciones afines forman un grupo con respecto a la composición .
Cualquier tres puntos que no se encuentran en la misma línea y sus imágenes respectivamente (que no se encuentran en la misma línea) definen de manera única una transformación afín del plano.

Tipos de transformaciones afines

Una transformación equiafín es una transformación afín que conserva el área ( también se conserva la longitud afín ).
Una transformación centro -afín es una transformación afín que conserva el origen.

Representación matricial

Al igual que otras transformaciones proyectivas , una transformación afín se puede escribir como una matriz de transición en coordenadas homogéneas : $f(x)=M\cdot x+v$

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix }}$

La representación matricial se utiliza, en particular, para escribir transformaciones afines en gráficos por computadora. El formulario anterior se usa en OpenGL [3] ; en DirectX (donde las coordenadas se representan como matrices de 1×4) se transpone [4] .

Variaciones y generalizaciones

En la definición anterior de una transformación afín, se puede usar cualquier campo , no solo el campo de los números reales . $\matemáticas {R}$
Un mapeo entre espacios métricos se llama afín si mapea geodésicas a geodésicas (teniendo en cuenta la parametrización).
Las transformaciones afines de un espacio son un caso especial de transformaciones proyectivas del mismo espacio. A su vez, las transformaciones proyectivas del espacio pueden representarse como transformaciones afines del espacio . ${\ matemáticas {R}}^{n}}$ ${\ matemáticas {R}}^{n}}$ $\mathbb{R} ^{n+1}$

Véase también

Método de hoja de caucho (transformación afín local)

Notas

↑ Kagan VF Fundamentos de la teoría de superficies en presentación tensorial. - Ripol-clásico , 2013. - 518 p. — ISBN 9785458491099 .
↑ IM Vinogradov. Transformación afín // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
↑ Transformación OpenGL . Consultado el 4 de agosto de 2010. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2011.
↑ Transformaciones (Direct3D 9 ) . Consultado el 4 de agosto de 2010. Archivado desde el original el 23 de agosto de 2011.

Enlaces

Transformación del plano afín y su representación matricial . Archivado el 24 de noviembre de 2007 en Wayback Machine .
Ershov A. V. Mapeos y espacios lineales y afines . Archivado el 3 de diciembre de 2021 en Wayback Machine . M.: MIPT, 2016. 69 págs.

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