Grupo infinito

Un grupo infinito  es un grupo con un número infinito de elementos, a diferencia de los grupos finitos . El primer estudio de grupos infinitos se remonta a Jordan (1870).

Grupos topológicos

A menudo se supone que los grupos infinitos son topológicos  , es decir, provistos de una topología consistente con las operaciones de multiplicación y tomando el elemento inverso. En este caso, se pueden distinguir dos subclases opuestas de grupos: grupos discretos y grupos conectados. Un ejemplo de un grupo infinito discreto es el grupo cíclico infinito con topología natural, es decir, discreta. Un ejemplo de un grupo infinito conectado es ( ), un espacio vectorial de dimensión finita en números reales (o complejos).

Además, la "parte discreta" del grupo topológico, es decir, el grupo de sus componentes conectados, es un grupo discreto (no necesariamente infinito), mientras que su "parte continua", el componente conectado de la identidad del grupo, es un grupo conectado (y tampoco necesariamente infinito). El grupo en sí no está completamente definido por los componentes "discretos" y "continuos", es decir, no es necesariamente su producto directo . Por ejemplo, el grupo de números racionales está completamente desconectado y, por lo tanto, su "parte continua" es trivial, pero el grupo no es isomorfo a su "parte discreta", es contable, pero no discreto. Cualquier grupo profinito tiene una propiedad similar .

Grupos de mentiras

Una clase comúnmente utilizada de grupos topológicos infinitos son los grupos de Lie de dimensión mayor que 0. En términos generales, estos son grupos que se ven localmente como un espacio vectorial real (o complejo) de dimensión finita (de dimensión mayor que 0). Una definición rigurosa utiliza el concepto de variedad suave o algebraica : la estructura de tal variedad debe introducirse en el grupo, para que las operaciones de multiplicación y toma del elemento inverso sean consistentes con esta estructura.

Ejemplos de grupos de Lie (tanto suaves como algebraicos a la vez) son el grupo lineal general , es decir, el grupo de matrices reales on con determinante distinto de cero, y su subgrupo, el grupo ortogonal especial , formado por matrices ortogonales con determinante 1 .

En este caso, la “parte discreta” de un grupo de Lie (el conjunto de sus componentes conexas) es necesariamente finita, mientras que la “parte continua” (la componente conexa de la unidad) de un grupo de Lie de dimensión mayor que 0, en el contrario, es infinito. Sin embargo, el grupo de Lie no es necesariamente su producto semidirecto [1] .

Desde un punto de vista físico

Los elementos de muchos grupos infinitos que se encuentran en la física están numerados por parámetros reales que cambian continuamente. Cada elemento g de un grupo infinito n-paramétrico se puede escribir como: , donde  son n números reales. No existe una tabla Cayley para el grupo infinito . Si , entonces n parámetros son funciones de parámetros . Así, el análogo de la tabla de Cayley para un grupo infinito es un conjunto de n funciones reales, cada una de las cuales depende de 2n variables reales . Los elementos de un grupo infinito deben satisfacer las cuatro condiciones habituales para ser miembro de un grupo:

  1. El producto de dos elementos cualesquiera de un grupo debe ser un elemento del grupo.
  2. La multiplicación de elementos es asociativa: .
  3. Hay un elemento de identidad del grupo g(1), de modo que para todo g(x)
  4. Cada elemento tiene un único inverso, es decir, para cada g(x) existe un único elemento del grupo tal que .

Del requisito (2) expresado en términos de las funciones f(x, y) se sigue que la igualdad se cumple para todo x, y, z.

Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz forman un grupo infinito. Los elementos de este grupo están numerados por un parámetro real: la velocidad del marco de referencia inercial. El producto de dos transformaciones de Lorentz con parámetros es la transformación de Lorentz con un parámetro  : la ley relativista de la suma de velocidades. [2]

Las rotaciones de un cuerpo rígido alrededor de todos los ejes posibles que pasan por algún punto fijo forman un grupo infinito de rotaciones . Los elementos de este grupo están numerados por un conjunto de números reales: ángulos de Euler . [3]

Véase también

Notas

  1. ↑ Descomposición de grupos de mentiras como producto semidirecto de grupos conectados y discretos Archivado el 14 de abril de 2019 en Wayback Machine // Math.StackExchange
  2. ↑ Lyubarsky G. Ya. Teoría y física de grupos. - M., Nauka, 1986. - pág. 95
  3. ↑ Lyubarsky G. Ya. Teoría y física de grupos. - M., Nauka, 1986. - pág. 70-71

Literatura

Enlaces