Sistema de coordenadas cilíndricas

Un sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas tridimensional , que es una extensión del sistema de coordenadas polares al agregar una tercera coordenada (generalmente denotada por ), que especifica la altura de un punto sobre el plano. $z$

El punto se da como . En términos de un sistema de coordenadas rectangulares : $PAGS$ $(\rho,\;\varphi,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ es la distancia de a , la proyección ortogonal del punto sobre el plano . O lo mismo que la distancia desde al eje . $O$ $PAGS'$ $PAGS$ $XY$ $PAGS$ $Z$
$0\leqslant\varphi <360^{\circ}$ es el ángulo entre el eje y el segmento . $X$ $OP'$
$z$ es igual a la aplicación de un punto . $PAGS$

Cuando se utiliza en las ciencias físicas y la ingeniería, la norma internacional ISO 31-11 recomienda el uso de la notación . $(\rho,\;\varphi,\;z)$

Las coordenadas cilíndricas son convenientes cuando se analizan superficies que son simétricas con respecto a algún eje, si el eje se toma como eje de simetría. Por ejemplo, un cilindro redondo infinitamente largo (superficie cilíndrica) en coordenadas rectangulares tiene la ecuación y en coordenadas cilíndricas tiene una ecuación muy simple . De ahí viene el nombre “cilíndrico” para este sistema de coordenadas. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Transición a otros sistemas de coordenadas

Dado que el sistema de coordenadas cilíndricas es solo uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales, existen leyes para transformar las coordenadas entre el sistema de coordenadas cilíndricas y otros sistemas.

Sistema de coordenadas cartesianas

Los orts de un sistema de coordenadas cilíndricas están relacionados con los orts cartesianos mediante las siguientes relaciones:

${\begin{casos}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{casos}}$

y formar una terna recta:

${\begin{casos}{\vec {e}}_{\rho }\times {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi},\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{casos}}$

Las relaciones inversas toman la forma:

${\begin{casos}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi},\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho}+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{casos}}$

La ley de transformación de coordenadas de cilíndricas a cartesianas:

{\begin{casos}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{casos))

La ley de transformación de coordenadas de cartesianas a cilíndricas:

{\begin{casos}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\derecha),\\z=z.\end{casos}}

El jacobiano es:

J=\rho.

Características diferenciales

Las coordenadas cilíndricas son ortogonales, por lo que el tensor métrico tiene una forma diagonal en ellas:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatriz}}.

Cuadrado diferencial de longitud de curva

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Los coeficientes de Lame tienen la forma:

H_{\rho}=1,\quad H_{\varphi}=\rho,\quad H_{z}=1.

Símbolos de Christoffel : ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\))$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ ro}}.

El resto son cero.

Operadores diferenciales

Gradiente en sistema de coordenadas cilíndricas:

{\mathrm {grado}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\parcial \psi }{\parcial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial \psi }{\parcial \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\parcial \psi }{\parcial z} }.

Divergencia en un sistema de coordenadas cilíndricas:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial \rho a_{\rho }}{\parcial \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial a_{\varphi }}{\parcial \varphi }}+{\frac {\parcial a_{z}}{\parcial z}}.

Rotor en sistema de coordenadas cilíndrico:

{\mathrm {rot}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\parcial }{\parcial \rho }}&{\ frac {\parcial }{\parcial \varphi }}&{\frac {\parcial }{\parcial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi }&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\parcial a_{z}}{\parcial \varphi }}-{\frac {\parcial a_{\varphi}}{\parcial z}}\right)+{\vec e}_{\varphi}\left({\frac {\parcial a_{\rho}}{\parcial z}} -{\frac {\parcial a_{z}}{\parcial \rho }}\right)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \rho a_ parcial{\varphi }}{\rho parcial }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\a_ parcial{\rho }}{\varphi parcial }}\right ).

Expresiones para el radio vector , velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi}}{\vec {e ))_{\varphi}+{\punto {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi}}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z }}{\vec{e}}_{z}$

Véase también

Literatura

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Dinámica de sistemas clásicos: Proc. tolerancia. - M .: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1993. - 352 p.

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico