Biyección

Una biyección es una aplicación que es tanto sobreyectiva como inyectiva . En una aplicación biyectiva, cada elemento de un conjunto corresponde exactamente a un elemento de otro conjunto y se define una aplicación inversa que tiene la misma propiedad. Por lo tanto, una aplicación biyectiva también se denomina aplicación uno a uno (correspondencia).

Una aplicación biyectiva que es un homomorfismo se denomina correspondencia isomorfa .

Si se puede establecer una correspondencia uno a uno (biyección) entre dos conjuntos, entonces tales conjuntos se denominan equivalentes . En términos de la teoría de conjuntos , los conjuntos de igual poder son indistinguibles.

Una aplicación biunívoca de un conjunto finito sobre sí mismo se denomina permutación (o sustitución) de los elementos de este conjunto.

Formalmente, una función se llama biyección (y se denota por ) si: $f\dos puntos X\a Y$ $f\dos puntos X\leftrightarrow Y$

asigna diferentes elementos de un conjunto a diferentes elementos de un conjunto ( inyectividad ): $X$ $Y$ $\para todo x_1\en X,\;\para todo x_2\en X\; x_1 \ne x_2\Flecha derecha f(x_1) \ne f(x_2)$ .
cualquier elemento de tiene su preimagen ( sobreyectividad ): $Y$ $\para todo y\en Y,\;\existe x\en X\;f(x)=y$ .

Ejemplos:

El mapeo de identidad en un conjunto es biyectivo. $\mathrm {id} \dos puntos X\to X$ $X$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ son funciones biyectivas de a sí mismas; en general, cualquier monomio de una variable de grado impar es una biyección en sí misma. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$
$f(x)=e^{x}$ es una función biyectiva de a . $\matemáticas {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sen x$ no es una función biyectiva si suponemos que está definida sobre todo . $\matemáticas {R}$
Una función estrictamente monótona y continua es una biyección de segmento a segmento . $f(x)$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización [f (a), f (b)]}$

Una función es biyectiva si y solo si existe una función inversa tal que: $f\dos puntos X\a Y$ $f^{{-1}}\dos puntos Y\a X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

\forall y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Si las funciones y son biyectivas, entonces la composición de funciones también es biyectiva, en este caso , es decir, la composición de biyecciones es una biyección. Lo contrario no es cierto en el caso general: si es biyectiva, entonces solo podemos decir que es inyectiva, pero sobreyectiva. $F$ $gramo$ $g\circ f$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\circ f$ $F$ $gramo$

Literatura

Vereshchagin N. K., Shen A. Parte 1. Los comienzos de la teoría de conjuntos // Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. — 2ª ed., corregida. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 p.
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Lógica matemática: libro de texto. - 3ª ed., estereotipo .. - San Petersburgo. : Lan, 2004. - 336 p.

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