Operador compacto

Un operador compacto es un concepto de análisis funcional. Los operadores compactos surgen naturalmente en el estudio de ecuaciones integrales y sus propiedades son similares a las de los operadores en espacios de dimensión finita. Los operadores compactos también suelen denominarse completamente continuos .

Definición

Sean espacios de Banach . Se dice que un operador lineal es compacto si asigna cualquier subconjunto acotado a un subconjunto precompacto en . $X,Y$ $T:X\a Y$ $X$ $Y$

Existe una definición equivalente utilizando la noción de topología débil : se dice que un operador lineal es compacto si su restricción a la unidad ball in es un mapa continuo con respecto a la topología débil in y la topología norma in . Obviamente, la propiedad de compacidad es más fuerte que la de acotación. $T:X\a Y$ $X$ $X$ $Y$

El conjunto de operadores compactos se denota por . Es un subconjunto en el espacio de operadores acotados que actúan de a . $T:X\a Y$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Las propiedades más simples

Todo operador completamente continuo está acotado, pero no todo operador acotado es completamente continuo [1] .
Una combinación lineal de operadores completamente continuos de la forma , donde son números, también es un operador completamente continuo [2] . $A,B$ ${\ estilo de visualización \ alfa A + \ beta B}$ $\Alfa Beta$
Sea un operador completamente continuo mapeando un espacio de Banach de dimensión infinita en sí mismo, y sea un operador acotado lineal arbitrario definido en el mismo espacio. Entonces y son operadores completamente continuos [2] . $A$ $B$ $AB$ $licenciado en Letras$
Si una secuencia de operadores completamente continuos que mapean un espacio en un espacio completo converge uniformemente a un operador (es decir , ), entonces también es un operador completamente continuo. [2] [3] ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {A_ {n} \ derecha \))$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ ${\ Displaystyle E_ {y}}$ $A$ $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$ $A$
Si un operador es compacto, entonces su adjunto también lo es.

Ejemplos

Los ejemplos más significativos de operadores compactos los proporciona la teoría de ecuaciones integrales:

Tomemos una función arbitraria . Entonces el operador integral definido como sigue es compacto: $g\en L_{2}([0,1]\times [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\a L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Deje que la función g tenga puntos de discontinuidad solo en un número finito de curvas. Entonces el operador , definido exactamente de la misma forma que el operador del ejemplo anterior, ya es compacto en el espacio de las funciones continuas. ${\ estilo de visualización [0,1] \ veces [0,1]}$ ${\ estilo de visualización T: C (0,1) \ a C (0,1)}$

Un operador diagonal correspondiente a una sucesión y que actúa según la regla está acotado si y sólo si la sucesión está acotada, y la compacidad es equivalente a la convergencia de la sucesión a cero. $T_{\lambda}:l_{2}\to l_{2}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos)}$ $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda_{1}x_{1},\lambda_{2}x_{2},\dots )$ $\lambda$ $\lambda$

Un operador invertible es compacto si y solo si es de dimensión finita. ${\ estilo de visualización A: X \ a Y}$ $X,Y$

Operadores de dimensión finita

Obviamente, cualquier operador lineal acotado con una imagen de dimensión finita es compacto (este tipo de operadores se denominan de dimensión finita ). Para un operador compacto , donde es un espacio de Hilbert, siempre existe una secuencia de operadores de dimensión finita que converge en la norma. Sin embargo, esto no es cierto para el espacio arbitrario . Se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad de aproximación si, para cualquier espacio de Banach, cualquier operador compacto puede aproximarse mediante operadores de dimensión finita. Hay espacios de Banach separables que no tienen la propiedad de aproximación. $T:X\a Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $X$ $T:X\a Y$

Propiedades del espacio de operadores compactos

De las propiedades básicas de los operadores compactos se sigue inmediatamente que es un subespacio en . Sin embargo, se puede demostrar que este subespacio es cerrado. En el caso de , el espacio de operadores adquiere la estructura de un álgebra (la multiplicación viene dada por la composición de operadores). Entonces es un ideal cerrado de dos colas en . ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

La propiedad de aproximación para un espacio se puede formular de la siguiente manera: para cualquier espacio de Banach , el espacio es la clausura del espacio de operadores de dimensión finita de a . $Y$ $X$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ $X$ $Y$

Propiedades espectrales de operadores compactos

Sea un operador compacto. Entonces el operador es un operador Noetheriano de índice 0 (Fredholm). En particular, tenemos la alternativa de Fredholm para : es sobreyectiva si y solo si es inyectiva (la alternativa es que el núcleo no esté vacío o la imagen coincida con todo el espacio). Como consecuencia, inmediatamente obtenemos que todo el espectro distinto de cero de un operador compacto es discreto (los espectros residual y continuo solo pueden contener cero). El cero siempre pertenece al espectro del operador en el caso de dimensión infinita (de lo contrario, el operador invertible sería compacto) y puede no ser un valor propio para el operador . ${\ estilo de visualización T: X \ a X}$ $K=IT$ $k$ $T$ $T$

En el caso de que el operador sea autoadjunto (aquí Hilbert), tenemos adicionalmente el teorema de Hilbert - Schmidt : hay un sistema ortonormal finito o numerable de vectores y una secuencia de números reales distintos de cero (de la misma cardinalidad que el sistema de vectores) , tal que el operador actúa de acuerdo con la regla . Este teorema es una generalización natural de un teorema similar para operadores autoadjuntos en un espacio de dimensión finita. Así, la clase de operadores compactos, desde el punto de vista de las propiedades espectrales, es similar a los operadores en un espacio de dimensión finita. $T$ $X$ $e_{1},e_{2},\puntos$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos}$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n))$

Clases de operadores compactos

Sea un operador compacto y sean espacios de Hilbert. Entonces hay un par de sucesiones ortonormales finitas o numerables de la misma cardinalidad en y en y una sucesión de números reales positivos (de la misma cardinalidad) no creciente que converge a cero si es infinita, tal que el operador actúa según la regla . Este hecho se conoce como el teorema de Schmidt (es muy similar en formulación al teorema de Hilbert-Schmidt y, de hecho, el teorema de Schmidt, con ligeras modificaciones para un operador autoadjunto, sirve como prueba para el teorema de Hilbert-Schmidt). teorema). Es fácil demostrar que los números , que se llaman números de Schmidt, están determinados únicamente por el operador. $T:X\a Y$ $X,Y$ $e_{1},e_{2},\puntos$ $X$ ${\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2}, \ puntos}$ $Y$ $s_{1},s_{2},\puntos$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits_{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n))$ $s_{1},s_{2},\puntos$

Si converge para un operador , entonces el operador se llama operador de Hilbert - Schmidt . La norma la introduce la relación y la genera el producto escalar. Si converge , entonces el operador se llama operador nuclear u operador con un rastro . En el espacio de operadores nucleares, la norma la introduce la relación . $T$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2))$ ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2))))$ ${\ estilo de visualización \ suma \ límites _ {n} s_ {n}}$ $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$

Notas

↑ Krasnov, 1975 , pág. 178.
↑ 1 2 3 Krasnov, 1975 , pág. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, Nauka, 1965

Literatura

A. Ya. Helemsky. Conferencias sobre análisis funcional. - MTSNMO, 2014. - 552 págs. - 2000 copias. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág. - 35.000 ejemplares.
Krasnov M. L. Ecuaciones integrales. — M .: Nauka, 1975. — 304 p.