Espacio métrico convexo

Los espacios métricos convexos se definen intuitivamente como espacios métricos con la propiedad de que cualquier "segmento" que conecta dos puntos en ese espacio contiene puntos distintos de sus extremos.

Definición

Considere un espacio métrico ( X , d ) y sean x e y dos puntos en X . Un punto z en X está entre x e y si los tres puntos son distintos por pares, y

{\ estilo de visualización d (x, z) + d (z, y) = d (x, y),}

es decir , la desigualdad del triángulo se convierte en una igualdad. Un espacio métrico convexo es un espacio métrico ( X , d ) tal que para cualesquiera dos puntos distintos x e y en X , hay un tercer punto z en X que se encuentra entre x e y .

Notas

Bulto métrico:

no implica convexidad en el sentido habitual para subconjuntos del espacio euclidiano (ver el ejemplo de números racionales)
no implica conectividad (ver el ejemplo de los números racionales)
no implica la convexidad geodésica (en inglés) de las variedades de Riemann (por ejemplo, se puede considerar un espacio euclidiano con un disco cerrado recortado).

Ejemplos

Los espacios euclidianos, es decir, el espacio tridimensional habitual y sus análogos para otras dimensiones, son espacios métricos convexos. Dados dos puntos distintos arbitrarios y en tal espacio, el conjunto de todos los puntos que satisfacen la "igualdad triangular" anterior forma un segmento de línea entre y que siempre contiene puntos distintos de y De hecho, contiene un continuo de puntos . $X$ $y$ $z$ $X$ ${\ estilo de visualización y,}$ $X$ $y.$

Cualquier conjunto convexo en un espacio euclidiano forma un espacio métrico convexo con la norma euclidiana inducida. i. Para conjuntos cerrados , lo contrario también es cierto: si un subconjunto cerrado de un espacio euclidiano, junto con la distancia inducida, es un espacio métrico convexo, entonces también es un conjunto convexo (este es un caso especial del enunciado más general considerado abajo).
Un círculo es un espacio métrico convexo si la distancia entre dos puntos se define como la longitud del arco más corto que conecta esos puntos en el círculo.

Segmentos métricos

Sea un espacio métrico arbitrario (no necesariamente convexo). Un subconjunto se llama segmento métrico entre dos puntos distintos y en si hay un segmento numérico y un mapeo isométrico ${\ estilo de visualización (X, d)}$ ${\ estilo de visualización S \ subconjunto X}$ $X$ $y$ $X,$ $[a,b]$

{\ estilo de visualización \ gamma: [a, b] \ a X,}

tal que y ${\ estilo de visualización \ gamma ([a, b]) = S,}$ ${\ estilo de visualización \ gamma (a) = x}$ ${\ estilo de visualización \ gamma (b) = y.}$

Es obvio que cualquier punto de este segmento métrico , con la excepción de sus "extremos" y se encuentra entre y Como consecuencia, si en un espacio métrico hay segmentos métricos entre dos puntos diferentes cualesquiera del espacio, entonces es un espacio convexo espacio métrico. $S$ $X$ $y$ $X$ $y.$ ${\ estilo de visualización (X, d)}$

En general, lo contrario no es cierto. Los números racionales forman un espacio métrico convexo con la métrica habitual, pero no hay segmento que conecte dos números racionales y se compone únicamente de números racionales. Sin embargo, si es un espacio métrico convexo, y además es completo , se puede probar que para dos puntos cualesquiera existe un segmento métrico que los une, hablando en general, no el único. ${\ estilo de visualización (X, d)}$ $x\ney$ $X$

Espacios métricos convexos y conjuntos convexos

Como se señaló en la sección de ejemplos, los subconjuntos cerrados de un espacio euclidiano forman espacios métricos convexos si y solo si son conjuntos convexos. Es natural suponer que los espacios métricos convexos son una generalización del concepto de convexidad, donde los segmentos lineales se reemplazan por otros métricos.

Cabe señalar, sin embargo, que la convexidad métrica así definida carece de una de las propiedades más importantes de los conjuntos euclidianos convexos, a saber, la convexidad de la intersección de dos conjuntos convexos. De hecho, como se señaló en la sección de ejemplos, un círculo con la distancia entre dos puntos, medida como la longitud del arco más corto que los conecta, forma un espacio métrico convexo y completo .

Sin embargo, si y son dos puntos en un círculo que son diametralmente opuestos entre sí, entonces hay dos segmentos métricos que los conectan. Estos dos arcos son métricamente convexos, pero su intersección no es métricamente convexa. $X$ $y$ ${\ estilo de visualización \ {x, y \}}$

Véase también

métrica interna

Bibliografía

Khamsi, Mohamed A.; KirkWilliam A.Unaintroducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . - Wiley-IEEE, 2001. - ISBN 0-471-41825-0 .

Kaplansky, Irving. Teoría de conjuntos y espacios métricos (neopr.) . - Sociedad Matemática Americana, 2001. - ISBN 0-8218-2694-8 .