Coeficientes binomiales gaussianos

Los coeficientes binomiales gaussianos (y también los coeficientes gaussianos , los polinomios gaussianos o los q -coeficientes binomiales ) son los q -análogos de los coeficientes binomiales . El coeficiente binomial gaussiano es un polinomio en q con coeficientes enteros cuyo valor, dado q como potencia de un número primo, cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de n dimensiones sobre un campo finito con q elementos. $\textstyle {\binom {n}{k}}_{q}$

Definición

Los coeficientes binomiales gaussianos se definen de la siguiente manera [1]

{m \elegir r}_{q}={\begin{casos}{\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q ^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}&r\leqslant m\\0&r>m\end{ casos}}

donde m y r son números enteros no negativos.

En el artículo de Smirnov [2] y el libro de Vasiliev, se utilizan corchetes en lugar de corchetes:

\left[{\begin{matriz}{c}m\\r\\\end{matriz}}\right]_{q}

Para , el valor es 1 porque el numerador y el denominador son los productos vacíos de . Aunque la fórmula en la primera expresión es una función racional , en realidad define un polinomio. Tenga en cuenta que la fórmula se puede aplicar a , que da 0 debido al factor en el numerador de acuerdo con la segunda expresión (para cualquier r más grande , el factor 0 está presente en el numerador, pero otros factores tendrán potencias negativas de q , por lo que es preferible la segunda expresión explícita). Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por 1 − q con un cociente en forma de q -número [3] : $r=0$ ${\ estilo de visualización r = m + 1}$ ${\ estilo de visualización 1-q^{0}=0}$

[k]_{q}={\frac {1-q^{k}}{1-q}}=\sum _{0\leqslant i<k}q^{i}=1+q +q^{2}+\cdots +q^{k-1};

Esto da la fórmula equivalente

{m \elegir r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[ 1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leqslant m),

lo que hace obvio que la sustitución da el coeficiente binomial ordinario . En términos del factorial q , la fórmula se puede reescribir como ${\ estilo de visualización q = 1}$ ${\tbinom{m}{r}}_{q}$ ${\tbinom {m}{r))$ ${\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q))$

{m \elegir r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[mr]_{q}!}}\quad (r\leqslant m)

Sin embargo, esta forma compacta (a menudo dada como una definición) oculta la existencia de muchos factores comunes en el numerador y el denominador. Esta vista hace la simetría para . ${\tbinom {m}{r}}_{q}={\tbinom {m}{mr}}_{q}$ $r\leqslant m$

A diferencia del coeficiente binomial habitual, el coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos para (el límite tiene un significado analítico para ): ${\ estilo de visualización m \ flecha derecha \ infinito}$ ${\ estilo de visualización | q | <1}$

{\infty \elegir r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty}{m \elegir r}_{q}={\frac {1}{[r]_{q} !\,(1-q)^{r}}}

Ejemplos

{0 \elegir 0}_{q}={1 \elegir 0}_{q}=1

{1 \elegir 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1

{2 \elegir 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q

{3 \elegir 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}

{3 \elegir 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2 })}}=1+q+q^{2}

{4 \elegir 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2 })}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}

Descripción combinatoria

En lugar de estas expresiones algebraicas, también se puede dar una definición combinatoria de coeficientes binomiales gaussianos. El coeficiente binomial habitual cuenta r - combinaciones seleccionadas de un conjunto con m elementos. Si se distribuyen los m elementos como caracteres distintos en una palabra de longitud m , entonces cada r combinación corresponde a una palabra de longitud m , compuesta de un alfabeto de dos letras, digamos, {0,1}, con r copias de la letra 1 (que indica que se elige la letra) y con m − r copias de la letra 0 (para el resto de posiciones). ${\tbinom {m}{r))$

Las palabras que usan ceros y unos son 0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100. ${4 \elegir 2}=6$

Para obtener un coeficiente binomial gaussiano de este modelo , es suficiente contar cada palabra con un factor q d , donde d es igual al número de "inversiones" en la palabra - el número de pares de posiciones para las cuales la posición izquierda de el par es 1 y la posición derecha contiene 0 en la palabra. Por ejemplo, hay una palabra con 0 inversiones, 0011. Hay una palabra con una inversión, 0101. Hay dos palabras con dos inversiones, 0110 y 1001. Hay una palabra con tres inversiones, 1010, y finalmente una palabra con cuatro inversiones, 1100. Esto corresponde a los coeficientes en . ${\tbinom{m}{r}}_{q}$ ${\displaystyle {4 \elegir 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4))$

Se puede demostrar que los polinomios así definidos satisfacen las identidades de Pascal dadas a continuación y por lo tanto coinciden con los polinomios definidos algebraicamente. Una forma visual de ver esta definición es asignar a cada palabra un camino a través de una red rectangular con altura r y ancho m − r desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, con un paso a la derecha para la letra 0 y un paso arriba para la letra 1. Luego el número de inversiones en la palabra igual al área de la parte del rectángulo debajo del camino.

Propiedades

Al igual que los coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos son contrasimétricos, es decir son invariantes bajo reflexión : $r\rightarrow señor$

{m \elegir r}_{q}={m \elegir señor}_{q}.

En particular,

{m \elegir 0}_{q}={m \elegir m}_{q}=1\,,

{m \elegir 1}_{q}={m \elegir m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\ cdots +q^{m-1}\quad m\geqslant 1\,.

El nombre del coeficiente binomial gaussiano se explica por el hecho de que su valor en un punto es igual a ${\ estilo de visualización q = 1}$

{\displaystyle \lim _{q\to 1}{m \elegir r}_{q}={m \elegir r))

Para todo m y r .

Análogos de las identidades de Pascal para coeficientes binomiales gaussianos

{\displaystyle {m \elegir r}_{q}=q^{r}{m-1 \elegir r}_{q}+{m-1 \elegir r-1}_{q))

{m \elegir r}_{q}={m-1 \elegir r}_{q}+q^{mr}{m-1 \elegir r-1}_{q}.

Hay análogos de fórmulas binomiales y versiones newtonianas generalizadas de ellas para potencias enteras negativas, aunque en el primer caso los coeficientes binomiales gaussianos no aparecen como coeficientes [4] :

\prod_{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum_{k=0}^{n}q^{k(k-1)/ 2}{n \elegir k}_{q}t^{k}

\prod_{k=0}^{n-1}{\frac {1}{(1-q^{k}t)))=\sum_{k=0}^{\infty} {n+k-1 \elegir k}_{q}t^{k}.

y en , las identidades se convierten en $n\rightarrow\infty$

\prod_{k=0}^{\infty}(1+q^{k}t)=\sum_{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k -1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}

\prod_{k=0}^{\infty}{\frac {1}{(1-q^{k}t)))=\sum_{k=0}^{\infty}{ \frac{t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}.

La primera identidad de Pascal permite calcular recursivamente los coeficientes binomiales gaussianos (con respecto a m ) utilizando valores iniciales de "límite"

{m \elegir m}_{q}={m \elegir 0}_{q}=1

Y, de paso, muestra que los coeficientes binomiales gaussianos son en realidad polinomios (en q ). La segunda identidad de Pascal se sigue de la primera por sustitución y la invariancia de los coeficientes binomiales gaussianos con respecto a la reflexión . De las identidades de Pascal se sigue $r\rightarrow señor$ $r\rightarrow señor$

{m \elegir r}_{q}={{1-q^{m}} \over {1-q^{mr}}}{m-1 \elegir r}_{q}

lo que lleva (en iteraciones para m , m − 1, m − 2,....) a una expresión para los coeficientes binomiales gaussianos como en la definición anterior.

Aplicaciones

Los coeficientes binomiales gaussianos aparecen en el conteo de polinomios simétricos y en la teoría de particiones de números . Coeficiente q r en

{\displaystyle {n+m \elegir m}_{q))

es el número de particiones del número r en m o menos partes, cada una de las cuales no es mayor que n . De manera equivalente, también es el número de particiones del número r en n o menos partes, cada una de las cuales no es mayor que m .

Los coeficientes binomiales gaussianos también juegan un papel importante en la enumeración de espacios proyectivos definidos sobre un campo finito. En particular, para cualquier campo finito F q con q elementos, el coeficiente binomial gaussiano

{\displaystyle {n \elegir k}_{q))

cuenta el número de subespacios vectoriales k - dimensionales de un espacio vectorial n - dimensional sobre F q ( grassmanniano ) . Cuando se expande como un polinomio en q , se obtiene la conocida descomposición de Grassmannian en celdas de Schubert. Por ejemplo, el coeficiente binomial de Gauss

{\displaystyle {n \elegir 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1))

es el número de subespacios unidimensionales en ( F q ) n (equivalentemente, el número de puntos en el espacio proyectivo asociado ). Además, si q es igual a 1 (respectivamente, −1), el coeficiente binomial gaussiano da la característica de Euler del Grassmanniano complejo correspondiente (respectivamente, real).

El número de subespacios afines k -dimensionales F q n es

{\displaystyle q^{nk}{n \elegir k}_{q))

Esto permite otra interpretación de la identidad.

{\displaystyle {m \elegir r}_{q}={m-1 \elegir r}_{q}+q^{mr}{m-1 \elegir r-1}_{q))

como un recuento de subespacios de ( r − 1) dimensiones de un espacio proyectivo de ( m − 1) dimensiones para un hiperplano fijo, en cuyo caso se cuenta el número de subespacios contenidos en este hiperplano fijo. Estos subespacios están en correspondencia biyectiva con los subespacios afines ( r − 1)-dimensionales del espacio obtenido al tratar este hiperplano fijo como un hiperplano en el infinito.

En la teoría cuántica de grupos , existen convenciones ligeramente diferentes en la definición. Los coeficientes binomiales cuánticos son

q^{k^{2}-nk}{n \elegir k}_{q^{2))

Esta versión del coeficiente binomial cuántico es simétrica con respecto a y . $q$ $q^{{-1}}$

Triángulos

Los coeficientes binomiales gaussianos se pueden ordenar en un triángulo para cada q y este triángulo para q =1 coincide con el triángulo de Pascal [2] .

Si colocamos las filas de estos triángulos en una línea, obtenemos las siguientes secuencias OEIS :

A022166 para q = 2
A022167 para q = 3
A022168 para q = 4
A022169 para q = 5
A022170 para q = 6
A022171 para q = 7
A022172 para q = 8
A022173 para q = 9
A022174 para q = 10

Notas

↑ Kuzmin, 2000 , pág. 19
↑ 1 2 Smirnov, 2015 , pág. ocho.
↑ Smirnov, 2015 , pág. 9.
↑ Smirnov, 2015 , pág. diez.

Literatura

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