Hipótesis de Toeplitz

La conjetura de Toeplitz , también conocida como la conjetura del cuadrado inscrito, es un problema no resuelto en geometría . Formulación de la hipótesis:

En cualquier curva de Jordan plana cerrada , uno puede encontrar cuatro puntos que se encuentran en los vértices del cuadrado .

La conjetura de Toeplitz es cierta para curvas convexas , curvas suaves por partes y en otros casos especiales. El problema fue formulado por Otto Toeplitz en 1911 [1] . Arnold Emch [2] y Lev Shnirelman [3] obtuvieron primeros resultados positivos . Para curvas suaves el problema está resuelto. [cuatro]

Descripción

Sea C la curva de Jordan . Un polígono P está inscrito en C si todos los vértices de P pertenecen a C. El problema del cuadrado inscrito es:

¿Es posible encontrar un cuadrado inscrito en cada curva de Jordan?

No requiere que los vértices del cuadrado estén en ningún orden en particular.

Para algunas curvas, como círculo y cuadrado , puede especificar un número infinito de cuadrados inscritos. En un triángulo obtuso se puede inscribir exactamente un cuadrado .

Walter Stromquist demostró que se puede inscribir un cuadrado en cada curva plana simple localmente monótona [5] . La prueba se aplica a las curvas C que tienen la propiedad de monotonicidad local: para cualquier punto p que se encuentra en C , existe una vecindad U ( p ) tal que ninguna cuerda de C en esa vecindad es paralela a una dirección dada n ( p ) ( la dirección del eje y). Las curvas localmente monótonas incluyen todas las curvas convexas y todas las curvas diferenciables continuas dadas por tramos sin cúspides .

La respuesta afirmativa también se conoce para curvas centralmente simétricas [6] .

Variantes y generalizaciones

Se sabe que para todo triángulo T y curva de Jordan C , existe un triángulo semejante a T e inscrito en C [7] [8] . Además, el conjunto de vértices de tales triángulos es denso en C [9] . En particular, siempre existe un triángulo equilátero inscrito . Además, se puede inscribir un rectángulo en cualquier curva de Jordan .

Algunas generalizaciones del problema del cuadrado inscrito tratan con polígonos inscritos en curvas. También hay generalizaciones para espacios euclidianos de dimensiones superiores . Entonces, Stromquist demostró que en cualquier curva cerrada continua que satisfaga la "condición A", se puede inscribir un cuadrilátero con lados iguales y diagonales iguales; la "condición A" es que dos cuerdas C en la vecindad correspondiente de cualquier punto no deben ser perpendiculares [5] . Esta clase de curvas incluye todas las curvas C 2 . Nielsen y Wright probaron que cualquier continuo simétrico contiene rectángulos inscritos [6] . Heinrich Guggenheimer demostró que cualquier hipersuperficie , C 3 - difeomorfa a la esfera S n −1 , contiene 2 n vértices de un hipercubo euclidiano regular [10] .

Notas

  1. ↑ Toeplitz, O.: Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft en Solothurn, 94 (1911), p. 197.
  2. ↑ Emch, Arnold (1916), Sobre algunas propiedades de las medianas de curvas continuas cerradas formadas por arcos analíticos , American Journal of Mathematics vol 38 (1): 6–18 , DOI 10.2307/2370541 
  3. ↑ Lev Shnirelman . Sobre algunas propiedades geométricas de las curvas cerradas  // Uspekhi Mat . - 1944. - T. 10 . - S. 34-44 .
  4. ↑ The Rectangular Peg Problem , 19 de mayo de 2020 , < https://arxiv.org/abs/2005.09193 > Archivado el 27 de junio de 2020 en Wayback Machine . 
  5. ↑ 1 2 Stromquist, Walter (1989), Cuadrados inscritos y cuadriláteros con forma de cuadrado en curvas cerradas , Mathematika T. 36 (2): 187–197 , DOI 10.1112/S0025579300013061 
  6. ↑ 1 2 Nielsen, Mark J. & Wright, SE (1995), Rectángulos inscritos en continuos simétricos , Geometriae Dedicata T. 56 (3): 285–297 , DOI 10.1007/BF01263570 
  7. ↑ Meyerson, Mark D. (1980), Triángulos equiláteros y curvas continuas, Fundamenta Mathematicae T. 110 (1): 1–9  .
  8. ↑ Kronheimer, EH & Kronheimer, PB (1981), The tripos problem , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol.24 (1): 182–192 , DOI 10.1112/jlms/s2-24.1.182 
  9. ↑ Nielsen, Mark J. (1992), Triángulos inscritos en curvas cerradas simples , Geometriae Dedicata Vol . 43 (3): 291–297 , DOI 10.1007/BF00151519 
  10. ↑ Guggenheimer, H. (1965), Conjuntos finitos en curvas y superficies , Israel Journal of Mathematics Vol. 3: 104–112 , DOI 10.1007/BF02760036 

Lecturas adicionales

Enlaces externos