Glosario de Geometría Algebraica

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

A

variedad abeliana Grupo algebraico completo. Por ejemplo, una variedad compleja o una curva elíptica sobre un campo finito .

{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n))

mi

\mathbb {F} _{q}

grupo algebraico Un grupo algebraico es una variedad algebraica que también es un grupo , y las operaciones de grupo son morfismos de las variedades. esquema algebraico Un esquema de tipo final separable sobre un campo. Por ejemplo, una variedad algebraica es un esquema algebraico irreducible reducido. paquete vectorial algebraico Gavilla localmente libre de rango finito. variedad algebraica Un esquema separable de enteros de tipo finito sobre un campo. conjunto algebraico El esquema separable reducido de un tipo finito sobre un campo. Una variedad algebraica es un esquema algebraico irreducible reducido. género aritmético El género aritmético de una variedad proyectiva X de dimensión r es .

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

esquema artiniano Esquema noetheriano de dimensión 0. afín 1. Un espacio afín es, en términos generales, un espacio vectorial en el que hemos olvidado qué punto es el origen. 2. Una variedad afín es una variedad en un espacio afín. 3. Un esquema afín es un esquema isomorfo al espectro de algún anillo conmutativo. 4. Un morfismo se llama afín si la preimagen de cualquier subconjunto afín abierto es afín. Clases importantes de morfismos afines son haces vectoriales y morfismos finitos .

b

morfismo biracional Un morfismo biracional de esquemas es un morfismo de esquemas que induce un isomorfismo de sus subconjuntos abiertos densos. Un ejemplo de un morfismo biracional es el mapeo inducido por la explosión .

G

género geométrico El género geométrico de una variedad proyectiva suave X de dimensión n es

\dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})

(donde la igualdad es el teorema de dualidad de Serre . suave 1. Los morfismos suaves son un análogo multidimensional de los morfismos étale. Hay varias definiciones diferentes de suavidad. Las siguientes definiciones de la suavidad de un morfismo f : Y → X son equivalentes: 1) para cualquier punto y ∈ Y existen vecindades afines abiertas V y U de los puntos y , x = f ( y ), respectivamente, tales que la restricción de f a V se descompone en una composición de un morfismo étale y una proyección de un espacio proyectivo n -dimensional sobre U. 2) f es plana, localmente presentada finitamente, y para cualquier punto geométrico en Y (un morfismo de un campo algebraicamente cerrado en Y ), la fibra geométrica es una variedad suave en el sentido de la geometría algebraica clásica.

{\bar {y}}

k({\bar {y)))

X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Especificación} (k({\bar {y}})))

k({\bar {y)))

2. Un esquema suave sobre un campo perfecto k es un esquema regular de tipo localmente finito. 3. Un esquema X sobre un campo k es suave si es geométricamente suave: el esquema es suave.

X\times _{k}{\overline {k))

grupo picardo El grupo de Picard X es el grupo de clases de isomorfismo de paquetes de líneas en X cuya operación de grupo es el producto tensorial .

D

dominante Se dice que un morfismo f : X → Y es dominante si la imagen de f ( X ) es densa . Un morfismo de esquemas afines Spec A → Spec B es dominante si y solo si el núcleo del mapeo correspondiente B → A está contenido en el nilradical B . haz de dualización Una gavilla coherente en X tal que la dualidad de Serre

{\ estilo de visualización \ omega _ {X}}

H^{ni}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}

se cumple para cualquier haz coherente F en X ; por ejemplo, si X es una variedad proyectiva suave, entonces es una gavilla canónica .

W

cerrado Los subcircuitos cerrados del circuito X se construyen usando la siguiente construcción. Sea J un haz cuasi-coherente de ideales. El portador de la gavilla del cociente es un subconjunto cerrado Z de X y es un esquema, llamado subesquema cerrado, definido por una gavilla ideal cuasi-coherente J [1] . La razón por la que la definición de un subcircuito cerrado depende de tal construcción es que, a diferencia de los subconjuntos abiertos, los subconjuntos de circuito cerrado no tienen una estructura de circuito única.

{\mathcal {O}}_{X}/J

(Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})

K

modelo canónico El modelo canónico es el Proj del anillo canónico (se supone que se genera finitamente). canónico 1. El haz canónico sobre una variedad normal X de dimensión n es el haz de formas diferenciales de grado n sobre el subconjunto de puntos lisos .

{\displaystyle \omega _{X}=i^{*}\Omega _{U}^{n))

{\ estilo de visualización i: U \ a X}

2. La clase canónica en una variedad normal X es una clase divisoria tal que .

K_{X}

{\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}

3. Un divisor canónico es un representante de la clase canónica denotada por el mismo símbolo (no definido de forma única).

K_{X}

4. El anillo canónico en una variedad normal X es el anillo de secciones de la gavilla canónica. espacio tangente Ver espacio tangente de Zariski . morfismo cuasi-compacto Se dice que un morfismo f : Y → X es cuasi-compacto si para alguna (y luego para cualquier) cubierta afín abierta de X por conjuntos U i = Spec B i , las imágenes inversas de f −1 ( U i ) son compactas . morfismo cuasifinito Un morfismo de tipo finito que tiene fibras finitas. casi separable Se dice que un morfismo f : Y → X es cuasi-separable si el morfismo diagonal Y → Y × X Y es cuasi-compacto. Un esquema Y es cuasiseparable si un morfismo de él a Spec( Z ) es cuasiseparable [2] . ciertamente concebible Si y es un punto de Y , entonces un morfismo f es finitamente presentable en y si existe una vecindad afín abierta U del punto f(y) y una vecindad afín abierta V del punto y tal que f ( V ) ⊆ U y es un álgebra finitamente presentada sobre (factorizar el álgebra finitamente generada por un ideal finitamente generado). Un morfismo f es localmente finitamente presentable si es finitamente presentable en todos los puntos de Y . Si X es localmente noetheriano, entonces f es localmente finitamente representable si y solo si es de tipo localmente finito [3] . Un morfismo f : Y → X es finitamente presentable si es localmente finitamente presentable, cuasicompacto y cuasiseparable. Si X es localmente noetheriano, entonces f es finitamente representable si y solo si es de tipo finito.

{\mathcal {O}}_{Y}(V)

{\mathcal {O}}_{X}(U)

morfismo finito Un morfismo f : Y → X es finito si puede ser cubierto por conjuntos afines abiertos de modo que cada uno sea afín (tiene la forma ) y se genera finitamente como un módulo.

X

{\text{Especificación}}B

f^{-1}({\text{Especificación}}B)

{\text{Especificación}}A

A

B

anillo de sección El anillo de sección de un haz de líneas L en X es un anillo graduado .

\oplus _{0}^{\infty}\Gamma (X,L^{n})

L

esquema localmente noetheriano Esquema cubierto con los espectros de los anillos de Noether . Si hay un número finito de espectros, el esquema se llama noetheriano. esquema factorial local Un esquema cuyos anillos locales son factoriales .

m

Variedad Fano Una variedad proyectiva suave cuya gavilla anticanónica es amplia.

{\ estilo de visualización \ omega _ {X} ^ {-1}}

Polinomio de Hilbert El polinomio de Hilbert de un esquema proyectivo X sobre un campo es la característica de Euler .

f(s)=\chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))

morfismo de un tipo (localmente) finito Un morfismo f : Y → X es de tipo localmente finito si puede cubrirse con subconjuntos afines abiertos de modo que cada preimagen pueda cubrirse con subconjuntos afines abiertos donde cada uno se genera finitamente como un -álgebra. Un morfismo f : Y → X es de tipo finito si puede cubrirse con subconjuntos afines abiertos , de modo que cada preimagen puede cubrirse con un número finito de subconjuntos afines abiertos , donde cada uno se genera finitamente como un -álgebra.

X

{\text{Especificación}}B

f^{-1}({\text{Especificación}}B)

{\text{Especificación}}A

A

B

X

{\text{Especificación}}B

f^{-1}({\text{Especificación}}B)

{\text{Especificación}}A

A

B

H

circuito irreducible Un esquema se llama irreducible si (como espacio topológico) no es la unión de dos subconjuntos cerrados propios. morfismo no ramificado Para un punto , considere el morfismo correspondiente de los anillos locales

{\ estilo de visualización y\ en Y}

f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}

. Sea el máximo ideal y sea

{\mathfrak{m))

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)))

{\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}

es el ideal generado por la imagen en . Un morfismo se llama no ramificado si es de tipo localmente finito y para todos es el ideal maximal del anillo y la aplicación inducida

{\mathfrak{m))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

F

{\ estilo de visualización y\ en Y}

{\mathfrak{n))

{\mathcal {O}}_{Y,y}

{\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}

es una extensión de campo separable finito . circuito normal Un esquema completo se llama normal si sus anillos locales están integralmente cerrados .

Ah

abundante Un paquete lineal amplio es un paquete lineal cuyo poder tensorial es muy amplio. imagen Si f : Y → X es un morfismo de esquemas, entonces la imagen teórica de esquemas de f es un subesquema cerrado definido de forma única i : Z → X que satisface la siguiente propiedad universal:

f se pasa por i ,
si j : Z ′ → X es cualquier subcircuito cerrado de X tal que f pasa por j , entonces i también pasa por j . [cuatro]

separable Un morfismo separable es un morfismo tal que la diagonal del producto fibroso consigo mismo es cerrada. En consecuencia, un circuito es separable cuando la diagonal incrustada en el producto del circuito consigo mismo es una incrustación cerrada. Tenga en cuenta que un espacio topológico Y es Hausdorff si y solo si la incrustación diagonal

F

F

X

X

X

Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\veces Y

cerrado. La diferencia entre los casos topológico y algebro-geométrico es que el espacio topológico de un esquema difiere del producto de espacios topológicos. Cualquier esquema afín Spec A es separable ya que la diagonal corresponde al mapeo sobreyectivo de los anillos

X\times_{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X

A\otimes_{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'

. subcircuito abierto Un subcircuito abierto de un circuito X es un subconjunto abierto de U con una estructura de haz .

{\mathcal {O}}_{X}|_{U}

muy abundante Un haz de líneas L sobre una variedad X es muy amplio si X puede estar incrustado en un espacio proyectivo, de manera que L es la restricción del haz de Serre retorcido O (1).

P

morfismo plano Mapeos planos inductores de morfismo de las fibras . Un homomorfismo de anillos A → B se llama plano si hace que B sea un módulo A plano . plurirod El n- ésimo plurigen de una variedad proyectiva suave es .

\dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})

diagrama reducido Un esquema cuyos anillos locales no tienen nilpotentes distintos de cero. descriptivo 1. Una variedad proyectiva es una subvariedad cerrada de un espacio proyectivo . 2. Un esquema proyectivo sobre un esquema S es un esquema S que pasa por algún espacio proyectivo como un subesquema cerrado.

{\ estilo de visualización \ mathbf {P} _ {S}^{N} \ a S}

3. Los morfismos proyectivos se definen de manera similar a los morfismos afines: f : Y → X se llama proyectivo si se descompone en una composición de incrustación cerrada y una proyección de un espacio proyectivo sobre .

\mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times_{\mathrm {Especificación} \mathbb {Z} }X

X

R

inflación Una explosión es una transformación birracional que reemplaza un subcircuito cerrado con un divisor de Cartier efectivo. Más precisamente, para un esquema noetheriano X y un subesquema cerrado , la ampliación de Z en X es un morfismo propio tal que (1) es un divisor efectivo de Cartier, llamado divisor excepcional, y (2) es un objeto universal con propiedad (1).

{\ estilo de visualización Z \ subconjunto X}

\pi :{\widetilde {X}}\to X

\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X))

\Pi

Dimensión de Kodaira Dimensión del modelo canónico. patron regular Un esquema cuyos anillos locales son anillos locales regulares . género Véase #género aritmético , #género geométrico .

C

conectado Un esquema está conectado si está conectado como un espacio topológico. Un esquema afín Spec(R) está conectado si y solo si el anillo R no tiene idempotentes distintos de 0 y 1. capa Para un morfismo de esquema , la capa f sobre y como conjunto es la imagen inversa ; tiene la estructura de esquema natural sobre el campo residual del punto y como un producto de fibra , donde tiene la estructura de esquema natural sobre Y como el espectro del campo residual del punto y .

f:X\a Y

{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\))

{\ estilo de visualización X \ veces _ {Y} \ {y \}}

\{y\}

propio morfismo Morfismo universalmente cerrado separable de tipo finito. Se dice que un morfismo de esquema f : X → Y es universalmente cerrado si, para cualquier esquema Z con un morfismo Z → Y , la proyección del producto fibrado es un mapeo cerrado de espacios topológicos (transfiere conjuntos cerrados a conjuntos cerrados).

{\ estilo de visualización X \ veces _ {Y} Z \ a Z}

esquema Un esquema es un espacio localmente anillado , localmente isomorfo al espectro de un anillo conmutativo .

T

punto Un esquema es un espacio localmente anillado y, por lo tanto, un espacio topológico, pero la palabra punto tiene tres significados:

S

S

punto del espacio topológico subyacente; $PAGS$
$T$ -punto es un morfismo de a , para cualquier esquema ; $S$ $T$ $S$ $T$
un punto geométrico de un esquema definido sobre (con un morfismo a) , donde es

un campo , es un morfismo desde a , donde es un cierre algebraico de .

S

{\textrm {Especificación}}(K)

k

{\textrm {Especificación))({\overline {K)))

S

{\sobrelínea {K}}

k

C

todo el esquema El esquema irreducible reducido. Para un esquema localmente noetheriano, ser integral equivale a estar conectado y cubierto por espectros de dominios de integridad.

E

etal Un morfismo f : Y → X es étale si es plano y no ramificado. Hay varias otras definiciones equivalentes. En el caso de variedades suaves y sobre un campo algebraicamente cerrado, los morfismos étale son morfismos que inducen un isomorfismo de espacios tangentes , que es lo mismo que la definición habitual de aplicaciones étale en geometría diferencial.

X

Y

df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X

divisor efectivo de Cartier Un divisor de Cartier efectivo en un esquema X sobre S es un subesquema cerrado de X que es plano sobre S y cuyo haz ideal es invertible .

Notas

↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , 4.1.2 y 4.1.3.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1964 , 1.2.1.
↑ Grothendieck & Dieudonné, 1960 , §1.4.
↑ The Stacks Project Archivado el 16 de marzo de 2012 en Wayback Machine , Capítulo 21, §4.

Literatura

Hartshorne R. Geometría algebraica / transl. De inglés. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , vol. 2, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Lámina. Una Serie de Encuestas Modernas en Matemáticas [Resultados en Matemáticas y Áreas Relacionadas. 3ra Serie. Una serie de encuestas modernas en matemáticas], Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean (1960). “Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas” . Publicaciones Mathématiques de l'IHES . 4 . doi : 10.1007/ bf02684778 . MR 0217083 .
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean (1964). “Elements de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie” . Publicaciones Mathématiques de l'IHES . 20 _ doi : 10.1007/ bf02684747 . MR 0173675 .