Grupo dicíclico
En la teoría de grupos, el grupo dicíclico Dic n es un grupo no conmutativo de orden 4n (donde n>=2), que es una extensión del grupo cíclico de orden 2n . Este grupo también se denomina grupo cuaternión generalizado y se denota como Q 4 n .
Hay una secuencia exacta :
lo que significa que Dic n contiene un subgrupo normal H isomorfo a C 2n . El grupo de factores Dic n /H es isomorfo a C 2 .
Definición
Un grupo dicíclico se puede definir como el grupo generado por los elementos a y b por las relaciones
- un 2n =1,
- b 2 \u003d a n ,
- b -1 ab = a -1 .
De estas relaciones se deduce que cada elemento de Dic n puede escribirse únicamente como a k b j , donde 0 ≤ k < 2 n , j = 0 o 1. Por lo tanto, el orden del grupo es 4n .
Propiedades
El centro del grupo dicíclico Z(Dic n ) consta de dos elementos a n y 1. Su conmutador es el subgrupo generado por el elemento a 2 e isomorfo a C n .
Grupo dicíclico y grupo diédrico
Existe una similitud entre el grupo dicíclico y el grupo diédrico Dih 2n . Estos grupos tienen un subgrupo cíclico A = <a>=C 2n y un automorfismo interno , que actúa sobre C 2n como un "reflejo": int b (a) = a -1 .
Reemplazar la relación b 2 = 1 (para el grupo diédrico) por b 2 = a n conduce a una serie de diferencias. Todos los elementos que no pertenecen al subgrupo < a > tienen orden 2 en el grupo diédrico y orden 4 en el grupo dicíclico. A diferencia del grupo diédrico, el grupo dicíclico Dic n no es un producto semidirecto de A y < b >, ya que la intersección A ∩ < b > no es trivial .
Un grupo dicíclico tiene exactamente un elemento de orden 2, a saber, x = b 2 = a n . Este elemento pertenece al centro del grupo Dic n . Si sumamos la relación b 2 = 1, entonces obtenemos el grupo diédrico Dih n . Así, el grupo factorial Dic n /<b 2 > es isomorfo al grupo diédrico Dih n que contiene 2n elementos.
Nombre del grupo
En la enciclopedia matemática, un grupo de cuaterniones es un caso especial donde el orden del grupo es una potencia de 2. En este caso, el grupo es nilpotente .
El caso de los 2 grupos
En un grupo de cuaterniones generalizados, cualquier subgrupo abeliano es cíclico [1] . Se puede demostrar que un grupo p finito con esta propiedad (cualquier subgrupo abeliano es cíclico) es cíclico o un grupo cuaternión generalizado [2] . Si un p -grupo finito tiene un solo subgrupo de orden p , entonces es un grupo cíclico o un cuaternión generalizado (con un orden igual a una potencia de dos) [3] . En particular, para un campo finito F de característica impar, el subgrupo de 2-Sylow SL 2 ( F ) no es abeliano y tiene solo un subgrupo de orden 2, por lo que este subgrupo de 2-Sylow debe ser un grupo de cuaterniones generalizado [4] . Si p r es el orden de F , donde p es primo, entonces el orden del subgrupo de 2-Sylow SL 2 ( F ) es 2 n , donde n = ord 2 ( p 2 - 1) + ord 2 ( r ).
Véase también
Notas
- ↑ Marrón, 1982 , pág. 101, ejercicio 1.
- ↑ Cartan, Eilenberg, 1999 , pág. 262, Teorema 11.6.
- ↑ Marrón, 1982 , pág. 99, Teorema 4.3.
- ↑ Gorenstein, 1980 , pág. 42.
Literatura
- Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentos de la teoría de grupos, Nauka Publishing House, 1972.
- Kenneth S. Brown. Cohomología de grupos. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
- Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Álgebra Homológica . - Prensa de la Universidad de Princeton, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
- D. Gorenstein. Grupos Finitos. - Nueva York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .