Elemento neutro

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El elemento neutral de una operación binaria es un elemento que deja cualquier otro elemento sin cambios cuando esa operación binaria se aplica a esos dos elementos.

Definición

Sea un conjunto con una operación binaria " " definida en él . Un elemento se llama neutral con respecto a (multiplicación) si $(M,\cdot)$ $METRO$ $\cdot$ $e\en M$ $\cdot$

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M

En casos de operaciones no conmutativas , se introduce un elemento neutro a la izquierda para el cual $e_{\mathrm {l} }$

e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M

y el elemento neutro derecho , para el cual $e_{\mathrm {r} }$

x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M

En general, puede haber un número arbitrario de elementos que sean neutrales a la izquierda o a la derecha. Si existen simultáneamente un elemento neutral a la izquierda y un elemento neutral a la derecha , entonces deben coincidir (porque ). $e_{{{\matemáticas l}}}$ $e_{{{\matemáticas r}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}\cdot e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}$

Ejemplos

Un montón de	operación binaria	elemento neutro
Numeros reales	$+$ ( adición )	número 0
Numeros reales	$\cdot$ ( multiplicar )	numero 1
Numeros reales	$-$ ( resta )	número 0 (neutro a la derecha)
Numeros reales	$un ^ {b}$ ( exponenciación )	número 1 (neutro a la derecha)
recta numérica extendida	$\div$ ( división )	número 1 (neutro a la derecha)
espacio vectorial	$+$ ( suma de vectores )	${\vec 0}$ ( vector nulo )
Matrices de dimensión $m\veces n$	$+$ (suma de matrices)	matriz nula
Matrices de dimensión $n\veces n$	$\veces$ (producto de matriz)	matriz de identidad
Ver funciones $f:M\a M$	$\circ$ ( composición de funciones )	mapeo de identidad
Cadenas de caracteres	concatenación	línea vacía
recta numérica extendida	${\ estilo de visualización \ min}$ ( mínimo ) o ( mínimo ) $\inf$	$+\infty$
recta numérica extendida	${\ estilo de visualización \ máximo}$ ( máximo ) o ( supremo ) $\arriba$	$-\infty$
Subconjuntos de un conjunto $METRO$	$\gorra$ ( establecer intersección )	$METRO$
Conjuntos	$\taza$ ( establecer unión )	$\varnada$ ( conjunto vacío )
calculo proposicional	$\cuña$ ( conjunción )	$\parte superior$ (verdadero)
calculo proposicional	$\lor$ ( disyunción )	$\bot$ (Falso)

Terminología

En álgebra

En la notación multiplicativa dada en la definición , se acostumbra llamar a un elemento neutro un elemento único o simplemente una unidad por analogía con el número del mismo nombre . Consulte el artículo " unidad (álgebra) " para elementos neutrales bilaterales de multiplicación en anillos , campos y álgebras sobre ellos.

Si estamos hablando del elemento neutro de la operación, denotado (y llamado) suma , entonces el elemento neutro se llama cero , nuevamente por analogía con el número del mismo nombre . La suma se denomina no solo una operación en teoría de anillos y álgebra lineal, sino, por lo general, una operación de grupo en grupos abelianos en notación aditiva.

En la teoría de la red

En la teoría de la red , el elemento neutro de la operación "∨" se denota por "0", y el elemento neutro de la operación "∧" se denota por "1".

Véase también

Elemento absorbente
elemento inverso
monoide
Grupo

Enlaces

Kulikov L. Ya. Álgebra y teoría de números: Proc. manual para institutos pedagógicos. - M.: Superior. escuela, 1979. - 559 p. página 77 "Elementos neutros"
http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (ruso)
http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (ruso)
https://brilliant.org/wiki/identity-element/ _
Weisstein, Eric W. "Elemento de identidad". De MathWorld: un recurso web de Wolfram