Subgrupo

Un subgrupo es un subconjunto del grupo que es en sí mismo un grupo con respecto a la operación que lo define .

Un subconjunto de un grupo es su subgrupo si y solo si:

1. contiene el único elemento de
2. contiene el producto de dos elementos cualquiera de ,
3. contiene, junto con cada uno de sus elementos, el elemento inverso a él .

En el caso de grupos finitos y, en general, periódicos , la tercera condición es consecuencia de las dos primeras.

Ejemplos

• Un subconjunto del grupo que consta de un elemento obviamente será un subgrupo, y este subgrupo se denomina subgrupo identidad del grupo .
• También es su propio subgrupo.

Definiciones relacionadas

• Cualquier subgrupo que es diferente del grupo completo se llama un verdadero subgrupo de este grupo. Un verdadero subgrupo de algún grupo infinito puede ser isomorfo al grupo mismo.
• El grupo en sí y el subgrupo unitario se denominan subgrupos impropios del grupo , todos los demás se denominan subgrupos propios .
• La intersección de todos los subgrupos del grupo que contiene todos los elementos de algún conjunto no vacío se denomina subgrupo generado por el conjunto y se denota por .
  • Si consta de un elemento , entonces se llama un
  subgrupo cíclico del elemento .
• Un grupo que es igual a uno de sus subgrupos cíclicos se llama grupo cíclico .

Si un grupo es isomorfo a algún subgrupo de , entonces se dice que el grupo está incrustado en .

Si es un subgrupo del grupo , entonces para cualquier subconjunto

Propiedades básicas

• La intersección de los subgrupos A y B también es un subgrupo.
• Todos los subgrupos forman una red de inclusión completa, llamada red de subgrupos.
• Un conjunto no vacío es un subgrupo de un grupo si y sólo si para cualquier
• La intersección teórica de conjuntos de dos (y cualquier conjunto) subgrupos de un grupo es un subgrupo del grupo .
• Una unión teórica de conjuntos de subgrupos, en términos generales, no necesita ser un subgrupo. Una unión de subgrupos es un subgrupo generado por una unión de conjuntos .
• Una imagen homomórfica de subgrupos es un subgrupo.
• Si se dan dos grupos y cada uno de ellos es isomorfo a algún subgrupo verdadero del otro, entonces el isomorfismo de estos grupos mismos no se sigue de esto.

Clases relacionadas

Para un subgrupo y algún elemento , se define la clase lateral izquierda . El número de clases laterales izquierdas de un subgrupo se denomina índice del subgrupo y se denota por . De manera similar, se pueden definir clases laterales derechas .

Si las clases laterales izquierda y derecha de un subgrupo son iguales, entonces se llama normal . Esta propiedad hace posible construir un grupo factorial de un grupo a partir de un subgrupo normal .

Literatura

• Kurosh A. G. Teoría de grupos . - 3ra ed. — M .: Nauka, 1967. — 648 p.
• Zhuravlev Yu. I. , Flerov Yu. A. , Vyaly M. N. Análisis discreto. Fundamentos de Álgebra Superior . - 2ª ed. - M. : MZ Press, 2007. - S. 24-25. — 224 págs.