La ley de Snell

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La ley de Snell (también Snell o Snell ) describe la refracción de la luz en el límite de dos medios transparentes. También es aplicable a la descripción de la refracción de ondas de diferente naturaleza, por ejemplo, ondas sonoras. Para una explicación teórica de la ley de Snell, ver el artículo Refracción .

La ley fue descubierta en 1621 por el matemático holandés Willebrord Snellius [1] . Algo más tarde publicado (y probablemente redescubierto de forma independiente) por René Descartes .

Redacción

El ángulo de incidencia de la luz sobre la superficie está relacionado con el ángulo de refracción por la relación:

n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2},

donde es el índice de refracción del medio desde el cual la luz incide en la interfaz;

n_{1}

\ theta _ {1}

- ángulo de incidencia de la luz - el ángulo entre el rayo que incide sobre la superficie y la normal a la superficie;

n_{2}

es el índice de refracción del medio en el que entra la luz después de pasar por la interfaz;

\ theta _ {2}

- ángulo de refracción de la luz - el ángulo entre el rayo que pasa a través de la superficie y la normal a la superficie. Derivación de la ley

Déjalo reposar en el plano del dibujo. Deje que el eje se dirija horizontalmente, el eje - verticalmente. De las consideraciones de simetría se sigue que y (para las ondas incidente, reflejada y refractada, respectivamente) debe estar en el mismo plano. $\vec{k}$ $X$ $y$ ${\vec{k}),$ $\vec{k'}$ $\vec{k''}$

Destaquemos una componente polarizada en el plano del haz incidente, en la que el ángulo entre y el plano es arbitrario. Entonces si elegimos la fase inicial igual a cero, entonces: ${\ vec {E}}$

E=E_{m}e^{i(\omega t-{\vec {k}}{\vec {r}})}=E_{m}e^{i(\omega t-k_{ x}x-k_{y}y)};

E'=E'_{m}e^{i(\omega 't-{\vec {k'}}{\vec {r}})}=E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E''=E''_{m}e^{i(\omega ''t-{\vec {k''}}{\vec {r}})}=E''_{m }e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Los campos resultantes en el primer y segundo entorno son respectivamente:

E_{1}=E+E'=E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x-k_{y}y)}+E'_{m}e^{i (\omega 'tk'_{x}xk'_{y}y+\alpha ')};

E_{2}=E''=E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}xk''_{y}y+\alpha '')}.

Es obvio que las componentes tangenciales y deben ser iguales en la interfaz, es decir, en $E_1$ $E_2$ ${\ estilo de visualización y = 0.}$

Después:

E_{m}e^{i(\omega t-k_{x}x)}+E'_{m}e^{i(\omega 'tk'_{x}x+\alpha ')} =E''_{m}e^{i(\omega ''tk''_{x}x+\alpha '')}.

Para que la última ecuación se cumpla para todos , es necesario que , y para que se cumpla para todos , es necesario que: $yo,$ $\omega = \omega' = \omega''$ $X,$

k_{x}=k'_{x}=k''_{x}\Leftrightarrow k\sin {\alpha }=k'\sin {\alpha '}=k''\sin {\alpha ''}\Leftrightarrow {\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha }={\cfrac {\omega }{v_{1))}\sin {\alpha '}={\ cfrac {\omega }{v_{2))}\sin {\alpha ''},

donde y son las velocidades de onda en el primer y segundo medio, respectivamente.

v_{1}

v_{2}

De ahí se sigue que ${\cfrac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha ''}}}={\cfrac {v_{1}}{v_{2}}}=n_{12}\blacksquare .$

Ámbito de aplicación de la ley

La ley de Snell está bien definida para el caso de la " óptica geométrica ", es decir, en el caso de que la longitud de onda sea lo suficientemente pequeña en comparación con las dimensiones de la superficie refractiva, en términos generales, funciona en el marco de una descripción aproximada, que es óptica geométrica.

Si hay reflexión interna total (no hay haz refractado, el haz incidente se refleja completamente desde la interfaz entre los medios). $n_{1}\sin \theta _{1}>n_{2},$

Cabe señalar que en el caso de medios anisotrópicos (por ejemplo, cristales con baja simetría o sólidos deformados mecánicamente ), la refracción obedece a una ley algo más compleja. En este caso, la dependencia de la dirección del haz refractado es posible no solo de la dirección del incidente, sino también de su polarización (ver birrefringencia ).

La ley de Snell no describe la relación de las intensidades y polarizaciones de los rayos incidente, refractado y reflejado, considerados en las fórmulas de Fresnel más detalladas .

Reseña histórica

La primera ley de refracción de la luz, es decir, la dependencia del ángulo de refracción del ángulo de incidencia, trató de determinar experimentalmente el famoso astrónomo antiguo Claudio Ptolomeo en el quinto libro de su tratado "Óptica" . Ptolomeo midió cómo cambia el ángulo de refracción dependiendo del ángulo de incidencia cuando este último cambia de a y compiló tablas para tres opciones para cambiar el medio: aire-agua, aire-vidrio y agua-vidrio. Por ejemplo, para el caso de aire-agua, la tabla de Ptolomeo es la siguiente (para comparación, también se dan datos modernos y el valor de error) [2] [3] : ${\ estilo de visualización 10 ^ {\ circ})$ $80^{\circ},$

Ángulos de refracción según Ptolomeo y según datos modernos (aire-agua)

Ángulo de incidencia, grados	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°
datos de ptolomeo	8° 0'	15° 30'	22° 30'	29°0'	35° 0'	40° 30'	45° 30'	50° 0'
Datos modernos	7° 29'	14° 52'	22° 01'	28° 49'	35° 04'	40° 30'	44° 48'	47° 36'
Valor de error	+31'	+38'	+29'	+11'	−4'	0'	+42'	+144'

Los historiadores han llegado a la conclusión de que Ptolomeo en realidad midió la desviación del rayo solo en la región de 60 ° y ángulos cercanos, porque en las tres tablas para este valor el error es cero, y para otros ángulos realizó una aproximación lineal. con coeficientes seleccionados por él. Sin embargo, en realidad, la dependencia del ángulo de refracción del ángulo de incidencia no es lineal, por lo que Ptolomeo cometió grandes errores [2] [4] .

El físico y astrónomo árabe del siglo XI, Ibn al-Khaytham , en su “ Libro de la Óptica (1021) también aborda este tema y da sus tablas cercanas a las ptolemaicas, pero no intenta expresar matemáticamente la ley requerida. [3] .

En 1990, el historiador árabe de la ciencia Roshdi Rashed , que se especializa en buscar contribuciones árabes a la ciencia mundial, publicó un artículo en el que informaba que había encontrado dos fragmentos de un manuscrito árabe de un erudito poco conocido de la X e siglo, Ibn Sal , uno de los maestros de Ibn al-Haytham. Rashed también informó que pudo reconstruir un texto del que se deduce que ibn Sal descubrió y formuló correctamente la ley de Snell. Todavía no hay una confirmación independiente de las afirmaciones de Rashed. También se requiere explicar por qué ninguno de los seguidores de ibn Sal, incluido su alumno Ibn al-Khaytham, menciona este logro fundamental, y por qué el propio ibn Sal no informa con qué experimentos probó su descubrimiento [5] [3] .

En Europa, la primera formulación de la ley de la refracción se encuentra en un manuscrito inédito del matemático inglés Thomas Harriot (1602). El astrónomo alemán Johannes Kepler , que se ocupó del problema de elegir la mejor forma de lentes incendiarias, le pidió a Harriot que proporcionara detalles de la ley abierta, pero Harriot se limitó a enviar tablas actualizadas, citando el hecho de que su mala salud no le permitía expresar la ley en una forma adecuada para su publicación [6] .

Otro descubrimiento inédito de esta ley ocurrió en 1621, cuando el matemático holandés Willebrord Snell ( Snellius ) escribió la ley de la refracción en una forma equivalente a la moderna: “ en el mismo medio, la razón de las cosecantes de los ángulos de incidencia y la refracción permanece constante .” Una muerte repentina en 1626 impidió que Snell publicara su descubrimiento, pero corrieron rumores sobre él, y un borrador del artículo de Snell sobrevivió y se encuentra en la biblioteca de la Universidad de Amsterdam [7] .

Más tarde, René Descartes descubrió y publicó de forma independiente la "Ley de Snell" en el tratado Discurso sobre el método (Apéndice dióptrico, 1637). La prioridad de Snell fue establecida por Christian Huygens en 1703 (en su tratado Dioptrics), 77 años después de la muerte de Snell, cuando esta ley ya era bien conocida; Huygens también corroboró (en Tratado sobre la luz ) la derivación de la ley de Snell a partir de la teoría ondulatoria de la luz y el principio de Huygens-Fresnel . Los detractores acusaron a Descartes de plagio , sospechando que durante una de sus visitas a Leiden, Descartes se enteró del descubrimiento de Snell y pudo familiarizarse con sus manuscritos [8] . Sin embargo, no hay evidencia de plagio, y los historiadores han estudiado en detalle el camino independiente de Descartes hacia este descubrimiento [9] [10] .

Principio de Fermat

El conocido principio [11] sobre el movimiento de un haz de luz a lo largo de la trayectoria entre dos puntos, que requiere el menor tiempo posible, se puede utilizar para probar la ley de la refracción. Sea la velocidad de la luz en dos medios y , entonces el tiempo de movimiento entre los puntos A y B depende de la elección del punto P en el límite entre los medios: $v_{1}$ $v_{2}$

T={\frac {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(dx)^ {2}}}{v_{2}}}\,.

Esta función tendrá un mínimo cuando su derivada sea cero [12] :

{\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))}+{\frac {- (dx)}{v_{2}{\sqrt {b^{2}+(dx)^{2}}}}}=0\,.

Aquí los senos de los ángulos se pueden expresar en términos de triángulos:

{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2))))=\sin \alpha \,,\qquad {\frac {dx}{\sqrt {b^{ 2}+(dx)^{2}}}}=\sen\beta

La derivada se reduce a la forma

{\frac {\sin \alpha }{v_{1))}-{\frac {\sin \beta}{v_{2))}=0\,,

de lo que se deduce que

{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))={\frac {v_{1}}{v_{2}}}\,.

Esta expresión es la ley de Snell [13] .

Fórmula vectorial

Sean y los vectores de rayos de los rayos de luz incidente y refractado, es decir, los vectores que indican las direcciones de los rayos y que tienen longitudes y un vector unitario normal a la superficie de refracción en el punto de refracción. Después: ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {\ vec {v}}_{1}}$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {\ vec {v}}_{2}}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{1}|=n_{1}$ $\scriptstyle |{\vec {v}}_{2}|=n_{2},$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script {\ vec {n}}}$

{\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+\left({\sqrt {{\frac {n_{2}^{2}-n_{1 }^{2}}{({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {n}})^{2}}}+1}}-1\right)({\vec {v }}_{1}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}.

Notas

↑ Snell es una forma romanizada del apellido original Snell .
↑ 1 2 Bronshten V. A. Claudio Ptolomeo / Resp. edición A. A. Gurshtein. - M. : Nauka, 1988. - S. 157-161. — 239 págs.
^ 1 2 3 Sabra AI (1981), Teorías de la luz de Descartes a Newton , Cambridge University Press . ( cf. Pavlos Mihas, Uso de la historia en el desarrollo de ideas de refracción, lentes y arco iris , p. 5, Universidad Demokritus, Tracia , Grecia ).
↑ Ptolomeo (ca. 100-ca. 170) . El mundo de la biografía científica de Eric Weinstein . Consultado el 28 de julio de 2021. Archivado desde el original el 27 de abril de 2006. (indefinido)
↑ Dra. Gorden Viden . ¿La ley de la refracción de quién? Archivado el 27 de julio de 2021 en Wayback Machine , Optics & Photonics News (mayo de 2008) Archivado el 27 de julio de 2021 en Wayback Machine
↑ Kwan, A.; Dudley, J.; Lantz, E. (2002). “¿Quién descubrió realmente la ley de Snell?”. Mundo de Física . 15 (4): 64. doi : 10.1088/ 2058-7058 /15/4/44 .
↑ Rosenberger F. Historia de la física . - M. - L. : GITTL, 1934. - T. 2. - S. 94-95.
↑ Snellius // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
↑ Matemáticas del siglo XVII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. II. - S. 32.
↑ Dorfman Ya. G. Historia mundial de la física. Desde la antigüedad hasta finales del siglo XVIII. - Ed. 3er. - M. : LKI, 2010. - S. 198-199. — 352 págs. - ISBN 978-5-382-01091-5 .
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Volumen 3: Radiación. Ondas. cuantos Traducción del inglés (Vol. 4). — Editorial URSS. — ISBN 5-354-00701-1 .
↑ Landsberg, G.S. Optics: un libro de texto para universidades . - 6ª ed. estereotipo - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 252 . — 848 pág. — ISBN 5-9221-0314-8 .
↑ Ley de Snell // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Serpentinas. - 704 pág. - 40.000 copias. - ISBN 5-85270-087-8 .

Enlaces

Elementos de la Gran Ciencia: Ley de Snell