Categoría monoide cerrada

En la teoría de categorías , una categoría monoidal cerrada es una categoría que permite tomar productos tensoriales de objetos, así como considerar objetos correspondientes a conjuntos de morfismos. El ejemplo clásico es la categoría de conjuntos , en la que existe un producto cartesiano de conjuntos , así como un conjunto de funciones entre dos conjuntos. "Un objeto que corresponde a un conjunto de morfismos" suele llamarse Hom interno .

Definición

Una categoría monoide simétrica se llama cerrada si para cualquiera de sus objetos el funtor , dado por la multiplicación de tensores a la derecha: ${\ matemáticas {C}}$ $B$ $B$

A\mapsto A\otimes B

tiene un adjunto derecho , denotado

A\mapsto (B\Rightarrow A).

Esto significa que hay una biyección, llamada ' currying ', entre los conjuntos

{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C )

que es natural en A y en C.

De manera equivalente, una categoría monoidal cerrada es una categoría equipada, para dos objetos cualesquiera A y B , ${\ matemáticas {C}}$

objeto , $A\Flecha derecha B$
y morfismo , $\mathrm {eval}_{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B$

satisfaciendo la siguiente propiedad universal : para cualquier morfismo

f:X\otimes A\to B

solo hay un morfismo

h:X\to A\Rightarrow B

tal que

f=\mathrm {eval}_{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id}_{A}).

Se puede demostrar que esta construcción define un funtor . Este funtor se llama funtor interno Hom . Se utilizan muchas otras notaciones para un objeto , por ejemplo, cuando un producto tensorial en C es un producto cartesiano de conjuntos, generalmente se denota y se denomina exponencial . $\Rightarrow:C^{op}\otimes C\to C$ $A\Flecha derecha B$ $B^{A}$

Categorías bicerradas

En el caso de una categoría monoidal simétrica, los funtores de la multiplicación del tensor izquierdo y la multiplicación del tensor derecho son naturalmente isomorfos , por lo que cualquiera puede usarse para definir la clausura. Si la categoría no es simétrica, la definición anterior corresponde a una categoría monoidal cerrada por la derecha , ya que solo requerimos que la multiplicación de tensores por un objeto a la derecha tenga un funtor adjunto derecho. Una categoría monoidal cerrada a la izquierda es aquella en la que la multiplicación de tensores por un objeto a la izquierda $A$ $A$

B\mapsto A\otimes B

tiene un adjunto izquierdo

B\mapsto (B\Leftarrow A)

Una categoría monoide bicerrada es una categoría monoide cerrada por la izquierda y la derecha.

Ejemplos

Como se mencionó anteriormente, la categoría Conjunto es una categoría monoidal cerrada. También es cerrado cartesiano , y cualquier categoría cerrada cartesiana es cerrada monoide.
La categoría FdVect de espacios vectoriales de dimensión finita y aplicaciones lineales, con el producto tensorial habitual , es un monoidal cerrado. Aquí , es el espacio vectorial de aplicaciones lineales de a (isomorfo al espacio de matrices). $A\Flecha derecha B$ $A$ $B$

Notas

Kelly, GM, "Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecidas" Archivado el 8 de septiembre de 2012 en Wayback Machine , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Paul-André Mellies, Semántica categórica de la lógica lineal, 2007
Categoría monoidal cerrada Archivado el 3 de junio de 2013 en Wayback Machine en nLab [