Funtores adjuntos

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Los funtores adjuntos son un par de funtores que están en cierta relación entre sí. Los funtores adjuntos se encuentran a menudo en varias áreas de las matemáticas.

Informalmente, los funtores F y G son conjugados si satisfacen la relación . Entonces F se llama funtor adjunto izquierdo y G se llama funtor derecho. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motivación

Los funtores adjuntos son una de las herramientas clave de la teoría de categorías , muchas construcciones matemáticas notables pueden describirse como funtores adjuntos. Como resultado, pueden seguirse inmediatamente demostraciones de muchos resultados interesantes a partir de teoremas generales sobre funtores adjuntos, como la equivalencia de diferentes definiciones, y del hecho de que los funtores adjuntos derechos conmutan con límites (y los izquierdos con colímites).

Solución del problema de optimización

Podemos decir que un funtor adjunto es una forma de especificar la solución más eficiente a algún problema utilizando un método estándar. Por ejemplo, un problema elemental de la teoría de anillos es cómo convertir un pseudoanillo (es decir, un anillo que puede no tener una unidad multiplicativa) en un anillo . La forma más eficiente de hacer esto es agregar uno al anillo, todos los elementos necesarios para satisfacer los axiomas del anillo (por ejemplo, elementos de tipo r +1 , donde r es un elemento del anillo), y no asumir cualquier relación en el nuevo anillo que no sea necesaria para satisfacer los axiomas. Esta construcción es estándar en el sentido de que funciona para cualquier pseudoanillo.

La descripción anterior es muy vaga, pero se puede precisar usando el lenguaje de la teoría de categorías: una construcción es " más eficiente " si satisface la propiedad universal y " estándar " en el sentido de que define un funtor. Las propiedades universales se dividen en iniciales y terminales, ya que estos conceptos son duales , basta considerar uno de ellos.

La idea de usar la propiedad inicial es formular el problema en términos de una categoría auxiliar E tal que solo queda encontrar el objeto inicial E . Esta formulación tiene la ventaja de que el problema de "encontrar la solución más eficiente" se vuelve bastante riguroso y en cierto sentido similar al problema de encontrar un extremum . Para elegir la categoría correcta E , a veces es necesario elegir trucos difíciles: en el caso de un semiring R , la categoría requerida es una categoría cuyos objetos son homomorfismos de semirings R → S , donde S es algún anillo con identidad. Los morfismos en E entre R → S 1 y R → S 2 son triángulos conmutativos de la forma ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) , donde S 1 → S 2 es un homomorfismo de anillos. La existencia de un morfismo entre R → S 1 y R → S 2 significa que S 1 no es una solución menos eficiente al problema que S 2 : S 2 tiene más elementos agregados y/o más relaciones entre ellos que S 1 .

Decir que este método define la solución " más eficiente " y " estándar " a un problema es lo mismo que decir que define funtores adjuntos.

Definiciones formales

Hay varias definiciones equivalentes de funtores adjuntos. Su equivalencia es elemental, pero no trivial.

La definición de flecha universal es fácil de formular y también es la más cercana a nuestra intuición sobre el "problema de optimización".

La definición de unidad y counit es conveniente para los funtores que se encuentran a menudo en álgebra, porque proporciona fórmulas que se pueden verificar directamente.

La definición del conjunto Hom hace que la definición sea simétrica y aclara las razones para llamar a los funtores "adjuntos".

Flecha universal

Un funtor F : C ← D es un funtor adjunto izquierdo si para cada objeto X de categoría C existe una flecha terminal ε X de F a X . Si para cada X en C elegimos un objeto G 0 X en D para el cual se define una flecha terminal ε X : F ( G 0 X ) → X , entonces existe un único funtor G : C → D tal que GX = G 0 X y para cualquier morfismo en la categoría C f : X → Xʹ tenemos ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F se llama entonces el adjunto izquierdo del funtor G .

Un funtor G : C → D es un funtor adjunto derecho si para cada objeto Y de la categoría D hay una flecha inicial de Y a G . Si para cada Y en D elegimos un objeto F 0 Y en C tal que la flecha inicial η Y : Y → G ( F 0 Y ) de Y a G esté definida , entonces existe un único funtor F : C ← D tal que FY = F 0 Y y GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g para g : Y → Yʹ es un morfismo en D ; G se llama entonces el adjunto derecho del funtor F .

Como implica la terminología, es cierto que F es el dual izquierdo de G si y solo si G es el dual derecho de F. Sin embargo, esto no es obvio a partir de la definición en términos de la flecha universal, pero es obvio debido a la definición en términos de la unidad y el país.

Unidad y counidad

Para definir una unidad y un país en las categorías C y D , necesitamos fijar dos funtores F : C ← D , G : C → D y dos transformaciones naturales :

{\begin{alineado}\varepsilon &:FG\a 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\a GF\end{alineado}}

llamada co -unidad y unidad de conjugación, respectivamente, tales que las composiciones

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

son transformaciones idénticas 1 F y 1 G de los funtores F y G , respectivamente.

En tal situación, F es el conjugado izquierdo de G y G es el conjugado derecho de F. A veces esta relación se denota o simplemente . $(\varepsilon,\eta):F\dashv G$ $F\dashv G$

En forma de ecuaciones, las condiciones anteriores en (ε, η) se denominan ecuaciones unitarias y unitarias :

{\begin{alineado}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{alineado}}

Definición a través del funtor Hom

Considere dos funtores F : C ← D y G : C → D . Sea un isomorfismo natural :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\to {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

Esto define una familia de biyecciones:

\Phi_{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\to {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

para todos los objetos X en C e Y en D .

Aquí F se llama conjugado izquierdo para G y G se llama conjugado derecho para F .

Para entender qué se entiende por naturalidad de Φ , es necesario explicar cómo hom C ( F -, -) y hom D ( -, G -) son funtores. De hecho, ambos son bifuntores desde D op × C hasta Set . Explícitamente, la naturalidad de Φ significa que para todos los morfismos f : X → X ′ en C y los morfismos g : Y ′ → Y en D , el siguiente diagrama conmuta:

Ejemplos

Grupos libres

La construcción de un grupo libre es un ejemplo conveniente para aclarar la esencia de las definiciones. Sea F : Grp ← Set un funtor que asocia a un conjunto Y el grupo libre generado por elementos de Y , y G : Grp → Set un funtor de olvido que asocia un grupo X a su conjunto soporte. Entonces F es el adjunto izquierdo de G :

Flechas terminales: para todo grupo X , el grupo FGX es un grupo libre generado por los elementos de X como conjunto. Sea un homomorfismo de grupos que lleva los generadores de FGX a los correspondientes elementos de X. Entonces es un morfismo terminal de F a X , porque cualquier homomorfismo del grupo libre FZ a X puede llevarse a cabo con la ayuda de una sola función del conjunto Z al conjunto X . Esto significa que ( F , G ) es un par de funtores adjuntos. $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\to X$

Conjuntos Hom: los mapeos del grupo libre FY al grupo X corresponden únicamente a los mapeos del conjunto Y al conjunto GX : cada homomorfismo está determinado de manera única por sus valores en los generadores del grupo libre. Por cálculo directo, se puede comprobar que esta correspondencia es una transformación natural y, por lo tanto, el par ( F , G ) es conjugado.

Más ejemplos de álgebra

Todos los objetos libres son el resultado de aplicar el funtor libre, que es el adjunto izquierdo del funtor olvidadizo .
Los productos , núcleos y ecualizadores son ejemplos de límites categóricos . Todos los funtores límite son adjuntos derechos al funtor diagonal . De manera similar, los coproductos , los conúcleos y los coecualizadores son colímites , y el funtor colímite es el adjunto izquierdo del funtor diagonal.
Añadir una unidad al pseudoanillo (ejemplo de la sección "Motivación"). Si nos dan un pseudoanillo R , entonces el anillo correspondiente es el producto R × Z , en el que el producto bilineal Z se define mediante la fórmula (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . El funtor construido se deja conjugado con un funtor de olvido que envía un anillo al pseudoanillo correspondiente.
Extensiones de anillo. Sean R y S anillos y ρ : R → S un homomorfismo de anillos. Entonces S se puede ver como un R -módulo (izquierda), y el producto tensorial con S define un funtor F : R - Mod → S - Mod . Aquí F se deja conjugado con el olvidadizo funtor G : S - Mod → R - Mod .
Productos tensoriales . Si R es un anillo y M es un módulo R derecho, entonces el producto tensorial con M define un funtor F : R - Mod → Ab . El functor G : Ab → R - Mod definido como G ( A ) = hom Z ( M , A ) es conjugado por la derecha con F .
Campo privado . Para la categoría Dom m de anillos integrales y homomorfismos inyectivos, el funtor olvidadizo Campo → Dom m tiene un adjunto izquierdo que asocia a cada anillo integral su campo de cocientes .
Anillos de polinomios '. Para Ring * , la categoría de anillos conmutativos con un elemento distinguido y homomorfismos que conservan un elemento distinguido, el funtor olvidadizo G: Ring * → Ring tiene un dual izquierdo: asocia un par ( R [ x ], x ) con R [ x ] , donde R [ x ] es un polinomio de anillo con coeficientes de R .
Abelización. El funtor olvidadizo G : Ab → Grp tiene un adjunto izquierdo, llamado funtor de abelización, que asigna a cada grupo G un grupo cociente por el conmutador : G ab = G /[ G , G ] .

Ejemplos de topología

Un funtor con dos conjugados. Sea G un funtor que asocia un espacio topológico con su conjunto soporte (es decir, se olvida de la topología). G tiene una F dual izquierda , que dota a los conjuntos de la topología discreta , y una H dual derecha , que dota a los conjuntos de la topología trivial .
Superestructura y Espacios de Bucles . Dados los espacios topológicos X e Y , se puede construir un espacio [ SX , Y ] de clases de homotopía de aplicaciones de la suspensión de SX a Y. Es naturalmente isomorfo al espacio [ X , Ω Y ] de clases de mapeos de homotopía de X al espacio de bucle Ω Y , por lo que los funtores de espacio de suspensión y de bucle están conjugados en la categoría de homotopía de espacios topológicos.
La incrustación G : KHaus → Top de la categoría de espacios compactos de Hausdorff en la categoría de espacios topológicos tiene un funtor adjunto izquierdo F : Top → KHaus , la compactación de Stone-Cech . La unidad de este par define un mapeo continuo desde un espacio topológico arbitrario X hasta su compactación. Este mapeo es una incrustación si y solo si X es un espacio completamente regular .

Propiedades

Existencia

No todo funtor G : C → D tiene un adjunto izquierdo o derecho. Si C es una categoría completa , entonces, según el teorema del funtor adjunto de Peter Freud , G tiene un adjunto izquierdo si y solo si para cualquier Y de la categoría D existe una familia de morfismos:

f yo : Y → G ( X yo ) ,

donde los índices que paso por el conjunto I tal que cualquier morfismo:

h : Y → G ( X )

Se puede escribir como:

h = GRAMO ( t ) o F yo

para alguna i en I y algún morfismo:

t : X yo → X en C .

Una declaración similar caracteriza a los funtores que tienen un adjunto derecho.

Singularidad

Si un funtor F : C ← D tiene dos conjugados rectos G y G ′ , entonces G y G ′ son naturalmente isomorfos .

Por otro lado, si F se deja conjugado con G , y G es naturalmente isomorfo a G ′ , entonces F también se deja conjugado con G ′ .

Composición

Las composiciones de conjugación se pueden tomar de forma natural. Si 〈F , G , ε, η〉 es una conjugación entre C y D , y 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 es una conjugación entre D y E , entonces el funtor

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

izquierda conjugada al funtor

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

Se puede formar una categoría cuyos objetos sean todos categorías pequeñas y cuyos morfismos sean conjugaciones.

Desplazamientos con límites

La propiedad más importante de los funtores adjuntos es su continuidad: cada funtor que tiene un adjunto izquierdo (es decir, es un adjunto derecho) conmuta con límites en un sentido categórico. En consecuencia, un funtor que tiene un derecho adjunto es finitamente continuo , es decir, conmuta con colimits . Dado que muchas construcciones son límites o colímites, de esto se siguen inmediatamente varias consecuencias. Por ejemplo:

Aplicar el funtor adjunto derecho a un producto da un producto de imágenes.
Aplicar el funtor adjunto izquierdo a un coproducto da un coproducto de imágenes.
Todo funtor conjugado y aditivo correcto entre categorías abelianas se deja exacto .
Todo funtor conjugado y aditivo por la izquierda entre categorías abelianas es exacto por la derecha .

Literatura

McLane S. Capítulo 4. Funtores adjuntos // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Manual de Álgebra Categórica 1. Teoría Básica de Categorías. — Enciclopedia de las Matemáticas y sus Aplicaciones. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Categorías abstractas y concretas. La alegría de los gatos (Español) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)