Punto perfecto

Un punto impropio , un punto ideal , un punto omega o un punto en el infinito [1] es un punto bien definido fuera de un plano o espacio hiperbólico. Dada una recta l y un punto P fuera de l , entonces las rectas que pasan por P , paralelas a la derecha ya la izquierda en el límite de la recta l , convergen a l en puntos ideales .

En contraste con el caso proyectivo, los puntos ideales forman un límite en lugar de una subvariedad. Por lo tanto, estas líneas no se cortan en un punto ideal, y tales puntos, aunque bien definidos , no pertenecen al espacio hiperbólico en sí.

Los puntos ideales juntos forman el absoluto de Cayley o el límite de la geometría hiperbólica . Por ejemplo, el círculo unitario forma el Cayley absoluto del modelo de disco de Poincaré y el modelo de disco de Klein . Al mismo tiempo, la recta real forma el absoluto de Cayley del modelo semiplano [2] .

El axioma de Pasch y el teorema del ángulo externo de un triángulo son válidos para un triángulo omega , que está definido por dos puntos del espacio hiperbólico y un punto omega [3] .

Propiedades

Polígonos con vértices ideales

Triángulos perfectos

Si todos los vértices de un triángulo son puntos perfectos, entonces el triángulo es un triángulo perfecto .

Los triángulos perfectos tienen varias propiedades interesantes:

Cuadriláteros ideales

Si todos los vértices de un cuadrilátero son puntos ideales, entonces el cuadrilátero es un cuadrilátero perfecto.

Si bien todos los triángulos perfectos son congruentes, no todos los cuadriláteros son congruentes, las diagonales pueden intersecarse en diferentes ángulos, lo que da como resultado cuadriláteros incongruentes, con:

Cuadrado perfecto

Un cuadrilátero perfecto en el que dos diagonales son perpendiculares forma un cuadrado perfecto.

El cuadrado perfecto fue utilizado por Ferdinand Karl Schweikart en su memorándum en el que menciona la "geometría astral". Fue una de las primeras publicaciones en admitir la posibilidad de la geometría hiperbólica [5] .

N -ágonos ideales

¿Cómo se pueden dividir n - gons en ( n − 2) triángulos perfectos y el área del polígono será igual al área del triángulo perfecto por ( n − 2) .

Representaciones en modelos de geometría hiperbólica

En el modelo de disco de Klein y el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico , los puntos ideales son los círculos unitarios (para el plano hiperbólico) o la esfera unitaria (para espacios de dimensiones superiores), que son el límite inalcanzable del espacio hiperbólico.

La misma línea recta hiperbólica en el modelo de disco de Klein y en el modelo de disco de Poincaré pasará por los mismos dos puntos ideales.

Modelo de disco de Klein

Dados dos puntos p y q distintos en el disco unitario abierto, la única línea que los conecta corta el círculo unitario en dos puntos ideales , a y b (suponiendo que los puntos están en el orden a , p , q , b ), de modo que | ac| >|ap| y |pb| > |qb|. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q viene dada por

El modelo del disco de Poincaré

Dados dos puntos p y q distintos en un disco unitario abierto, entonces un solo arco circular ortogonal al límite y que conecta los puntos intersecta el círculo unitario en dos puntos ideales , a y b (suponiendo que los puntos están en el orden a , p , q , b ), de modo que |aq| >|ap| y |pb| > |qb|. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q viene dada por

Aquí la distancia se mide a lo largo de los segmentos (rectos) aq, ap, pb y qb.

El modelo de semiplano de Poincaré

En el modelo de medio plano, los puntos ideales son puntos en el eje del límite. También hay otro punto ideal que no pertenece al modelo del semiplano (pero los rayos paralelos al semieje y positivo se acercan a él).

Modelo hiperbólico

No hay puntos impropios en el modelo hiperboloide .

Véase también

Notas

  1. ↑ Komatsu, 1981 , pág. 103-104.
  2. ↑ Struve, Struve, 2010 , pág. 151–170.
  3. ↑ Hvidsten, 2005 , pág. 276–283.
  4. ↑ Thurston, 2012 .
  5. ↑ Bonola, 1955 , pág. 75–77.

Literatura