Modelo de Poincaré en el semiplano superior

El modelo de Poincaré en el semiplano superior es la mitad superior del plano , denotado a continuación como H , junto con una métrica ( métrica de Poincaré ) que lo convierte en un modelo de geometría hiperbólica bidimensional (geometría de Lobachevsky). ${\displaystyle \{(x,y)\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \))$

De manera equivalente, el modelo de Poincaré en el semiplano superior a veces se describe como el plano complejo en el que la componente imaginaria (la coordenada y mencionada anteriormente) es positiva.

El modelo de Poincaré en el semiplano superior lleva el nombre de Henri Poincaré , pero fue creado por Eugenio Beltrami , quien lo usó junto con el modelo de Klein y el modelo de Poincaré en el círculo para mostrar que la geometría hiperbólica es tan consistente como La geometría euclidiana es .

Este modelo es conforme , lo que significa que los ángulos medidos en un punto del modelo son iguales a los ángulos en el plano hiperbólico.

La transformada de Cayley da una isometría entre el modelo en el semiplano y el modelo de Poincaré en el círculo .

Este modelo se puede generalizar a un modelo de espacio hiperbólico de ( n + 1) dimensiones reemplazando el número real x con un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones.

Métrica

La métrica del modelo en el semiplano tiene la forma ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle |y>0\))$

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}\,

donde s mide la longitud a lo largo de una línea (posiblemente curva). Las líneas en el plano hiperbólico (las geodésicas para este tensor métrico, es decir, las curvas que minimizan la distancia) están representadas en este modelo por arcos de círculos perpendiculares al eje x (semicírculos centrados en el eje x ) y rayos verticales perpendicular al eje x .

Cálculo de distancia

En general, la distancia entre dos puntos se mide en esta métrica a lo largo de las geodésicas y es igual a:

dist ⁡ ( ⟨ X una , y una ⟩ , ⟨ X 2 , y 2 ⟩ ) = arco ⁡ ( una + ( X 2 − X una ) 2 + ( y 2 − y una ) 2 2 y una y 2 ) = 2 ceniza ⁡ una 2 ( X 2 − X una ) 2 + ( y 2 − y una ) 2 y una y 2 = 2 en ⁡ ( X 2 − X una ) 2 + ( y 2 − y una ) 2 + ( X 2 − X una ) 2 + ( y 2 + y una ) 2 2 y una y 2 , {\displaystyle {\begin{alineado}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\nombre del operador {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2 }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\raíz cuadrada {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{alineado}} }

{\begin{alineado}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arch} (1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{ 2}}})\\&=2\nombre del operador {arsh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+ {(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2))))\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2 }-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2))}+{\raíz cuadrada {{(x_{2}-x_{1})} ^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2)))){2{\sqrt {y_{1}y_{2))))},\end{alineado}}

donde arch y arsh son funciones hiperbólicas inversas

\operatorname {arsh} {x}=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ ,\ \operatorname {arch} {x}=\ln \left (x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\,.

Algunos casos especiales se pueden simplificar:

\operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1 }}}\derecha|=|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})|

[1] .

\operatorname {dist} (\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle )=\operatorname {arch} (1+{\frac {(x_{2}- x_{1})^{2}}{2y^{2}}})=2\nombre del operador {arsh} ({\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}})

\operatorname {dist} (\langle x,r\rangle ,\langle x\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )=\operatorname {arsh} (\tan \phi )=\ nombre del operador {arch} ({\frac {1}{\cos \phi )))=\ln({\frac {1+\sin \phi }{\cos \phi )))

Otra forma de calcular la distancia entre dos puntos es la longitud de un arco a lo largo de un semicírculo (euclidiano):

\operatorname {dist} (AB)=\left|\ln \left({\frac {|BA_{\infty}|\ |AB_{\infty}|}{|AA_{\infty}|\ | BB_{\infty}|}}\right)\right|.

donde están los puntos del semicírculo (extremos) que se encuentran en la línea límite, y es la longitud euclidiana del segmento del círculo que conecta los puntos P y Q en este modelo. $A_{\infty},B_{\infty}$ ${\ estilo de visualización | PQ |}$

Puntos especiales y curvas

Los puntos infinitamente distantes en el modelo de Poincaré en el semiplano superior son de dos tipos:

puntos en el eje x
un punto imaginario en , que es el punto en el infinito a través del cual pasan todas las líneas ortogonales del eje x . $y=\infty$

Se modelan líneas rectas , geodésicas (caminos más cortos entre puntos en él)

semicírculos, cuyos extremos están en el eje x
Vigas verticales ortogonales al eje x

Se modelan círculos (curvas equidistantes del punto central) centrados en el punto y con un radio : ${\ estilo de visualización (x, y)}$ ${\ estilo de visualización r}$

círculos con centro y radio

{\ estilo de visualización (x, y \ cosh (r))}

y\sinh(r)

Se modela un hiperciclo (o equidistante, una curva sustraída de una línea hiperbólica, su eje o base)

o un arco de un círculo que corta el eje x en los mismos dos puntos en el infinito que el semicírculo, que es la base, pero tiene un ángulo agudo u obtuso (no recto) con el eje x .
o una línea recta que corta el eje x en el mismo punto que el rayo vertical que modela la base, pero no es perpendicular al eje x .

Se modela el horociclo (límite de una familia de circunferencias con una tangente común que pasa por un punto fijo y está a un lado de esta tangente, formado cuando el radio de estas circunferencias tiende a infinito)

o un círculo tangente al eje x (sin el punto infinito de intersección, que es el centro)
o un círculo paralelo a x si el centro es un punto infinitamente distante con . $y=\infty$

Breve descripción de los círculos euclidianos

Sea dada una circunferencia euclidiana de centro y radio . ${\ estilo de visualización (x_ {e}, y_ {e})}$ ${\ Displaystyle r_ {e}}$

Si el círculo euclidiano está completamente en el semiplano superior, es un círculo hiperbólico con centro y radio . $(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2))})$ ${\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right)$
Si el círculo euclidiano está completamente en el semiplano superior y toca el límite, representa un horociclo con centro en el infinito c . ${\ estilo de visualización (x_ {e}, 0)}$
Si el círculo se cruza con el límite ortogonalmente ( ), representa una línea hiperbólica. $y_{e}=0$
Si el círculo se cruza con el límite de forma no ortogonal, representa un hiperciclo.

Construcciones con compás y regla

Esto muestra cómo construir con compás y regla en el modelo de Poincaré [2] . Por ejemplo, cómo construir un semicírculo en un semiplano euclidiano que modela una línea hiperbólica que pasa por dos puntos.

Construcción de una recta hiperbólica que pasa por dos puntos

Construimos un segmento que conecta dos puntos. Construimos una perpendicular que pasa por el medio del segmento. Encuentre la intersección de esta perpendicular con el eje x . Construimos un círculo con el centro en el punto de intersección, pasando por los puntos dados (solo la parte superior por encima de x ).

Si estos dos puntos se encuentran sobre un rayo vertical, lo construimos (a partir del eje x ), este rayo será la recta deseada.

Construcción de un círculo con un centro dado que pasa por un punto

Construiremos una circunferencia hiperbólica de centro A que pase por el punto B.

Si los puntos A y B no se encuentran en una línea vertical:

Construimos una recta hiperbólica (semicircunferencia) que pasa por dos puntos dados, como en el caso anterior. Construimos una tangente a este semicírculo en el punto B. Dibujamos una perpendicular al eje x a través del punto A. Encuentre la intersección de estas dos líneas para obtener el centro D del círculo de modelado. Construimos un círculo de modelado con centro en D que pasa por el punto B dado .

Si los puntos A y B se encuentran en una línea vertical y el punto A se encuentra sobre el punto B :

Construimos un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x , que pasa por el punto A. Construimos una línea horizontal a través del punto B. Construimos una tangente al círculo en el punto de intersección con esta línea horizontal.

El medio del segmento entre la intersección de la tangente con la línea vertical y B es el centro del círculo de modelado. Construimos un círculo de modelado alrededor del centro , pasando por el punto B.

Si los puntos A y B se encuentran en el eje vertical y el centro de A se encuentra debajo del punto B :

Construimos un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x , que pasa por el centro dado A. Construimos una tangente a la circunferencia que pasa por el punto B. Construimos una línea horizontal que pasa por el punto de contacto y encontramos su intersección con la línea vertical.

El punto medio entre el punto de intersección resultante y el punto es el centro del círculo de modelado. Construimos un círculo de modelado con un nuevo centro y que pasa por el punto B.

Encuentra el centro de un círculo (hiperbólico) dado

Bajamos la perpendicular p desde el centro euclidiano del círculo al eje x .

Sea el punto q la base de esta perpendicular al eje x .

Construimos una recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto q .

Construimos un semicírculo h con centro en el punto q que pasa por el punto de contacto.

El centro hiperbólico es el punto donde se cruzan h y p [3] .

Grupos de simetría

El grupo lineal proyectivo PGL(2, C ) actúa sobre la esfera de Riemann mediante transformaciones de Möbius . El subgrupo que mapea la mitad superior del plano H en sí mismo es PSL(2, R ), formado por transformaciones con coeficientes reales, que actúa transitiva e isométricamente sobre la mitad superior del plano, convirtiéndolo en un espacio homogéneo .

Hay cuatro grupos de Lie estrechamente relacionados , que actúan en la mitad superior del plano mediante transformaciones lineales-fraccionales que preservan la distancia hiperbólica.

El grupo lineal especial SL(2, R ) , que consta de matrices de 2×2 con elementos reales y determinante +1. Tenga en cuenta que muchos textos (incluida Wikipedia) a menudo mencionan SL (2, R ), que significa PSL (2, R ).
El grupo S*L(2, R ) formado por matrices de 2×2 con elementos reales con determinante +1 o −1. Tenga en cuenta que SL(2, R ) es un subgrupo de este grupo.
El grupo lineal especial proyectivo PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± E } que consta de matrices de SL(2, R ) módulo ± la matriz identidad (es decir, es el grupo cociente por el grupo formado por + E y -E ).
El grupo PS * L(2, R ) = S * L(2, R )/{± E }=PGL(2, R ) es de nuevo un grupo proyectivo y, de nuevo, módulo ± E . PSL(2, R ) está contenido en él como un subgrupo normal con índice dos; la otra clase lateral consta de matrices de 2 × 2 con entradas reales y determinante −1, nuevamente módulo ± E .

La conexión de estos grupos con el modelo de Poincaré es la siguiente:

El grupo de todos los movimientos H , a veces denominado Isom( H ), es isomorfo a PS * L(2, R ). Incluye tanto movimientos de conservación de orientación como de cambio de orientación. Una pantalla de cambio de orientación (espejo) es un . $z\rightarrow -{\overline {z))$
El grupo de movimientos que conservan la orientación H , a veces denominado Isom + ( H ), es isomorfo a PSL(2, R ).

Los subgrupos importantes del grupo de isometría son los grupos fucsias .

A menudo se considera el grupo modular SL(2, Z ) , que es importante en dos aspectos. Primero, es un grupo de transformaciones lineales del plano que conservan la red de puntos. Por lo tanto, las funciones que son periódicas en una red cuadrada, como las formas modulares y las funciones elípticas , heredan la simetría de la red SL(2, Z ). En segundo lugar, SL(2, Z ) es, por supuesto, un subgrupo de SL(2, R ) y, por lo tanto, tiene un comportamiento hiperbólico inherente. En particular, SL(2, Z ) se puede usar para teselar el plano hiperbólico con celdas de igual área.

Simetría isométrica

La acción de un grupo lineal especial proyectivo PSL(2, R ) sobre H se define como

\left({\begin{matriz}a&b\\c&d\\\end{matriz}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={(ac| z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z) \over |cz+d|^{2}}.

Nótese que la acción es transitiva , ya que para any existe un elemento tal que . También es cierto que si para todo z de H , entonces g = e . $z_{1},z_{2}\en \mathbb {H}$ $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$ ${\displaystyle gz_{1}=z_{2))$ ${\ estilo de visualización gz = z}$

El estabilizador o subgrupo estacionario de un elemento z de H es el conjunto que deja z sin cambios - gz = z . Estabilizador i - grupo de rotación $g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )$

{\rm {SO}}(2)=\left\{\left({\begin{matriz}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\ \end{matriz}}\right)\,:\,\theta \in {\mathbf {R} }\right\}.

Dado que cualquier elemento z de H corresponde a i por algún elemento PSL(2, R ), esto significa que el grupo estacionario de cualquier elemento z es isomorfo a SO(2). Así H = PSL(2, R )/SO(2). Además , el paquete de vectores tangentes de longitud unitaria en la mitad superior del plano, llamado paquete tangente unitario , es isomorfo a PSL(2, R ).

La mitad superior del plano está teselada con conjuntos regulares libres por el grupo modular SL(2, Z ).

Geodésico

Las geodésicas para el tensor métrico son semicírculos centrados en el eje x y rayos verticales que se originan en el eje x .

Las geodésicas con velocidad uno, que pasan verticalmente por el punto i , vienen dadas por la expresión

\gamma (t)=\left({\begin{matriz}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{matriz}}\right)\cdot i =es decir^{t}.

Dado que PSL(2, R ) actúa transitivamente en la mitad superior del plano por isometrías , esta geodésica se asigna a otras geodésicas por la acción de PSL(2, R ). Por lo tanto, una geodésica general con velocidad unitaria está dada por

\gamma (t)=\left({\begin{matriz}a&b\\c&d\\\end{matriz}}\right)\left({\begin{matriz}e^{t/2}&0 \\0&e^{-t/2}\\\end{matriz}}\right)\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d)).

Esto da una descripción completa del flujo geodésico del haz tangente de longitud unitaria (haz de líneas complejas ) en la mitad superior del plano.

Modelo en tres dimensiones

Métrica del modelo en el semiespacio

\{\langle x,y,z\rangle |z>0\}\,

dada por la expresión

(ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,

donde s mide la distancia a lo largo de una (posiblemente) línea curva. Las líneas en el espacio hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) están representadas en este modelo por arcos de círculos que radian perpendicularmente desde el plano z=0 (semicírculos cuyos centros están en el plano z=0 ) y por rayos, emanando perpendicularmente del plano z = 0 .

La distancia entre dos puntos se mide en esta métrica a lo largo de la geodésica y es igual a

\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle )=\operatorname {arco} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{( z_{2}-z_{1})}^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)=

=2\operatorname {arsh} \left({\frac {\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1}) }^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}\derecha)\,.

Modelo en espacio n -dimensional

El modelo se puede generalizar al modelo del espacio de Lobachevsky ( n +1)-dimensional reemplazando los números reales x con vectores en el espacio euclidiano n -dimensional.

Véase también

Notas

↑ intercambio de pila de matemáticas . Fecha de acceso: 19 de septiembre de 2015. (indefinido)
↑ Bochaca, Judit Abardia Herramientas para trabajar con el modelo Semiplano . Herramientas para trabajar con el modo Semiplano . Consultado el 25 de junio de 2015. Archivado desde el original el 22 de febrero de 2018. (indefinido)
↑ Cannon, Floyd, Kenyon, Parry, 1997 , pág. 87.

Literatura

Cannon JW, Floyd WJ, Kenyon R., Parry WR Figura 19. Construcción del centro hiperbólico de un círculo // Geometría hiperbólica. - Publicaciones MSRI, 1997. - T. Volumen 31. - (Sabores de Geometría).
Eugenio Beltrami. Teoría fundamental de los espacios de curvatura constante // Annali. di Mat.. - 1868. - T. 2 . — S. 232–255 .
Henri Poincaré. Théorie des Groupes Fuchsiens // Acta Mathematica. - 1882. - T. 1 . - S. 1 . El primer artículo de la legendaria serie sobre el modelo en el semiplano superior.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Superficies de Riemann. - Nueva York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 .
Jürgen Jost. Sección 2.3 // Superficies compactas de Riemann. - Nueva York: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 3-540-43299-X .
Saúl Stahl. El semiplano de Poincaré . — Jones y Bartlett, 1993. — ISBN 0-86720-298-X .
Juan Stillwell. Números y Geometría . - NY: Springer-Verlag, 1998. - P. 100-104 . — ISBN 0-387-98289-2 . . Una introducción elemental al modelo de Poincaré.