Esfera

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 15 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 8 ediciones .

Esfera ( otro griego σφαῖρα “ pelota , pelota [1] ”) es el lugar geométrico de los puntos en el espacio equidistantes de algún punto dado ( el centro de la esfera).

La distancia desde un punto de una esfera hasta su centro se llama radio de la esfera. Una esfera de radio 1 se llama esfera unitaria .

Propiedades

Una esfera es una superficie de revolución formada al girar un semicírculo alrededor de su diámetro .

Una esfera es un caso especial de un elipsoide , en el que los tres ejes (medios ejes, radios) son iguales.

Una esfera es la superficie de una pelota .

Una esfera tiene el área más pequeña de todas las superficies que limitan un volumen dado, en otras palabras, de todas las superficies con un área dada, una esfera limita el volumen más grande. Debido a la minimización del área superficial por la fuerza de la tensión superficial, las pequeñas gotas de agua en estado de ingravidez adquieren una forma esférica.

Importancia en las ciencias naturales

La perfección de la forma esférica ha atraído durante mucho tiempo la atención de pensadores y científicos que, con la ayuda de esferas, intentaron explicar la armonía del mundo circundante. El antiguo científico griego Pitágoras , junto con la Tierra esférica en el centro del Universo, introdujo una esfera de cristal distante que rodea la Tierra, a la que están unidas las estrellas, y siete esferas de cristal giratorias más cercanas, a las que el Sol, la Luna y cinco Se adjuntan los planetas conocidos hasta ese momento (excluyendo la Tierra). Posteriormente, este modelo se volvió más complicado: Eudoxus de Cnidus ya consideraba 27 esferas de este tipo, y Aristóteles , 55 esferas de cristal [2] . Las ideas sobre las esferas celestes giratorias dominaron al menos hasta la Edad Media e incluso entraron en el sistema heliocéntrico del mundo de Nicolás Copérnico , quien llamó a su obra principal " Sobre la rotación de las esferas celestes " ( lat. De revolutionibus orbium coelestium ).

Las esferas celestes desde la antigua Grecia formaban parte de un concepto más general de la armonía de las esferas sobre la estructura musical y astronómica del mundo, que también incluía el concepto de “música de las esferas”. Este concepto también existió al menos hasta la Edad Media. Para uno de los astrónomos más famosos, Johannes Kepler , la esfera ocupaba un lugar central en todo su sistema de ideas religiosas y místicas, escribió: “La imagen del dios trino es una superficie esférica, a saber: dios padre en el centro , dios el hijo en la superficie y el santo el espíritu está en una relación simétrica entre el centro y la superficie esférica descrita a su alrededor” [3] [4] . Uno de los primeros escritos significativos de Kepler, " El secreto del universo " ( lat. Mysterium Cosmographicum ), estaba dedicado a los parámetros de las esferas celestes. Kepler creía haber descubierto una conexión notable entre los poliedros regulares , de los cuales solo hay cinco, y las esferas celestes de los seis planetas conocidos hasta entonces (incluida la Tierra), que, según Kepler, son las esferas circunscritas e inscritas de estos poliedros. La idea de la armonía de las esferas jugó un papel importante en el descubrimiento de la tercera ley del movimiento de los cuerpos celestes por parte de Kepler (en cualquier caso, pueden considerarse como un incentivo para buscar relaciones astronómicas) [5] . Sin embargo, para Kepler, las esferas celestes ya eran objetos puramente matemáticos y no cuerpos físicamente existentes. Por aquel entonces, Tycho Brahe había demostrado que el movimiento de los cometas , en particular del Gran Cometa de 1577, era incompatible con la existencia de esferas celestes sólidas [6] . Como modelo matemático conveniente, quedó una esfera celeste , con la ayuda de la cual los astrónomos hasta el día de hoy representan las posiciones aparentes de estrellas y planetas.

Esfera en el espacio 3D

La ecuación de una esfera en un sistema de coordenadas rectangulares es :

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},

donde son las coordenadas del centro de la esfera, es su radio. $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $R$

Ecuación paramétrica de una esfera centrada en un punto : $(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{casos}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi , \\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{casos}}

donde y $\theta \in [0,\pi ]$ $\phi \in [0,2\pi ).$

La curvatura gaussiana de una esfera es constante e igual a 1/ R² .

Coordenadas de una esfera que pasa por puntos dados

A través de cuatro puntos en el espacio sólo puede haber una esfera con centro $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\,;\,M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})\, ;\,M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})\,;\,M_{4}(x_{4},y_{4},z_{4})\,$

x_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{x}-B_{x}+C_{x}-D_{x}}{U+V+W }}

y_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{y}-B_{y}+C_{y}-D_{y}}{U+V+W }}

z_{0}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A_{z}-B_{z}+C_{z}-D_{z}}{U+V+W }}

dónde:

U=(z_{1}-z_{2})(x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})-(z_{2}-z_{3})(x_{ 4}y_{1}-x_{1}y_{4})

V=(z_{3}-z_{4})(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})-(z_{4}-z_{1})(x_{ 2}y_{3}-x_{3}y_{2})

W=(z_{1}-z_{3})(x_{4}y_{2}-x_{2}y_{4})-(z_{2}-z_{4})(x_{ 1}y_{3}-x_{3}y_{1})

A_{x}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[y_{2}(z_{3}-z_{4 })+y_{3}(z_{4}-z_{2})+y_{4}(z_{2}-z_{3})]

B_{x}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[y_{3}(z_{4}-z_{1 })+y_{4}(z_{1}-z_{3})+y_{1}(z_{3}-z_{4})]

C_{x}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[y_{4}(z_{1}-z_{2 })+y_{1}(z_{2}-z_{4})+y_{2}(z_{4}-z_{1})]

D_{x}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[y_{1}(z_{2}-z_{3 })+y_{2}(z_{3}-z_{1})+y_{3}(z_{1}-z_{2})]

A_{y}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[z_{2}(x_{3}-x_{4 })+z_{3}(x_{4}-x_{2})+z_{4}(x_{2}-x_{3})]

B_{y}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[z_{3}(x_{4}-x_{1 })+z_{4}(x_{1}-x_{3})+z_{1}(x_{3}-x_{4})]

C_{y}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[z_{4}(x_{1}-x_{2 })+z_{1}(x_{2}-x_{4})+z_{2}(x_{4}-x_{1})]

D_{y}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[z_{1}(x_{2}-x_{3 })+z_{2}(x_{3}-x_{1})+z_{3}(x_{1}-x_{2})]

A_{z}=(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2})[x_{2}(y_{3}-y_{4 })+x_{3}(y_{4}-y_{2})+x_{4}(y_{2}-y_{3})]

B_{z}=(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2})[x_{3}(y_{4}-y_{1 })+x_{4}(y_{1}-y_{3})+x_{1}(y_{3}-y_{4})]

C_{z}=(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2})[x_{4}(y_{1}-y_{2 })+x_{1}(y_{2}-y_{4})+x_{2}(y_{4}-y_{1})]

D_{z}=(x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2})[x_{1}(y_{2}-y_{3 })+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]

Radio de esta esfera:

R={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0 })^{2}}}

Fórmulas geométricas básicas

Superficie de una esfera

{\displaystyle S=4\pi r^{2}=\pi d^{2))

Ángulo sólido completo de una esfera

{\ estilo de visualización \ Omega = 4 \ pi}

estereorradián cuadrado grados

{\ estilo de visualización \ aproximadamente 41253}

El volumen de una esfera limitada por una esfera.

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}d^{3}.

Área de segmento de esfera de altura

H

S=2\pi rH

Geometría en una esfera

Un círculo que se encuentra sobre una esfera cuyo centro coincide con el centro de la esfera se llama círculo máximo (gran círculo) de la esfera. Los grandes círculos son líneas geodésicas en la esfera; dos cualesquiera de ellos se cortan en dos puntos. En otras palabras, los círculos máximos de la esfera son análogos a las líneas rectas en el plano, la distancia entre los puntos de la esfera es la longitud del arco del círculo máximo que los atraviesa. El ángulo entre las líneas en el plano corresponde al ángulo diedro entre los planos de grandes círculos. Muchos teoremas de geometría en el plano también son válidos en geometría esférica, hay análogos del teorema del seno , teoremas del coseno para triángulos esféricos . Al mismo tiempo, existen muchas diferencias, por ejemplo, en un triángulo esférico la suma de los ángulos siempre es mayor a 180 grados, a los tres signos de igualdad de los triángulos se suma su igualdad en tres ángulos, un triángulo esférico puede tener dos o incluso tres ángulos rectos, por ejemplo, un triángulo esférico formado por el ecuador y los meridianos 0° y 90°.

La distancia entre dos puntos en una esfera

Dadas las coordenadas esféricas de dos puntos, la distancia entre ellos se puede encontrar de la siguiente manera:

L=R\cdot \arccos(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

Sin embargo, si el ángulo no se da entre el eje Z y el vector al punto de la esfera, sino entre este vector y el plano XY (como es habitual en las coordenadas terrestres dadas por latitud y longitud), entonces la fórmula será como sigue: $\ theta$

L=R\cdot \arccos(\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}\cdot \cos( \phi _{1}-\phi _{2})).

En este caso, y se denominan latitudes , y y longitudes . $\ theta _ {1}$ $\ theta _ {2}$ $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

esfera n -dimensional

En general, la ecuación de una esfera ( n −1)-dimensional (en un espacio euclidiano n - dimensional ) es:

\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2},

donde es el centro de la esfera y a es el radio. $(a_{1},...,a_{n})$ $r$

La intersección de dos esferas n -dimensionales es una esfera ( n − 1)-dimensional que se encuentra en el hiperplano radical de estas esferas.

En un espacio de n dimensiones, no más de n + 1 esferas pueden tocarse en pares (en diferentes puntos) .

Una inversión n - dimensional lleva una esfera ( n −1) dimensional a una esfera o hiperplano ( n −1) dimensional .

Uno de los problemas del milenio está relacionado con la esfera tridimensional : la conjetura de Poincaré , que establece que cualquier variedad tridimensional compacta simplemente conectada sin límite es homeomorfa a dicha esfera. Esta conjetura fue probada por G. Ya. Perelman a principios de la década de 2000 basándose en los resultados de Richard Hamilton .

Véase también

Notas

↑ Diccionario griego-ruso antiguo de Dvoretsky "σφαῖρα" (enlace inaccesible) . Consultado el 17 de junio de 2019. Archivado desde el original el 25 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Klimishin I. A. Astronomía de nuestros días . - 3ra ed. - M. : Nauka , 1986. - S. 30 -33. — 55.400 copias.
↑ Pauli W. La influencia de las ideas arquetípicas en la formación de teorías de las ciencias naturales por Kepler // Ensayos físicos. — M .: Nauka , 1975.
↑ Texto original en latín de la cita: "Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum". Ver: Kepler J. Mysterium Cosmographicum (neopr.) . - 1596. - Pág. 19. Copia de archivo fechada el 30 de mayo de 2014 en la Wayback Machine .
↑ Shevchenko V. V. Música Celestial // La Tierra y el Universo . - 1973. - Nº 4 . - S. 56-58 .
↑ Tycho Brahe. Autobiografía // Investigaciones históricas y astronómicas / Ed. edición LE Maistrov. - M. : Nauka , 1984. - T. XVII . - S. 393-394 .

Enlaces

Superficies compactas y sus inmersiones en el espacio tridimensional

La clase de homeoformidad de una superficie triangulada compacta está determinada por la orientabilidad, el número de componentes de contorno y la característica de Euler.

Sin bordes

Orientable	Esfera (género 0) Thor (género 1) "Ocho" (género 2) " Pretzel " (género 3)...
no orientable	plano proyectivo real género 1; Superficie de batalla superficie romana Botella de Klein (género 2) Superficie de pene (género 3) ...

con frontera

Disco
- hemisferio
Cinta
- Anillo
- Cilindro
La cinta de Moebius
- Cinta de Moebius
Esfera con tres agujeros...

Conceptos relacionados

Propiedades	Conectividad compacidad Triangulación o suavidad orientabilidad
Características	Número de componentes de borde Género Característica de Euler
Operaciones	Suma conectada corte de agujeros pegando el mango Colocación de la cinta de Möbius Inmersión

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 119812876 TIERRA : 4165914-4 J9U : 987007565817805171 LCCN : sh85126590