Modelo hiperboloide

El modelo hiperboloide , también conocido como modelo de Minkowski o modelo de Lorentz ( Herman Minkowski , Hendrik Lorentz ), es un modelo de geometría de Lobachevsky n - dimensional , en el que cada punto está representado por un punto en la superficie superior de un tablero de dos hojas. El hiperboloide en el espacio de Minkowski ( n +1) dimensional y los planos m están representados por la intersección de los planos ( m +1) en el espacio de Minkowski con S + . La función de distancia hiperbólica en este modelo satisface una expresión simple. El modelo hiperboloide de un espacio hiperbólico n - dimensional está estrechamente relacionado con el modelo de Beltrami-Klein y el modelo de disco de Poincaré , ya que son modelos proyectivos en el sentido de que el grupo de movimientos es un subgrupo del grupo proyectivo . ${\ estilo de visualización S^{+}}$

Forma cuadrática de Minkowski

Si son vectores en ( n + 1) espacio de coordenadas dimensionales , la forma cuadrática de Minkowski se define como ${\ estilo de visualización (x_ {0}, x_ {1}, \ puntos, x_ {n})}$ $\R^{n+1}$

Q(x_{0},x_{1},\ldots,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots-x_{n}^ {2}.

Los vectores , tales que , forman un hiperboloide n - dimensional S , que consta de dos componentes u hojas conectadas : la hoja superior o futura, donde y la hoja inferior o pasada , donde . Los puntos del modelo hiperboloide n -dimensional son los puntos de la hoja de futuro . $v\en \mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ estilo de visualización Q (v) = 1}$ ${\ estilo de visualización S^{+}}$ ${\ estilo de visualización x_ {0}> 0}$ ${\ estilo de visualización S^{-}}$ $x_{0}<0$ ${\ estilo de visualización S^{+}}$

La forma bilineal de Minkowski B es la polarización de la forma cuadrática de Minkowski Q ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.

O explícitamente

B((x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots,y_{n}))=x_{0} y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots-x_{n}y_{n}.

La distancia hiperbólica entre dos puntos u y v en el espacio viene dada por , ${\ estilo de visualización S^{+}}$ $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {\mathrm {arco} } (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))$

donde arco es la función inversa del coseno hiperbólico .

Directo

Una línea recta en el espacio n hiperbólico se modela mediante una geodésica sobre un hiperboloide. Una geodésica en un hiperboloide es una intersección (no vacía) con un subespacio lineal bidimensional (incluido el origen) del espacio de Minkowski n +1 dimensional. Si tomamos como u y v los vectores base de un subespacio lineal con

B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1

B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0

y usamos w como parámetro para puntos en la geodésica, entonces

\mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w

será un punto en la geodésica [1] .

De manera más general, un "plano" de dimensión k en un espacio n hiperbólico será modelado por la intersección (no vacía) del hiperboloide con el subespacio lineal de dimensión k +1 (incluido el origen) del espacio de Minkowski.

Movimientos

El grupo ortogonal indefinido O(1, n ), también llamado grupo de Lorentz ( n +1)-dimensional , es el grupo de Lie de matrices reales ( n +1)×( n +1) que conserva la forma bilineal de Minkowski. En otras palabras, es el conjunto de movimientos lineales del espacio de Minkowski . En particular, este grupo conserva el hiperboloide S. Recuerde que los grupos ortogonales indefinidos tienen cuatro componentes conectados correspondientes a la inversión o la preservación de la orientación en cada subespacio (aquí, 1-dimensional y n - dimensional), y forman los cuatro grupos de Klein . El subgrupo O(1, n ) que conserva el signo de la primera coordenada es el grupo ortocrónico de Lorentz , denotado O + (1, n ), y tiene dos componentes correspondientes a la conservación o inversión de la orientación del subespacio. Su subgrupo SO + (1, n ), formado por matrices con determinante uno, es un grupo de Lie conexo de dimensión n ( n + 1)/2, que actúa sobre S + por automorfismos lineales y conserva la distancia hiperbólica. Esta acción es transitiva y es el estabilizador del vector (1,0,…,0) formado por matrices de la forma

{\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix))

donde pertenece al grupo ortogonal especial compacto SO( n ) (generalizando el grupo de rotación SO(3) para n = 3 ). De ello se deduce que un espacio hiperbólico n - dimensional se puede representar como un espacio homogéneo y un espacio simétrico riemanniano de rango 1, $A$

\mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).

El grupo SO + (1, n ) es el grupo completo de movimientos que conservan la orientación de un espacio hiperbólico n - dimensional.

Historia

En varios artículos entre 1878 y 1885, Wilhelm Killing [2] [3] [4] utilizó la representación de la geometría de Lobachevsky , que atribuye a Karl Weierstrass . En particular, analiza formas cuadráticas como o para dimensiones arbitrarias , donde es la medida dual de la curvatura, significa geometría euclidiana , geometría elíptica y significa geometría hiperbólica. Para más detalles, consulte Historia de las transformaciones de Lorentz, sección "Matar" . ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2))$ $k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\puntos +x_{n}^{2}=k^{2}$ $k$ $k^{2}=\infty$ $k^{2}>0$ $k^{2}<0$

Según Jeremy Gray (1986) [5] Poincaré utilizó el modelo hiperboloide en sus notas personales en 1880. Poincaré publicó sus resultados en 1881 en los que analiza la invariancia de la forma cuadrática [6] . Gray muestra dónde se menciona explícitamente el modelo hiperboloide en el trabajo posterior de Poincaré [7] . Para más detalles, consulte Historia de las transformaciones de Lorentz, sección "Poincaré" . ${\ estilo de visualización \ xi ^ {2} + \ eta ^ {2} - \ zeta ^ {2} = -1}$

También Homersham Cox en 1882 [8] [9] usó coordenadas de Weierstrass (sin usar este nombre) satisfaciendo la relación , así como la relación . Para obtener más información, consulte Historia de las transformaciones de Lorentz, sección "Cox" . ${\ estilo de visualización z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$ ${\ estilo de visualización w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

El modelo fue utilizado además por Alfred Clebsch y Ferdinand von Lindemann en 1891 al discutir las relaciones y [10] . Para obtener más información, consulte Historia de las transformaciones de Lorentz, sección "Linderman" . $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}$

Las coordenadas de Weierstrass también fueron utilizadas por Gerard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1903) y Liebman (1905) .

Más tarde (1885), Killing argumentó que la frase de coordenadas de Weierstrass corresponde a los elementos del modelo hiperboloide de la siguiente manera: dado el producto escalar en , las coordenadas de Weierstrass del punto son $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\mathbb{R}^n$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$

(x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle )))\in \mathbb {R} ^{n+1},

¿Qué se puede comparar con la expresión

{\displaystyle (x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle )))\in \mathbb {R} ^{n+1))

para el modelo del hemisferio [11] .

Como espacio métrico , el hiperboloide fue considerado por Alexander Macfarlane en su libro Papers in Space Analysis (1894). Se dio cuenta de que los puntos en un hiperboloide se pueden escribir como

\mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,

donde α es un vector base ortogonal al eje del hiperboloide. Por ejemplo, obtuvo la ley hiperbólica de los cosenos usando el álgebra de la física [1] .

H. Jensen se centró en el modelo hiperboloide en el artículo de 1909 "Representación de la geometría hiperbólica en un hiperboloide de dos hojas" [12] . En 1993, W. F. Reynolds describió la historia temprana del modelo en un artículo publicado en American Mathematical Monthly [13] .

Siendo un modelo generalmente aceptado en el siglo XX, Hermann Minkowski lo identificó con Geschwindigkeitsvectoren (vectores de velocidad en alemán) en el espacio de Minkowski . Scott Walther en su artículo de 1999 "Estilo no euclidiano de la relatividad especial" [14] menciona la conciencia de Minkowski, pero rastrea el origen del modelo hasta Helmholtz en lugar de Weierstrass o Killing.

En los primeros años, Vladimir Varichak utilizó el modelo hiperboloide relativista para explicar la física de la velocidad. En su informe a la Sociedad Matemática Alemana en 1912 se refirió a las coordenadas de Weierstrass [15] .

Véase también

Modelo euclidiano conforme
Cuaterniones hiperbólicos

Notas

↑ 12 Macfarlane , 1894 .
↑ Matar, 1878 , p. 72-83.
↑ Matar, 1880 , p. 265-287.
↑ Matar, 1885 .
↑ Gris, 1986 , pág. 271-2.
↑ Poincaré, 1881 , p. 132-138.
↑ Poincaré, 1887 , p. 71-91.
↑ Cox, 1881 , pág. 178-192.
↑ Cox, 1882 , pág. 193-215.
↑ Lindemann, 1891 , pág. 524.
↑ Deza E., Deza M., 2006 .
↑ Jansen, 1909 , pág. 409-440.
↑ Reynolds, 1993 , pág. 442-55.
↑ Scott, 1999 , pág. 91–127.
↑ Varićak, 1912 , pág. 103–127.

Literatura

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Matar a W. Die nicht-euklidischen Raumformen (alemán) . — 1885.

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Cox H. Coordenadas homogéneas en geometría imaginaria y su aplicación a sistemas de fuerzas (continuación ) // La revista trimestral de matemáticas puras y aplicadas. - 1882. - vol. 18 , edición. 71 . — pág. 193-215 .
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