Modelo euclidiano conforme

El modelo euclidiano conforme o modelo de Poincaré es un modelo del espacio de Lobachevsky.

Hay variedades del modelo: en un círculo ( proyección estereográfica ) y en un semiplano para la planimetría de Lobachevsky , así como en una bola y en un semiespacio, para la estereometría de Lobachevsky , respectivamente.

El modelo euclidiano conforme se destaca por el hecho de que en él las esquinas están representadas por ángulos ordinarios, es decir, este modelo es conforme [1] , en contraste con el modelo proyectivo , en el que la definición de ángulos es mucho más difícil.

Historia

Este modelo fue propuesto por Eugenio Beltrami , junto con el modelo proyectivo y el modelo de pseudoesfera . [2] La métrica en el modelo euclidiano conforme también se encuentra en la famosa conferencia de Riemann "Sobre las hipótesis subyacentes a la geometría", pero fue Beltrami quien descubrió la conexión con la geometría de Lobachevsky. Posteriormente, Henri Poincaré descubrió las conexiones de este modelo con problemas en la teoría de funciones de variable compleja , lo que dio una de las primeras aplicaciones serias de la geometría de Lobachevsky .

Modelos en un círculo y en una pelota

El plano de Lobachevsky se toma como el interior de un círculo (que se muestra en la ilustración) en el espacio euclidiano; el límite de un círculo dado (el círculo) se llama "absoluto". El papel de las líneas geodésicas lo desempeñan los arcos de círculos contenidos en este círculo , perpendiculares al absoluto, y sus diámetros; el papel de los movimientos son las transformaciones obtenidas por combinaciones de inversiones con respecto a círculos cuyos arcos sirven como líneas rectas. $(tejido')$

La métrica del plano de Lobachevsky en el modelo euclidiano conforme en el círculo unitario es: $ds$

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2))}(dx^{2}+dy^{2 }),

donde y son los ejes de abscisas y ordenadas , respectivamente [3] . $X$ $y$

De manera similar, para un modelo euclidiano conforme en una pelota , el papel del absoluto lo desempeña la esfera límite en el espacio euclidiano tridimensional, y el espacio de Lobachevsky es el interior de la pelota.

Distancias

En coordenadas complejas en un círculo unitario, las distancias se pueden calcular usando la siguiente fórmula:

\mahop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {zw}{1-z\ cdot {\bar {w}}}}\derecho|.

La distancia se puede expresar en términos de una razón doble . Si en el arco , los puntos están ubicados en el siguiente orden: , , , entonces la distancia entre los puntos y , en la geometría de Lobachevsky es igual a $w_{1}$ $z_{1}$ $w_{1}$ $w$ $z$ $z_{1}$ $w$ $z$

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}} {w-z_{1}}}\right)

Modelos de medio plano y medio espacio

En el modelo de semiplano de Poincaré , el semiplano superior se toma como el plano de Lobachevsky . La línea recta que delimita el semiplano (es decir, el eje de abscisas) se llama "absoluta". El papel de las líneas rectas lo juegan los semicírculos contenidos en este semiplano con centros en el absoluto y los rayos perpendiculares a él (es decir, rayos verticales) que parten del absoluto. El papel de los movimientos son las transformaciones obtenidas por la composición de un número finito de inversiones centradas en las simetrías absoluta y axial , cuyos ejes son perpendiculares a la absoluta.

La métrica del plano de Lobachevskii en el modelo euclidiano conforme en el semiplano superior tiene la forma: [3] , donde y son coordenadas rectangulares, respectivamente paralelas y perpendiculares a la absoluta. $ds$ $ds^{2}={\frac{1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ $tu$ $v$

En consecuencia, en el modelo euclidiano conforme en un semiespacio , el papel del absoluto lo desempeña un plano en el espacio euclidiano tridimensional, y el espacio de Lobachevsky es el semiespacio que se encuentra en este plano.

Véase también

El teorema de Pick es una forma invariante del lema de Schwartz que utiliza distancias en el modelo euclidiano conforme.

Notas

↑ Popov A.G. Superficies pseudoesféricas y algunos problemas de física matemática . Consultado el 24 de julio de 2007. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2022. (indefinido)
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
traducción: Beltrami E. Fundamentos de la teoría de espacios de curvatura constante. // Sobre los fundamentos de la geometría: Colección. - M. : GITTL, 1956. - S. 342-365 .
↑ 1 2 Buyalo S. V. Curso de conferencias "Geometría asintótica de espacios métricos" primavera de 2004.

Literatura

Transformación de Chernikov N. A. Bogolyubov y planimetría de Lobachevsky. Sección 4, comparación de dos modelos de Poincaré. (enlace no disponible desde el 18-05-2013 [3446 días] - historial )
Samarov K., Uroev V. "Modelo de Poincaré". — Revista cuántica. — 1984. - número 6.