Linea tangente
Una recta tangente es una recta que pasa por un punto de la curva y coincide con él en este punto hasta el primer orden.
Definición estricta
- Sea la función definida en alguna vecindad del punto , y sea derivable en él: . La recta tangente a la gráfica de una función en un punto es la gráfica de una función lineal , dada por la ecuación
![f\colon U(x_{0})\subconjunto {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de4669443a4249ed3c6a200af8387ce4515999d)
![x_{0}\in {\matemáticas {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efa9cde595361b1ea89743b7080654c3c8614f7)
![f\in {\mathcal {D}}(x_{0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75403b94c0d16ddb99b0374a2140a7da53a75890)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
.
- Si una función tiene una derivada infinita en un punto, entonces la recta tangente en ese punto es la recta vertical dada por la ecuación
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![f'(x_{0})=\pm\infty,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e84ef3b58a2d9ebf0d7218b48a56129f44f454)
![x=x_{0}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73bc71fee3880c58fb92f9ed16f3a2aee281c31d)
Nota
De la definición se sigue directamente que la gráfica de la recta tangente pasa por el punto . El ángulo entre la tangente a la curva y el eje x satisface la ecuación
![\alfa](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
donde denota la tangente y es el coeficiente de pendiente de la tangente. La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto.
![\nombre del operador {tg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b667bd5b9b258bb2d924b68c3d6a31a6ad2c56a0)
![\nombre del operador {k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12225085d5398dbba757777e530d131c3236ed6)
![x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
![y = f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514)
Tangente como posición límite de una secante
Sea y Entonces la recta que pasa por los puntos y viene dada por la ecuación
![f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11088953a3161d6f349ba57e5e54aa69e9c06214)
![x_{1}\en U(x_{0}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613c0452fbe796e8c7032a5e516d3d9aefaf1539)
![(x_{0},f(x_{0}))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f45486a7fce99328e062ba5719273f914100d3)
![(x_{1},f(x_{1}))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f92e5d48475e1458cce874ad9fa71b14e0ccc84)
Esta recta pasa por el punto por cualquiera y su pendiente satisface la ecuación
![(x_{0},f(x_{0}))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f45486a7fce99328e062ba5719273f914100d3)
![x_{1}\en U(x_{0}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0adb0d42a6bf1fb0f7ffcb65057ea2486f3c4b1d)
![\alfa (x_{1})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7552077f7d06701d6493a4d49a04b02136846d22)
En virtud de la existencia de la derivada de la función en el punto , pasando al límite en obtenemos que existe un límite
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![x_0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b35dd572e629881da4083ad1681bc7cf420304)
![x_{1}\a x_{0},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3d8bad6f6eed30294d3847010c0520d5e2d214)
y debido a la continuidad del arco tangente y el ángulo límite
Una línea recta que pasa por un punto y tiene un ángulo de pendiente límite que satisface está dada por la ecuación de la tangente:
![(x_{0},f(x_{0}))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f45486a7fce99328e062ba5719273f914100d3)
![\nombre del operador {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47d0544c68b2cc215646fdf6fe3ee9af35c5604)
Tangente a la circunferencia
Una línea recta que tiene un punto común con un círculo y se encuentra en el mismo plano con él se llama tangente al círculo .
Propiedades
- La tangente al círculo es perpendicular al radio dibujado en el punto de contacto.
- Los segmentos de las tangentes a la circunferencia trazada desde un punto son iguales y forman ángulos iguales con la recta que pasa por este punto y el centro de la circunferencia.
- La longitud del segmento de la tangente trazada a un círculo de radio unidad, tomada entre el punto de tangencia y el punto de intersección de la tangente con el rayo trazado desde el centro del círculo, es la tangente del ángulo entre este rayo y la dirección desde el centro del círculo hasta el punto de tangencia. "Tangens" del lat. tangens - "tangente".
Variaciones y generalizaciones
Semi-tangentes unilaterales
- Si hay una derivada recta infinita, entonces la media tangente derecha a la función gráfica en un punto se llama rayo .
![f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bf8c2c8ac28e229f997ed5c4ab85d58d363ca7)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
- Si hay una derivada izquierda infinita, entonces la semitangente derecha a la gráfica de la función en el punto se llama rayo
![f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037a8cd644227ec16f8374df13cbef088aae6ab0)
![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![x_{0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
Véase también
Literatura
- Toponogov VA Geometría diferencial de curvas y superficies. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
- Tangente // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.