Linea tangente

Una recta tangente es una recta que pasa por un punto de la curva y coincide con él en este punto hasta el primer orden.

Definición estricta

Sea la función definida en alguna vecindad del punto , y sea derivable en él: . La recta tangente a la gráfica de una función en un punto es la gráfica de una función lineal , dada por la ecuación $f\colon U(x_{0})\subconjunto {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\matemáticas {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ $F$ $x_{0}$ $y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\in {\mathbb {R))$ .
Si una función tiene una derivada infinita en un punto, entonces la recta tangente en ese punto es la recta vertical dada por la ecuación $F$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm\infty,$ $x=x_{0}.$

Nota

De la definición se sigue directamente que la gráfica de la recta tangente pasa por el punto . El ángulo entre la tangente a la curva y el eje x satisface la ecuación $(x_{0},f(x_{0}))$ $\alfa$

\nombre del operador {tg}\,\alpha =f'(x_{0})=k,

donde denota la tangente y es el coeficiente de pendiente de la tangente. La derivada en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto. $\nombre del operador {tg}$ $\nombre del operador {k}$ $x_{0}$ $y = f(x)$

Tangente como posición límite de una secante

Sea y Entonces la recta que pasa por los puntos y viene dada por la ecuación $f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_{1}\en U(x_{0}).$ $(x_{0},f(x_{0}))$ $(x_{1},f(x_{1}))$

y=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}) .

Esta recta pasa por el punto por cualquiera y su pendiente satisface la ecuación $(x_{0},f(x_{0}))$ $x_{1}\en U(x_{0}),$ $\alfa (x_{1})$

\operatorname {tg}\,\alpha (x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.

En virtud de la existencia de la derivada de la función en el punto , pasando al límite en obtenemos que existe un límite $F$ $x_0,$ $x_{1}\a x_{0},$

\lim \limits _{{x_{1}\to x_{0}}}\nombre del operador {tg}\,\alpha (x_{1})=f'(x_{0}),

y debido a la continuidad del arco tangente y el ángulo límite

\alpha =\nombre del operador {arctg}\,f'(x_{0}).

Una línea recta que pasa por un punto y tiene un ángulo de pendiente límite que satisface está dada por la ecuación de la tangente: $(x_{0},f(x_{0}))$ $\nombre del operador {tg}\,\alpha =f'(x_{0}),$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Tangente a la circunferencia

Una línea recta que tiene un punto común con un círculo y se encuentra en el mismo plano con él se llama tangente al círculo .

Propiedades

La tangente al círculo es perpendicular al radio dibujado en el punto de contacto.
Los segmentos de las tangentes a la circunferencia trazada desde un punto son iguales y forman ángulos iguales con la recta que pasa por este punto y el centro de la circunferencia.
La longitud del segmento de la tangente trazada a un círculo de radio unidad, tomada entre el punto de tangencia y el punto de intersección de la tangente con el rayo trazado desde el centro del círculo, es la tangente del ángulo entre este rayo y la dirección desde el centro del círculo hasta el punto de tangencia. "Tangens" del lat. tangens - "tangente".

Variaciones y generalizaciones

Semi-tangentes unilaterales

Si existe una derivada por la derecha, entonces la semitangente por la derecha a la gráfica de la función en un punto se llama rayo . $f'_{+}(x_{0})<\infty ,$ $F$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{+}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\geqslant x_{0}.

Si hay una derivada por la izquierda, entonces la media tangente por la izquierda a la gráfica de la función en un punto se llama rayo . $f'_{-}(x_{0})<\infty ,$ $F$ $x_{0}$

y=f(x_{0})+f'_{-}(x_{0})(x-x_{0}),\quad x\leqslant x_{0}.

Si hay una derivada recta infinita, entonces la media tangente derecha a la función gráfica en un punto se llama rayo . $f'_{+}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $F$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\geqslant f(x_{0})\;(y\leqslant f(x_{0})).

Si hay una derivada izquierda infinita, entonces la semitangente derecha a la gráfica de la función en el punto se llama rayo $f'_{-}(x_{0})=+\infty \;(-\infty ),$ $F$ $x_{0}$

x=x_{0},\;y\leqslant f(x_{0})\;(y\geqslant f(x_{0})).

Véase también

Literatura

Toponogov VA Geometría diferencial de curvas y superficies. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Tangente // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.