Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas ( funciones circulares, funciones de arco ) son funciones matemáticas que son inversas a las funciones trigonométricas . Las funciones trigonométricas inversas generalmente incluyen seis funciones:

arcoseno (símbolo: ángulo cuyo seno es ) ${\ estilo de visualización \ arcsen x;}$ $X$
arcocoseno (símbolo: el ángulo cuyo coseno es igual a, etc.) $\arccos x;$ $X$
arcotangente (símbolo: ; en literatura extranjera ) ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arctg} x}$ ${\ estilo de visualización \ arctan x}$
arco tangente (símbolo: ; en literatura extranjera o ) ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcctg} x}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arccot} x}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arccotan} x}$
arcosecante (símbolo: ) ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcsec} x}$
arcocosecante (símbolo: ; en la literatura extranjera ) ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arccosec} x}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arccsc} x}$

El nombre de la función trigonométrica inversa se forma a partir del nombre de la función trigonométrica correspondiente añadiendo el prefijo "arc-" (del latín arc us - arc). Esto se debe a que geométricamente el valor de la función trigonométrica inversa puede estar asociado a la longitud del arco de un círculo unitario (o del ángulo que subtiende este arco) correspondiente a uno u otro segmento. Entonces, el seno habitual le permite encontrar la cuerda restándola a lo largo del arco de un círculo, y la función inversa resuelve el problema opuesto. La forma de designar así las funciones trigonométricas inversas apareció con el matemático austriaco del siglo XVIII, Karl Scherfer , y quedó fijada gracias a Lagrange . Por primera vez, Daniel Bernoulli utilizó un símbolo especial para la función trigonométrica inversa en 1729. Hasta finales del siglo XIX, las escuelas matemáticas inglesa y alemana ofrecieron otras notaciones: pero no arraigaron [1] . Solo ocasionalmente en la literatura extranjera, así como en calculadoras científicas / de ingeniería, usan notaciones como sin -1 , cos -1 para arcoseno, arcocoseno, etc. [2] - tal notación no se considera muy conveniente, ya que es posible la confusión con elevar la función a la potencia −1. $\sin ^{-1},{\frac {1}{\sin )),$

Las funciones trigonométricas son periódicas, por lo que las funciones inversas a ellas son multivaluadas. Es decir, el valor de la función arco es el conjunto de ángulos ( arcos ) para los cuales la función trigonométrica directa correspondiente es igual a un número dado. Por ejemplo, significa un conjunto de ángulos cuyo seno es . Del conjunto de valores de cada función de arco, se destacan sus valores principales (ver gráficos de los valores principales de las funciones de arco a continuación), que generalmente se entienden cuando se habla de la arcoseno, arcocoseno, etc. $\ arco en 1/2$ $\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30 ^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )$ $1/2$

En el caso general, bajo la condición , todas las soluciones de la ecuación se pueden representar como [3] $-1\leqslant \alpha \leqslant 1$ $\sinx=\alfa$ $x=(-1)^{n}\arcsen \alpha +\pi n,~n=0,\pm 1,\pm 2,\dots ~.$

Relación básica

\arcsen x+\arccos x={\frac {\pi }{2))

\nombre del operador {arctg}\,x+\nombre del operador {arctg}\,x={\frac {\pi }{2))

función arcsen

El arcoseno del número x es el valor del ángulo y , expresado en radianes , para el cual $\sin y=x,\quad -{\frac {\pi }{2))\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2)),\quad |x|\leqslant 1.$

La función es continua y acotada en todo su dominio de definición. Es estrictamente creciente. $y=\arcsen x$

$\sin(\arcsen x)=x\qquad$ a $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcsen(\sen y)=y\qquad$ a $-{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},$
$D(\arcsen x)=[-1;1]\qquad$ (dominio),
$E(\arcsen x)=\left[-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right]\qquad$ (rango de valores).

Propiedades de la función arcsen

$\arcsen(-x)=-\arcsen x\qquad$ (la función es impar ).
${\ estilo de visualización \ arcsin x> 0}$ en . $0<x\leqslant 1$
${\ estilo de visualización \ arcsin x = 0}$ a $x=0.$
${\ estilo de visualización \ arcsen x <0}$ a $-1\leqslant x<0.$
$\arcsen x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x.$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matriz}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matriz}}\right.$
$\arcsin x=\nombre del operador {arctg}{\frac {x}({\sqrt {1-x^{2))))}$
$\arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\operatorname {arcctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matriz }}\Correcto.$

Obtener la función arcsen

Dada una función . En todo su dominio de definición, es monótona por partes y, por lo tanto, en toda la recta numérica, la correspondencia inversa no es una función. Por lo tanto, considere el segmento , en el que la función es estrictamente monótonamente creciente y toma todos los valores de su rango de valores solo una vez. Luego existe una función inversa sobre el intervalo , cuya gráfica es simétrica a la gráfica de la función con respecto a la recta . $y=\sin x$ $y=\arcsen x$ ${\ estilo de visualización [-\ pi /2; \ pi /2]}$ $y=\sin x$ ${\ estilo de visualización [-\ pi /2; \ pi /2]}$ $y=\arcsen x$ $y=\sin x$ $y=x$

función arccos

El arcocoseno de un número x es el valor del ángulo y en radianes, para el cual $\cos y=x,\qquad 0\leqslant y\leqslant \pi ,\quad |x|\leqslant 1.$

La función es continua y acotada en todo su dominio de definición. Es estrictamente decreciente y no negativo. $y=\arcos x$

$\cos(\arccos x)=x$ a $-1\leqslant x\leqslant 1,$
$\arcos(\cos y)=y$ a $0\leqslant y\leqslant\pi .$
$D(\arccos x)=[-1;1]$ (dominio),
$E(\arccos x)=[0;\pi ]$ (rango de valores).

Propiedades de la función arccos

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x.$ La función es centralmente simétrica con respecto al punto y es indiferente (ni par ni impar) . ${\ estilo de visualización \ izquierda (0; {\ frac {\ pi {2}} \ derecha),}$
$\arccos x>0$ a $-1\leqslant x<1.$
$\arccos x=0$ a ${\ estilo de visualización x = 1.}$
$\arcos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsen x.$
$\arccos x=\left\{{\begin{matriz}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin { \sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x\leqslant 0\end{matriz}}\right.$
$\arccos x=\operatorname {arcctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad 0<x\ leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg}\,{\frac ({\sqrt {1-x^{2)))){x)),\qquad -1\leqslant x<0\end{matriz }}\Correcto.$
$\arcos x=2\arcsen {\sqrt {\frac {1-x}{2))}$
$\arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2))}$
$\arccos x=2\nombre del operador {arctg}{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}$

Obtener la función arccos

Dada una función . En todo su dominio de definición, es monótona por partes y, por lo tanto, en toda la recta numérica, la correspondencia inversa no es una función. Por lo tanto, considere el segmento , en el que la función es estrictamente monótonamente decreciente y toma todos los valores de su rango de valores solo una vez. Luego existe una función inversa sobre el intervalo , cuya gráfica es simétrica a la gráfica de la función con respecto a la recta . $y=\cos x$ $y=\arcos x$ $[0;\pi]$ $y=\cos x$ $[0;\pi]$ $y=\arccos x$ $y=\cos x$ $y=x$

función arctg

La arcotangente del número x es el valor del ángulo expresado en radianes , para el cual ${\ estilo de visualización y,}$ $\operatorname {tg} y=x,\quad -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}.$

La función está definida sobre toda la línea real, continua y acotada en todas partes. Es estrictamente creciente. $y=\nombre del operador {arctg}x$

$\nombre del operador {tg}\,(\nombre del operador {arctg}\,x)=x$ a $x\in {\matemáticas R},$
$\nombre del operador {arctg}\,(\nombre del operador {tg}\,y)=y$ a $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},$
$D(\operatorname {arctg} \,x)=(-\infty;\infty)$ (dominio),
$E(\nombre del operador {arctg}\,x)=\left(-{\frac {\pi }{2));{\frac {\pi }{2))\right)$ (rango de valores).

Propiedades de la función arctg

$\nombre del operador {arctg}(-x)=-\nombre del operador {arctg}x\qquad$ (la función es impar ).
$\operatorname {arctg} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \-\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matriz}}\right.$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arctg} x = \ pi /2-\ nombre del operador {arctg} x.}$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatorname {arcctg} {\ fracción {1}{x}}-\pi ,\qquad x<0\end{matriz}}\right.$
${\displaystyle \nombre del operador {arctg} x=-i\nombre del operador {arth} {ix))$ , donde es la tangente hiperbólica inversa, areatangent . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arth}}$
$\nombre del operador {arth} x=i\nombre del operador {arctg} {ix}.$

Obtener la función arctg

Dada una función . Es monótona a trozos en todo su dominio de definición y, por lo tanto, la correspondencia inversa no es una función. Por lo tanto, considere el intervalo , en el que la función es estrictamente monótonamente creciente y toma todos los valores de su rango solo una vez. Entonces existe una función inversa en el intervalo cuya gráfica es simétrica a la gráfica de la función con respecto a la recta . $y=\nombre del operador {tg}\,x$ $y=\nombre del operador {arctg}\,x$ ${\ estilo de visualización (- \ pi / 2; \ pi / 2)}$ $y=\nombre del operador {tg}\,x$ ${\ estilo de visualización (- \ pi / 2; \ pi / 2)}$ $y=\nombre del operador {arctg}\,x$ $y=\nombre del operador {tg}\,x$ $y=x$

función arcctg

El arco tangente de un número x es el valor del ángulo y (en la medida de ángulos en radianes) para el cual $\operatorname {ctg} \,y=x,\quad 0<y<\pi .$

La función está definida sobre toda la línea real, continua y acotada en todas partes. Es estrictamente decreciente y en todas partes positivo. $y=\nombre del operador {arctg}\,x$

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ctg} (\ nombre del operador {arcctg} \, x) = x}$ a $x\in {\matemáticas R},$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcctg} (\ nombre del operador {ctg} \, y) = y}$ a $0<y<\pi,$
$D(\operatorname {arcctg} x)=(-\infty;\infty),$
$E(\operatorname {arcctg} x)=(0;\pi ).$

propiedades de la función arcctg

${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcctg} (-x) = \ pi - \ nombre del operador {arcctg} x.}$ La gráfica de la función es centralmente simétrica con respecto al punto La función es indiferente (ni par ni impar) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcctg} x> 0}$ para cualquier $X.$
$\operatorname {arcctg} x=\arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2)))).$
$\operatorname {arcctg} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\geqslant 0\ \\pi -\arcsen {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2)))),\qquad x\leqslant 0\end{matriz}}\right.$
$\operatorname{arctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.$
$\operatorname {arctg} x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {1}{x)),\qquad x>0\\\operatorname {arctg} {\ fracción {1}{x}}+\pi ,\qquad x<0\end{matriz}}\right.$

Obtener la función arcctg

Dada una función . Es monótona a trozos en todo su dominio de definición y, por lo tanto, la correspondencia inversa no es una función. Por lo tanto, considere el intervalo , en el que la función decrece estrictamente monótonamente y toma todos los valores de su rango una sola vez. Entonces existe una función inversa en el intervalo cuya gráfica es simétrica a la gráfica de la función con respecto a la recta . $y=\nombre del operador {ctg}\,x$ $y=\nombre del operador {arctg}\,x$ $(0;\pi)$ $y=\nombre del operador {ctg}\,x$ $(0;\pi)$ $y=\nombre del operador {arctg}\,x$ $y=\nombre del operador {ctg}\,x$ $y=x$

La gráfica del arco tangente se obtiene a partir de la gráfica del arco tangente si esta última se refleja a lo largo del eje y (es decir, se reemplaza el signo del argumento, ) y se desplaza hacia arriba en π / 2 ; esto se sigue de la fórmula anterior $x\flecha derecha -x$ $\nombre de operador {arctg}x=\nombre de operador {arctg}(-x)+\pi /2.$

función arcsec

La arcsecante de un número x es el valor del ángulo y (en la medida de ángulos en radianes) para el cual $\sec y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant \pi .$

La función es continua y acotada en todo su dominio de definición. Es estrictamente creciente y no negativo en todas partes. $y=\operatorname {arcsec} x$

$\sec(\operatorname {arcsec} x)=x$ a ${\ estilo de visualización | x | \ geqslant 1,}$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcsec} (\ sec y) = y}$ a $0\leqslant y\leqslant\pi .$
$D(\operatorname {arcsec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (dominio),
$E(\operatorname {arcsec} x)=[0;{\frac {\pi }{2)))\cup ({\frac {\pi }{2));\pi ]$ (rango de valores).

Propiedades de la función arcsec

$\operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x.$ La gráfica de la función es centralmente simétrica con respecto al punto La función es indiferente (ni par ni impar) . $\left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).$
${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcsec} x \ geqslant 0}$ para cualquier $X.$
$\operatorname {arcsec} x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x)),\qquad x\geqslant 1\ \\pi +\arcsin {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\qquad x\leqslant -1\end{matriz}}\right.$
$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccosec} x.$
$\operatorname {arcsec} x=\arccos {\frac {1}{x)).$

función arccosec

La arcocosecante de un número x es el valor del ángulo y (en la medida de ángulos en radianes) para el cual $\operatorname {cosec} y=x,\qquad |x|\geqslant 1,\quad -\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$

La función es continua y acotada en todo su dominio de definición. es estrictamente decreciente. $y=\operatorname {arccosec} x$

$\operatorname {cosec} (\operatorname {arccosec} x)=x$ a ${\ estilo de visualización | x | \ geqslant 1,}$
$\operatorname {arccosec} (\operatorname {cosec} y)=y$ a $-\pi /2\leqslant y\leqslant \pi /2.$
$D(\operatorname {arccosec} x)=(-\infty ;-1]\cup [1,\infty )$ (dominio),
$E(\operatorname {arccosec} x)=[-{\frac {\pi }{2));0)\cup (0;{\frac {\pi }{2))]$ (rango de valores).

Propiedades de la función arccosec

$\operatorname {arccosec} (-x)=-\operatorname {arccosec} x$ (la función es impar ).
$\operatorname {arccosec} \,x=\operatorname {arctg} {\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\left\{{\begin {matriz}\nombre del operador {arctg} {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x>1\\-\nombre del operador {arctg} {\frac {1}{\ sqrt {x^{2}-1}}},\qquad x<-1\end{matriz}}\right.$
$\operatorname {arcosec} x=\pi /2-\operatorname {arcsec} x.$
$\operatorname {arccosec} x=\arcsin {\frac {1}{x)).$

Expansión en serie

$\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{{n=0} }^{{\infty}}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{{2n+1}}$ para todos [4] $\izquierda|x\derecha|\leq 1$
$\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum_{{n=0}}^({\infty}}{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{{2n+1}}$ para todos $\izquierda|x\derecha|\leq 1$
$\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\ suma _ {n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ para todos ${\ estilo de visualización \ izquierda | x \ derecha | \ leq 1}$

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Todas las funciones trigonométricas inversas son infinitamente diferenciables en cada punto de su dominio de definición. Primeras derivadas:

Función $f(x)$	Derivado $f'(x)$	Nota
${\ estilo de visualización \ arco sin {x}}$	${\frac{1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arcoseno usando funciones mutuamente inversas. Después de lo cual debemos tomar la derivada de estas dos funciones. Ahora debemos expresar la derivada del arcoseno. Con base en la identidad trigonométrica ( ) - obtenemos. Para entender el más debe ser o menos, echemos un vistazo a qué valores. Como el coseno está en los cuadrantes 2 y 4, resulta que el coseno es positivo. Resulta. $sin(arcosen((x))=x$ $[sin(arcosen((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcosen(x))'={\frac {1}{cos(arcosen(x))))$ $sen^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsen(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac{1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arcocoseno usando esta identidad: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora expresamos la derivada del arcocoseno. Resulta. $arcosen(x)+arcocos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcosen(x)+arcos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcosen(x))'+(arcos(x))'=0$ $(arcos(x))'=-(arcosen(x))'$ $(arcos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arctg} \ x}$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arco tangente usando la función recíproca: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora debemos expresar la derivada del arco tangente: Ahora la identidad ( ) vendrá en nuestra ayuda : Resulta. $tg(arctg(x))=x$ ${\ estilo de visualización [tg (arctg (x))] '= 1}$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arcctg} \ x}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$	Prueba Puedes encontrar la derivada de la tangente inversa usando esta identidad: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora expresamos la derivada de la tangente inversa. Resulta. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ ${\ estilo de visualización (arctg(x))'+(arctg(x))'=0}$ ${\ estilo de visualización (arctg(x))'=-(arctg(x))'}$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
${\ estilo de visualización \ mathrm {arcsec} \ x}$	${\frac{1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Prueba Puedes encontrar la derivada de la arcsecante usando la identidad: $arcsec(x)=arcos({\frac {1}{x)))$ Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. $(arcsec(x))'=(arcos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 {x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2)))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Resulta. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec}\x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Prueba Puedes encontrar la derivada del arco cosecante usando esta identidad: Ahora encontramos la derivada de ambas partes de esta identidad. Ahora expresamos la derivada del arcocoseno. Resulta. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcosec(x))'+(arcosec(x))'=0$ $(arcosec(x))'=-(arcosec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$

Integrales de funciones trigonométricas inversas

Integrales indefinidas

Para x real y compleja :

{\begin{alineado}\int \arcsen x\,dx&{}=x\,\arcsen x+{\sqrt {1-x^{2))}+C,\\\int \arccos x\,dx&{ }=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg }\,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg}\,x\,dx&{} =x\,\nombre del operador {arcctg}\,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \nombre del operador{arcsec} x \,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2))}\ ,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x\left( 1+{\sqrt {{x^{2}-1} \sobre x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{alineado}}

Para x reales ≥ 1:

{\begin{alineado}\int \operatorname{arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname{arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\ derecha)+C,\\\int \operatorname {arccosec}\,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec}\,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}- 1}}\right)+C.\end{alineado}}

Ver también Lista de integrales de funciones trigonométricas inversas

Uso en geometría

Las funciones trigonométricas inversas se usan para calcular los ángulos de un triángulo si se conocen sus lados, por ejemplo, usando el teorema del coseno .

En un triángulo rectángulo , estas funciones de las proporciones de los lados dan inmediatamente el ángulo. Entonces, si el cateto de longitud es opuesto al ángulo , entonces $a$ $\alfa$

$\alpha =\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)=\operatorname {arctg} (a/b)=\operatorname {arccosec} (c/a)=\operatorname {arcsec}( c/b)=\nombre del operador {arctg} (b/a).$

Conexión con el logaritmo natural

Para calcular los valores de funciones trigonométricas inversas a partir de un argumento complejo, es conveniente utilizar fórmulas que los expresen en términos del logaritmo natural:

{\begin{alineado}\arcsen z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{alineado}}

{\begin{alineado}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{alineado} }

{\begin{alineado}\operatorname {arcctg}\,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {zi}{z}}\right)-\ ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{{-1}}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left( {\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2))))}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arcosec}\,z&{}=\arcsin \left(z^{{-1}}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\derecha).\end{alineado}}

Véase también

Notas

↑ Alexandrova N. V. Historia de los términos matemáticos, conceptos, notación: Diccionario-libro de referencia, ed. 3ro . - San Petersburgo. : LKI, 2008. - S. 211 . - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Aquí el signo −1 define la función x = f −1 ( y ), la inversa de la función y = f ( x )
↑ Diccionario enciclopédico, 1985 , p. 220.
↑ Con un valor de x cercano a 1, esta fórmula de cálculo da un gran error. Por lo tanto, puede utilizar la fórmula donde $\arcsen x = \arccos \sqrt{1-x^2},$ $\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsen x$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Funciones trigonométricas inversas en Wolfram MathWorld .
Enciclopedia Matemática / Cap. edición I. M. Vinogradov. - M .: "Enciclopedia soviética", 1982. - [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0% 9D%D0%AB%D0%95 V. 3. - pág. 1135].
Funciones trigonométricas inversas : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética . - M .: "Enciclopedia soviética", 1974. - T. 18. - p. 225.
Funciones trigonométricas inversas // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Savin A.P. - M. : Pedagogía, 1985. - S. 220-221. — 352 págs.
Trazar funciones trigonométricas inversas en línea
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