Operador (física)

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Un operador en mecánica cuántica es un mapeo lineal que actúa sobre la función de onda , que es una función de valor complejo que brinda la descripción más completa del estado del sistema. Los operadores se denotan con letras latinas mayúsculas con un acento circunflejo en la parte superior. Por ejemplo:

${\sombrero {A)],{\sombrero {B)],{\sombrero {C)),\puntos$

Un operador actúa sobre la función a su derecha (también se dice que se aplica a una función o se multiplica por una función):

${\sombrero {A}}\Psi_{1}=\Psi_{2}$

La mecánica cuántica utiliza la propiedad matemática de los operadores lineales autoadjuntos (hermitianos) , de que cada uno de ellos tiene vectores propios y valores propios reales . Actúan como los valores de cantidades físicas correspondientes al operador dado .

Operaciones aritméticas sobre operadores

Un operador se denomina suma (diferencia) de operadores si para cualquier función del dominio de definición de los tres operadores se cumple la siguiente condición: ${\ sombrero {C}}$ ${\sombrero {A},{\sombrero {B}}$ $\ \psi$

${\sombrero {C}}\Psi ={\sombrero {A}}\Psi \pm {\sombrero {B}}\Psi$

Un operador se llama producto de operadores si se cumple la siguiente condición para cualquier función: ${\ sombrero {C}}$ ${\sombrero {A},{\sombrero {B}}$ $\ \psi$

${\sombrero {C}}\Psi ={\sombrero {A}}({\sombrero {B}}\Psi )$

En general

{\sombrero {A}}{\sombrero {B}}\not ={\sombrero {B}}{\sombrero {A}}

Si , entonces se dice que los operadores conmutan . El conmutador del operador se define como ${\sombrero {A}}{\sombrero {B}}={\sombrero {B}}{\sombrero {A}}$ ${\sombrero {A},{\sombrero {B}}$

$[{\sombrero {A)],{\sombrero {B}}]={\sombrero {A}}{\sombrero {B}}-{\sombrero {B}}{\sombrero {A}}$

Valores propios y funciones propias del operador

Si hay igualdad:

${\sombrero {A}}\Psi =a\Psi ,$

entonces llaman el valor propio del operador , y la función se llama la función propia del operador correspondiente al valor propio dado. La mayoría de las veces, un operador tiene un conjunto de valores propios: el conjunto de todos los valores propios se denomina espectro de un operador . $\a$ ${\ sombrero {A}}$ $\ \psi$ ${\ sombrero {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\puntos,a_{n},\puntos$

Operadores lineales y autoadjuntos

Un operador se llama lineal si la condición se cumple para cualquier par: ${\ sombrero {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\sombrero {L}}\sum_{{i}}C_{{i}}\varphi_{{i}}=\sum_{{i}}C_{{i}}{\sombrero {L} }\varphi_{{i}}.$

Un operador se llama autoadjunto ( hermitiano ) si se cumple la siguiente condición para cualquiera: ${\ sombrero {A}}$ $\Psi ,\varfi$

$\left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Además, la suma de operadores autoadjuntos es un operador autoadjunto. Un producto de operadores autoadjuntos es un operador autoadjunto si conmutan. Los valores propios de los operadores autoadjuntos son siempre reales. Las funciones propias de operadores autoadjuntos correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales .

Operadores usados en física cuántica

Las principales características de un sistema físico en la física cuántica son las cantidades y estados observables .

En física cuántica , las cantidades observables se asocian con operadores lineales autoadjuntos en un espacio de Hilbert separable complejo , y los estados se asocian con clases de elementos normalizados de este espacio (con norma 1). Esto se hace principalmente por dos razones:

Los valores propios de los operadores autoadjuntos correspondientes a valores específicos de cantidades físicas son números reales , es decir, lo que los experimentadores tratan en la práctica (lecturas de instrumentos, resultados de cálculos, etc.).

Una misma partícula cuántica puede estar simultáneamente en un conjunto de estados cuánticos , que se caracterizan por un conjunto de valores propios del operador correspondiente. Puede ser un conjunto finito (un rango discreto de valores), un intervalo ( un rango continuo de valores) o un conjunto mixto.

En física cuántica, existe una regla "no estricta" para construir un operador de cantidades físicas: la relación entre operadores es generalmente la misma que entre las cantidades clásicas correspondientes. Con base en esta regla, se introdujeron los siguientes operadores (en representación de coordenadas):

Operador de coordenadas :

${\ sombrero {{\ matemáticas {x}}}} = x$

La acción del operador de coordenadas es multiplicar por un vector de coordenadas.

Operador de momento :

${\sombrero {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Aquí , es la unidad imaginaria , y es el operador nabla . $\i$ $\nabla$

Operador de energía cinética :

${\sombrero {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Aquí está la constante de Dirac , es el operador de Laplace . $\hbar$ $\Delta$

Operador de energía potencial :

${\sombrero {U}}=U(x,y,z,t)$

La acción del operador aquí se reduce a la multiplicación por una función.

Operador de Hamilton :

${\sombrero {H}}={\sombrero {T}}+{\sombrero {U}}$

Operador de momento :

${\sombrero {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Esta forma también fue elegida por razones relacionadas con el teorema de Noether y el grupo SO(3)

operador de giro :

En el caso más importante de espín 1/2, el operador de espín tiene la forma: , donde ${\sombrero {s}}={\frac {1}{2}}{\sombrero {\sigma}}$

${\sombrero {\sigma}}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - así llamado. Matrices de Pauli . Esta especie es similar a la anterior, pero está asociada al grupo SU(2) . ${\sombrero {\sigma}}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\sombrero {\sigma}}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Véase también

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. " Física teórica ", en 10 volúmenes, v. 3, "Mecánica cuántica (teoría no relativista)", 5ª ed., M., Fizmatlit, 2002, 808 p., ISBN 5-9221-0057 -2 (vol. 3);
"Análisis Funcional", ed. 2, rev. y adicional (Serie "Biblioteca Matemática de Referencia"), equipo de autores, eds. S. G. Kerin , Moscú, "Nauka", 1972, 517.2 F 94