Círculos de vado

Los círculos de Ford son círculos centrados en puntos con coordenadas y radios , donde es una fracción irreducible . Cada círculo de Ford es tangente al eje horizontal y dos círculos cualquiera se tocan o no se intersecan. [una] $(p/q,1/(2q^{2}))$ $1/(2q^{2})$ $p/q$ $y=0$

Historia

Los círculos de Ford son un caso especial de círculos mutuamente tangentes. Los sistemas de círculos mutuamente tangentes fueron estudiados por Apolonio de Perga , de quien se nombran el problema de Apolonio y la cuadrícula de Apolonio . En el siglo XVII, Descartes demostró el teorema de Descartes : la relación entre los radios recíprocos de círculos mutuamente tangentes [2] .

Los círculos de Ford llevan el nombre del matemático estadounidense Lester Ford Sr. , quien escribió sobre ellos en 1938 [1] .

Propiedades

El círculo de Ford correspondiente a la fracción se denota como o . Cada número racional corresponde a un círculo de Ford. Además, el semiplano también puede considerarse un círculo de Ford degenerado de radio infinito, correspondiente a un par de números . $p/q$ $C[p/q]$ $C[p,q]$ $y\geqslant 1$ $p=1,q=0$

Cualquiera de los dos círculos de Ford distintos no se cruzan en absoluto o se tocan entre sí. No hay dos círculos de Ford que tengan regiones interiores que se intersequen, a pesar de que en cada punto del eje de abscisas, que tiene una coordenada racional, un círculo de Ford toca este eje. Si , entonces el conjunto de círculos de Ford que se tocan se puede describir de cualquiera de las siguientes formas: $0<p/q<1$ $C[p/q]$

círculos , donde , [1] $C[r/s]$ $|ps-qr|=1$
círculos donde las fracciones son adyacentes en cualquier serie de Farey , [1] o $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$
círculos , donde está el antepasado más pequeño o más grande más cercano en el árbol Stern-Broko , o es el antepasado más pequeño o más grande más cercano . [una] $C[r/s]$ $r/s$ $p/q$ $p/q$ $r/s$

Los círculos de Ford también pueden verse como regiones en el plano complejo . El grupo de transformación modular del plano complejo asigna círculos de Ford a otros círculos de Ford. [una]

Si uno interpreta la mitad superior del plano complejo como un modelo del plano hiperbólico ( el modelo de semiplano de Poincaré ), entonces los círculos de Ford pueden interpretarse como mosaicos del plano hiperbólico con horociclos . Dos círculos de Ford cualesquiera son congruentes en geometría hiperbólica. [3] Si y son círculos de Ford tangentes, entonces el semicírculo que pasa por los puntos y y perpendicular al eje de abscisas es una línea hiperbólica que también pasa por el punto tangente de dos círculos de Ford. $C[p/q]$ $C[r/s]$ $(p/q,0)$ $(r/s,0)$

Los círculos de Ford constituyen un subconjunto de los círculos que componen la cuadrícula de Apolonio, dado por las líneas y y el círculo . [cuatro] $y=0$ $y=1$ $C[0/1]$

Área total de círculos

Existe una relación entre el área total de los círculos de Ford, la función de Euler , la función zeta de Riemann y la constante de Apéry . [5] Como no hay dos círculos de Ford que se intersequen en puntos interiores, inmediatamente obtenemos que el área total de los círculos $\varphi$ $\zeta (3)$

\left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}<1\right\}

menor que 1. Esta área está dada por una suma convergente que se puede calcular analíticamente. Por definición, el área requerida es igual a

A=\sum_{{q\geqslant 1}}\sum_{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}\pi \left({\frac {1}{2q^{ 2}}}\derecha)^{2}.

Simplificando esta expresión, obtenemos

A={\frac {\pi }{4}}\sum_{{q\geqslant 1}}{\frac {1}{q^{4}}}\sum_{{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{{q\geqslant 1}}{\frac {\varphi (q)}{q^{4} }}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4))),

donde la última igualdad utiliza la fórmula de la serie de Dirichlet con coeficientes dados por la función de Euler . Dado que , como resultado, obtenemos $\zeta (4)=\pi^{4}/90$

A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\aprox. 0,872284041.

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 Ford L. R. Fractions // American Mathematical Monthly . - 1938. - Vol. 45 , núm. 9 _ - Pág. 586-601 . -doi : 10.2307/ 2302799 . , SEÑOR : 1524411 .
↑ G. Coxeter, El problema de Apolonio // American Mathematical Monthly . - 1968. - vol. 75 . — pág. 5–15 . -doi : 10.2307/ 2315097 . SEÑOR : 0230204 _
↑ Conway J. Formas cuadráticas que se nos dan en la sensación . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 p. - 1000 copias. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
↑ Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Alan R.; Yan, Catherine H. Empaquetaduras de círculos apolíneos: teoría de números // Revista de teoría de números . - 2003. - vol. 100 , núm. 1 . — Pág. 1–45 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5 . -arXiv : matemáticas.NT / 0009113 . , SEÑOR : 1971245 .
↑ Marszalek W. Circuitos con secuencias de Farey jerárquicas oscilatorias y propiedades fractales // Circuitos, sistemas y procesamiento de señales. - 2012. - vol. 31 , núm. 4 . - P. 1279-1296 . -doi : 10.1007/ s00034-012-9392-3 . .

Véase también

Enlaces externos

Círculos conmovedores de Ford
Weisstein, Eric W. Ford Circle (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .