Signo radical de Cauchy

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

El signo radical de Cauchy es un signo de convergencia de una serie de números :

Si para una serie de números

\sum _{{n=0}}^{\infty}a_{n}

con términos no negativos, existe un número , , tal que, a partir de algún número, la desigualdad $q$ $0<q<1$

{\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q

entonces esta serie converge; si a partir de algún número

{\sqrt[{n}]{a_{n))}>1

entonces la serie diverge.

Si , entonces este es un caso dudoso y se necesita más investigación. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Si, a partir de algún número, , y no existe tal que para todo , a partir de algún número, entonces en este caso la serie puede converger y divergir. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $norte$

Límite de forma

si hay un limite

{\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))))

entonces la serie considerada converge si , y si diverge. $\rho<1$ $\rho >1$

Observación 1. Si , entonces la prueba radical de Cauchy no responde la pregunta sobre la convergencia de la serie. $\rho=1$

Observación 2. Si , pero la secuencia tiende a su límite desde arriba, entonces la serie diverge. $\rho=1$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n))))$ $\rho$

Prueba

En primer lugar, cabe señalar que si se cumple el criterio de Cauchy para la secuencia , a partir de algún número , entonces podemos considerar una subsecuencia de la secuencia , simplemente a partir de este número. Una serie compuesta por tal subsecuencia convergerá. Pero entonces la serie original también convergerá, ya que el número finito de términos iniciales de la secuencia no afecta la convergencia de la serie. En este caso, para simplificar la demostración, tiene sentido aceptar , es decir, aceptar que el criterio de Cauchy se cumple para todo natural . ${\ estilo de visualización \ {a \}}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$ $N-1$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$ $N=1$ $norte$

Sea la desigualdad válida para todos los números naturales , donde . Luego puede escribir , , …, , y así sucesivamente. Como y , y todos los miembros de la sucesión son no negativos, el sistema de desigualdades se puede reescribir de la siguiente manera: , , …, , y así sucesivamente. Sumando las primeras desigualdades, obtenemos . Esto significa que la suma parcial de la serie es menor que la suma parcial de una progresión geométrica decreciente con término inicial . La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente converge, por tanto, por el criterio de comparar series de signo positivo, la serie original también converge. $norte$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $0<q<1$ ${a_{1}}\leqq$ ${\sqrt {a_{2))}\leqq$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leq q$ $q$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$ ${a_{1}}\leqq$ ${a_{2}}\leq{q^{2}}$ ${a_{n}}\leq{q^{n}}$ $norte$ ${a_{1}}+...+{a_{n}}\leq q+...+{q^{n}}$ $norte$ $norte$ $q$
Let (para todo natural ): entonces podemos escribir . Esto significa que el módulo de los miembros de la secuencia no tiende a cero en el infinito y, por lo tanto, la secuencia misma no tiende a cero. No se cumple la condición necesaria para la convergencia de cualquier serie. Por lo tanto, la serie diverge. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\geq 1$ $norte$ $a_{n}\geq 1$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$ ${\ estilo de visualización \ {a \}}$
Vamos por todo lo natural . Además, no hay tal que para todos los naturales . En este caso, la serie puede converger o divergir. Por ejemplo, ambas series y satisfacen esta condición, y la primera serie (armónica) diverge y la segunda converge. De hecho, la serie es verdadera para cualquier natural , excepto para . Al mismo tiempo, ya que , esto significa que para cualquier , es posible elegir un número tal que , y al mismo tiempo, a partir de algún número, todos los miembros de la sucesión , donde , estará en el intervalo , es decir , . Y esto quiere decir que no existe tal ,, que para todo natural . Estos argumentos se pueden repetir para la segunda fila: lo mismo es cierto para todos , . Sin embargo, la segunda serie converge. ${\sqrt[{n}]{a_{n))}<1$ $norte$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $norte$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n^{2}}}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}={\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac{1}{n}}}<1$ $norte$ $n=1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ $\varepsilon$ $1-\varepsilon >q$ ${\ estilo de visualización \ {b \}}$ ${b_{n}}={\raíz cuadrada[{n}]{a_{n}}}$ ${\ estilo de visualización (1-\ varepsilon; 1)}$ ${b_{n}}>q$ $q$ ${\ estilo de visualización 0<q<1}$ ${\sqrt[{n}]{a_{n))}\leqslant q$ $n>1$ $n>1$ ${\sqrt[{n}]{|{a_{n}}|}}<1$ $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n))}=1$

Ejemplos

1. Fila

\sum _{{n=1}}^{\infty}{\frac {n}{2^{n}}}

converge, ya que se cumple la condición de la forma límite de la prueba radical del teorema de Cauchy

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}={\frac {1}{2}}

2. Considere la serie

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)}^{{n(n-1)))

\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\left({\frac {n- 1}{n+1}}\right)}^{{n-1}}=\lim _{{{n\to \infty}}{\left(1-{\frac {2}{n+1} }\right)}^{{n-1}}=e^{{-2}}<1\Rightarrow

la serie converge.

Véase también

Signos de convergencia de series.
Para todas las filas	Condición necesaria criterio de Cauchy	$\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}$
Para series de signo positivo	Criterio principal Signo de comparación signo de kummer signo de Gauss signo radical de Cauchy característica integral Signo de D'Alembert signo de poder signo logarítmico Signo de Raabe Signo de Bertrand Signo de Jamet Signo de Schlömilch Signo de Ermakov Signo de Lobachevsky señal telescópica Signo de Sapogov
Para series alternas	signo de leibniz
Para filas de la forma $\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$	signo de abel Signo de Dedekind Signo de Dubois-Reymond signo de dirichlet
Para series funcionales	Signo de Weierstrass
Para la serie de Fourier	signo dini Signo de de la Vallée Poussin Signo de Jordania signo de jung signo de salem signo de lebesgue Signo de Lebesgue-Gergen Signo de Martsinkevich