Polinomio característico de una matriz

El polinomio característico de una matriz es un polinomio que determina sus valores propios .

Definición

Para una matriz dada , , donde es la matriz identidad , es un polinomio en , que se denomina polinomio característico de la matriz (a veces también la ecuación secular ) . $A$ $\chi (\lambda)=\det(A-\lambda E)$ $mi$ $\lambda$ $A$

El valor del polinomio característico es que los valores propios de la matriz son sus raíces. De hecho, si la ecuación tiene una solución distinta de cero, entonces , la matriz es degenerada y su determinante es igual a cero. $Av=\lambdav$ $(A-\lambda E)v=0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Definiciones relacionadas

La matriz se llama matriz característica de la matriz . $A-\lambda E$ $A$
La ecuación se llama ecuación matricial característica . $\chi (\lambda)=0$ $A$
El polinomio característico de un grafo es el polinomio característico de su matriz de adyacencia .

Propiedades

Para una matriz , el polinomio característico tiene grado . $n\veces n$ $norte$
Todas las raíces del polinomio característico de una matriz son sus valores propios .
Teorema de Hamilton-Cayley : si es el polinomio característico de la matriz, entonces. $\chi (\lambda)$ $A$ $\ chi (A) = 0$
Los polinomios característicos de matrices semejantes coinciden: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
El polinomio característico de la matriz inversa: . $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Prueba:

${\begin{alineado}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda)&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ fin{alineado}}$

Si y son dos matrices , entonces . En particular, esto implica que el rastro de su producto y . $A$ $B$ $n\veces n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
En una forma más general, si es una matriz , y es una matriz , y , de modo que y son matrices cuadradas de dimensiones y , respectivamente, entonces: $A$ $m\veces n$ $B$ $n\veces m$ $m<n$ $AB$ $licenciado en Letras$ $metro$ $norte$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda )

Enlaces

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Matemáticas avanzadas. Álgebra lineal . — Universidad Estatal de Ingeniería Eléctrica de Ivanovo. Archivado el 23 de diciembre de 2008 en Wayback Machine .

Vectores y matrices

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Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
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Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
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