Grupo ordenado

Un grupo ordenado es un grupo , para todos los elementos de los cuales se define un orden lineal , consistente con la operación de grupo. Además, la operación se denota como suma, el cero del grupo se denota con el símbolo . En general, un grupo puede no ser conmutativo . ${\ estilo de visualización 0}$

Definición

Sea un grupo y se define un orden lineal para sus elementos , es decir, se da una relación ( menor o igual que ) con las siguientes propiedades: $GRAMO$ $\leqslant$

Reflexividad : . $x \leqslant x$
Transitividad : si y , entonces . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisimetría : si y , entonces . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linealidad : todos los elementos del grupo son comparables entre sí, es decir, para cualquier , o . $x,y$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Además, requerimos que el orden sea consistente con la operación del grupo:

Si , entonces para cualquier z se cumplen las siguientes relaciones: $x \leqslant y$

x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.

Si se cumplen los cinco axiomas, se dice que el grupo está ordenado (o linealmente ordenado ). Si eliminamos el requisito de linealidad (axioma 4), entonces el grupo se llama parcialmente ordenado . $GRAMO$

Un grupo ordenado es un grupo topológico con topología de tipo de intervalo [1] .

Definiciones relacionadas

Para facilitar la notación, se introducen relaciones secundarias adicionales:

Una razón mayor o igual que : significa que .

x\geqslant y

y\leqslant x

La razón mayor que : significa que y .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Una razón menor que : significa que .

x<y

y > x

Una fórmula con cualquiera de estas cuatro relaciones se llama desigualdad .

A un isomorfismo de grupos ordenados lo llamamos isomorfismo y si conserva el orden.

Un subgrupo de un grupo ordenado se llama convexo si todos los elementos entre los elementos pertenecen a Notación formal: si y entonces Un subgrupo de un cero es obviamente convexo y se llama trivial . $H$ $GRAMO$ $g\in G$ ${\ estilo de visualización H,}$ ${\ estilo de visualización H.}$ $h_{1},h_{2}\en H$ $h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},$ ${\ estilo de visualización g \ en H.}$

Propiedades

Se pueden sumar desigualdades con los mismos tipos de relación [2] , por ejemplo:

si y entonces

a<b

{\ estilo de visualización c<d,}

{\ estilo de visualización a+c<b+d}

Un grupo finito no trivial no se puede ordenar [3] . En otras palabras, un grupo ordenado no trivial es siempre infinito.

Arquímedes

Un orden en un grupo se llama arquimediano si para alguno y existe tal natural que: $a>0$ $b>0$ $norte,$

\underbrace {a+a+\ldots +a}_{{n}}>b

Teorema de Hölder . Todo grupo de Arquímedes ordenado es y-isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de números reales (con el orden habitual); en particular, tal grupo es siempre conmutativo [4] .

Corolario 1: todo automorfismo y de dos subgrupos del grupo aditivo de los números reales se reduce a la dilatación, es decir, a la multiplicación por un coeficiente fijo [4] .

Corolario 2: el grupo de y-automorfismos del grupo de Arquímedes es isomorfo a un subgrupo del grupo multiplicativo de reales positivos [4] .

Otro criterio para ser Arquímedes: un grupo ordenado es Arquímedes si y sólo si no contiene subgrupos convexos no triviales [1] .

Elementos positivos y negativos

Los elementos mayores que cero del grupo se llaman positivos y menores que cero negativos . Agregar cero a estos dos conjuntos da como resultado un conjunto de elementos no negativos y no positivos , respectivamente. Si luego, sumando obtenemos que Esto significa que los elementos que son inversos a no negativos son no positivos, y viceversa. Así, todo elemento de un grupo ordenado pertenece a una y sólo a una de las tres categorías: positivo, negativo, cero. ${\ estilo de visualización x \ geqslant 0,}$ ${\ estilo de visualización -x,}$ $-x\leqslant 0.$

Denote el conjunto de elementos no negativos. Entonces , es decir, el conjunto de elementos opuestos a elementos contiene todos los elementos no positivos. Enumeramos las propiedades de estos conjuntos [5] [1] . $PAGS$ ${\ estilo de visualización -P,}$ $PAGS,$

(P1) está cerrado por adición.

PAGS

(P2) tiene exactamente un elemento en común, el cero del grupo:

-PAGS

PAGS

P\cap (-P)=\{0\}.

(P3) para cualquier

{\ estilo de visualización (-g) + P + g \ subconjunto P}

{\ estilo de visualización g \ en G.}

(P4)

P\taza (-P)=G.

Construcción constructiva de la orden

Una forma de definir un orden lineal en un grupo arbitrario es seleccionar un subconjunto de números P no negativos que tenga las propiedades enumeradas anteriormente [P1–P4]. $GRAMO$

Que esto se destaque. Definamos un orden lineal de la siguiente manera [5] : $PAGS$ $GRAMO$

x \leqslant y

, si (nótese que la propiedad (P3) implica que si entonces e incluso si el grupo no es conmutativo).

{\ estilo de visualización yx \ en P}

{\ estilo de visualización yx \ en P,}

-x+y\en P,

Entonces se satisfacen todos los axiomas de orden anteriores. Cualquier grupo ordenado puede construirse (a partir de uno desordenado) usando el procedimiento descrito [5] .

Valor absoluto

Definamos el valor absoluto de los elementos del grupo: Aquí la función selecciona el valor más grande. ${\ estilo de visualización | x | = máximo (x, -x).}$ $máximo$

Propiedades de valor absoluto [6] :

${\ estilo de visualización | x | = 0}$ si y solo si $x=0.$
Para todos los distintos de cero y solo para ellos $X$ ${\ estilo de visualización | x |> 0.}$
Los valores absolutos de los números opuestos son iguales: ${\ estilo de visualización |x|=|-x|.}$
Desigualdad triangular : $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$
$|x|\leqslant y$ es equivalente a $-y\leqslant x\leqslant y.$

Ejemplos

El grupo aditivo de números enteros , racionales o reales con el orden habitual.
El grupo multiplicativo de números reales positivos con el orden habitual.
Considere un grupo aditivo de polinomios reales. Definimos el conjunto de elementos no negativos en él como el conjunto de polinomios en los que el primer coeficiente distinto de cero es positivo en la notación dada. Entonces el orden generado define un grupo conmutativo ordenado [7] . $a_{0}+a_{1}x+\puntos +a_{n}x^{n}.$ $PAGS$
En el grupo aditivo de todos los números complejos , definimos el conjunto de elementos no negativos de la siguiente manera: si uno u otro En otras palabras, de dos números complejos, el que tiene la mayor parte real es mayor, y en el caso de una coincidencia , el que tiene la parte imaginaria más grande. Luego, el orden generado se convierte en un grupo conmutativo ordenado con un orden no arquimediano [8] . En él, por ejemplo, además, la suma de cualquier cantidad es siempre menor que 1, de modo que la unidad imaginaria en este orden aparece como infinitamente pequeña con respecto a la unidad. El orden descrito es consistente con el orden de los números reales y con la suma de los números complejos, pero no es consistente con la multiplicación: al multiplicar por la desigualdad, obtenemos una desigualdad errónea . Se demuestra que es imposible conciliar ambas operaciones, es decir, hacer de los números complejos un cuerpo ordenado . $GRAMO$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización a + bi \ en P,}$ $a>0,$ $a=0;b\geqslant 0.$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización 0 <i <1,}$ $i$ $i$ ${\ estilo de visualización i> 0,}$ ${\ estilo de visualización -1> 0}$

Notas

↑ 1 2 3 Enciclopedia de Matemáticas, 1982 .
↑ Nechaev, 1975 , pág. 85, Teorema 5.2.1.
↑ Nechaev, 1975 , pág. 87, Teorema 5.2.6.
↑ 1 2 3 Kokorin, Kopytov, 1972 , p. 27-28.
↑ 1 2 3 Fuchs, 1965 , pág. 25-26.
↑ Bourbaki, 1965 , pág. 253-255.
↑ Kokorin, Kopytov, 1972 , pág. 13
↑ Fuchs, 1965 , pág. 29

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Polinomios y campos. Grupos ordenados. — M .: Nauka, 1965. — 300 p. .
Kokorin A. I. , Kopytov V. M. Grupos ordenados linealmente. - M. : Nauka, 1972. - 343 p.
Grupo ordenado linealmente // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 322.
Nechaev V. I. Sistemas numéricos. - M. : Educación, 1975. - 199 p.
Fuchs L. Sistemas algebraicos parcialmente ordenados. - M. : Mir, 1965. - 343 p.

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