Retraer

Una retracción de un espacio topológico es un subespacio de este espacio para el que hay una retracción en ; es decir, un mapa continuo que es idéntico en (es decir, tal que para todos ). $X$ $A$ $X$ $A$ ${\ estilo de visualización f: X \ a A}$ $A$ $f(x)=x$ $x \ en A$

Una retracción de un espacio topológico hereda muchas propiedades importantes del propio espacio. Al mismo tiempo, se puede organizar mucho más simple que él mismo, más visible, más conveniente para un estudio específico.

Ejemplos

Un conjunto de un punto es una retracción de un segmento, línea, plano, etc.
Todo conjunto cerrado no vacío de un conjunto perfecto de Cantor es su retracción.
$norte$ La esfera bidimensional no es una retracción de la bola bidimensional del espacio euclidiano, ya que la bola tiene grupos de homología cero y la esfera tiene un grupo distinto de cero . Esto contradice la existencia de una retracción, ya que la retracción induce un epimorfismo de grupos de homología. $(n+1)$ $H_n$

Definiciones relacionadas

Un subespacio de un espacio se llama retracto de vecindad si hay un subespacio abierto que contiene , cuyo retracto es . $A$ $X$ $X$ $A$ $A$
Un espacio metrizable se denomina retracto absoluto ( retracto absoluto de vecindad ) si es un retracto (respectivamente, un retracto de vecindad) de todo espacio metrizable que contenga como subespacio cerrado. $X$ $X$
Si la retracción de un espacio sobre su subespacio es homotópica al mapeo idéntico del espacio sobre sí mismo, entonces se llama retracción del espacio de deformación . $X$ $A$ $X$ $A$ $X$
Un operador lineal en un espacio vectorial topológico que es una retracción se denomina proyector continuo . Se dice que un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico es complementario si existe una proyección continua . $PAGS$ $mi$ $F$ $mi$ $P\dos puntos E\to F$

Propiedades

Un subespacio de un espacio es su retracción si y solo si cualquier mapeo continuo del espacio en un espacio topológico arbitrario puede extenderse a un mapeo continuo de todo el espacio en . $A$ $X$ $A$ $Y$ $X$ $Y$
Si el espacio es Hausdorff , entonces cada retracción del espacio está cerrada . $X$ $X$ $X$
Cualquier propiedad que se conserva bajo la transición a una imagen continua, así como cualquier propiedad heredada por subespacios cerrados, es estable con respecto a la transición a una retracción. En particular, al pasar a una retracción, el
- compacidad ,
- conexión ,
- conexión lineal ,
- separabilidad ,
- límite superior en la dimensión ,
- paracompacidad ,
- normalidad ,
- compacidad local ,
- conectividad local .
Si el espacio tiene la propiedad de un punto fijo , es decir para todo mapa continuo hay un punto tal que , entonces todo espacio retraído tiene la propiedad de punto fijo. $X$ $f:X\a X$ $x\en X$ $f(x)=x$ $X$
Un retracto absoluto de vecindad es un espacio contraible localmente .
La retracción induce un epimorfismo de los grupos de homología .

Literatura

Borsuk K., Teoría de las retractaciones, trad. de Inglés, M., 1971.