Polinomios de Polachek

Los polinomios de Polachek son una secuencia de polinomios que fueron considerados por Polachek en 1950. $P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\ }$

Definición recursiva

$P_{-1}^{\lambda}=0$

$P_{0}^{\lambda}=1$

$nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+ (n-2+2\lambda)P_{n-2}^{\lambda}=0$

Propiedades

Los polinomios simétricos de Polachek son ortogonales en todo el eje real con peso: $\left(P_{n}^{\lambda}(x;\pi /2)\right)$

{\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^ {2}

, donde está la función gamma de Euler

\Gama

Un análogo de las fórmulas de Rodrigues para los polinomios de Polachek:

P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!)}}\delta ^ { n}G\izquierda(\lambda +{\frac {n}{2}}\derecha)

, donde es una función meromórfica y es un operador de diferencias finitas

{\displaystyle G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)))e^{\pi x))

\delta

(\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)

Literatura

V. N. Sorokin. Polinomios de Polachek generalizados // Matemáticas. Sáb. - 2009. - T. 200 , No. 4 . - S. 113-130 . (Ruso)

polinomios ortogonales
Polinomios de Bessel Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Kravchuk Polinomios de Laguerre Polinomios de Legendre Polinomios de Polachek Polinomios de Rogers Polinomios de Zernike Polinomios de Chebyshev Polinomios de Charlier Polinomios de Hermite Polinomios de Jacobi