Polinomios de Jacobi

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Polinomios ortogonales de Jacobi
información general
Fórmula	${\begin{alineado}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{alineado}}$
producto escalar	$(f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x )\,dx}$
Dominio	$[-1,\;1]$
características adicionales
Ecuación diferencial	${\begin{alineado}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\ alfa +\beta +1)y=0\end{alineado}}$
Lleva el nombre de	Carlos Jacobi

Los polinomios de Jacobi (o polinomios de Jacobi ) son una clase de polinomios ortogonales. Nombrado en honor a Carl Gustaf Jacob Jacobi .

Definición

Provienen de funciones hipergeométricas en los casos en que las siguientes series son finitas [1] :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1 }\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),

donde está el símbolo de Pochhammer (para factorial creciente ), y por lo tanto se deriva la expresión $(\alfa +1)_{n}$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\ beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma ( \alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},

De donde uno de los valores finales es el siguiente

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \elegir n}.

para todo $norte$

{z \elegir n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1))),

donde es la función gamma habitual , y $\gamma(z)$

{z \elegir n}=0\quad {\text{for))\quad n<0.

Estos polinomios satisfacen la condición de ortogonalidad

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )} (x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta + 1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!)}}\delta _{nm} ,

para y . $\alfa >-1$ $\beta >-1$

Existe una relación de simetría para los polinomios de Jacobi.

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z );

y por lo tanto un significado más de polinomios:

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \elegir n}.

Para un polinomio real de Jacobi se puede escribir de la siguiente manera. $X$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose ns}\left({\ fracción {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},

donde y . ${\ Displaystyle s \ geqslant 0}$ ${\ Displaystyle ns \ geqslant 0}$

En el caso especial cuando , , y son números enteros no negativos, el polinomio de Jacobi puede tomar la siguiente forma $norte$ $n+\alfa$ $n+\beta$ $n+\alfa +\beta$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum_{s}\left[s!(n+\alpha ) -s)!(\beta +s)!(ns)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\ fracción {x+1}{2}}\right)^{s}.

La suma se toma sobre todos los valores enteros para los cuales los factores son integrales. $s$

Esta fórmula permite expresar la matriz d de Wigner ( ) en términos de polinomios de Jacobi $d_{m'm}^{j}(\varphi )$ ${\ estilo de visualización 0 \ leqslant \ varphi \ leqslant 4 \ pi}$

d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+ \mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )

, [2] dónde

\mu =|mm'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2))(\mu +\nu )

El valor está determinado por la fórmula . ${\ estilo de visualización \ xi _ {m'm}}$

$\xi _{m'm}={\begin{casos}1,&{\text{si }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\ texto{si}}m<m'\end{casos}}$

Derivados

$k$ -ésima derivada de una expresión explícita conduce a

{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)= {\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)))P_{nk}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).

Notas

↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Capítulo 22" Archivado el 17 de agosto de 2005 en Wayback Machine , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Nueva York: Dover, págs. 561, ISBN 978-0-486-61272-0 , MR0167642
↑ Varshalovich D. A., Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Teoría cuántica del momento angular. — 1975.

Literatura

Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR : 1688958 , ISBN 978-0-521-62321-6 ; 978-0-521-78988-2 .
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Polinomios ortogonales , Manual de funciones matemáticas del NIST, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .

polinomios ortogonales
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