Polinomios de Gegenbauer

Polinomios de Gegenbauer
información general
Fórmula	$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\ alfa )_{nk}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}$
producto escalar	$(f,g)=\int _{-1}^{1}{(1-z^{2})^{\alpha -1/2}f(z)g(z){\rm {d}}z}$
Dominio	$[-1,1]$
características adicionales
Ecuación diferencial	$(1\!-\!z^{2})f''\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)zf'\!\!+\!n(n\ !+\!2\alfa )f=0$
Norma	$\\|C_{n}^{(\alpha )}(z)\\|^{2}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha ) {n!(n+\alfa)[\Gamma (\alfa)]^{2}}}$
Lleva el nombre de	Leopoldo Gegenbauer

Los polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos en matemáticas son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con una función de peso . Se pueden representar explícitamente como ${\ estilo de visualización (1-z ^ {2}) ^ {\ alfa -1/2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lpiso n/2\rpiso}(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!))(2z)^{n-2k},

donde es la función gamma , y denota la parte entera del número n/2 . ${\ estilo de visualización \ gamma (s)}$ ${\ estilo de visualización \ lpiso n/2 \ r piso}$

Los polinomios de Gegenbauer son una generalización de los polinomios de Legendre y Chebyshev y son un caso especial de los polinomios de Jacobi . Además, los polinomios de Gegenbauer están relacionados con la representación del grupo ortogonal especial [1] . Llevan el nombre del matemático austriaco Leopold Gegenbauer (1849-1903). ${\ estilo de visualización SO (n)}$

Función generadora y valores parciales del argumento

Los polinomios de Gegenbauer se pueden definir en términos de la función generadora [2] :

{\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha ))}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(z)t^{n}.

Como la función generadora no cambia con el reemplazo simultáneo de , , entonces ${\ estilo de visualización z \ a -z}$ $t\to -t$

C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),

de donde se sigue que para n par, los polinomios de Gegenbauer contienen sólo grados pares de z , y para n impar , sólo grados impares de z .

A través de la función generadora se pueden obtener los valores de los polinomios de Gegenbauer en z=1 y z=0 como coeficientes de expansión y, respectivamente: ${\ estilo de visualización (1-t) ^ {-2 \ alfa}}$ ${\ estilo de visualización (1 + t ^ {2}) ^ {- \ alfa))$

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},

C_{n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n/2}(\alpha )_{n/2}}{(n/2)! }}

(para n par ), (para n impar ),

C_{n}^{(\alpha )}(0)=0

donde se usa la notación estándar para el símbolo de Pochhammer ,

(\alpha )_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha )))

Relación recurrente y casos especiales

Los polinomios de Gegenbauer satisfacen la siguiente relación de recurrencia , que se puede utilizar para construir polinomios con : ${\ estilo de visualización n \ geq 2}$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n))[2z(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )} (z)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(z)].

En particular [3] ,

{\begin{alineado}C_{0}^{(\alpha )}(z)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(z)&=2\alpha z\\ C_{2}^{(\alpha )}(z)&=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}\\C_{3}^{(\alpha )}(z) &=-2\alpha (1+\alpha )z+{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}\end{alineado}}

y así.

Ecuación diferencial y relación con otras funciones

Los polinomios de Gegenbauer satisfacen la ecuación diferencial de Gegenbauer [4]

(1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}f}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha + 1)z{\frac {{\rm {d}}f}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )f=0.

Cuando esta ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Legendre y, en consecuencia, los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre . ${\ estilo de visualización \ alfa = {\ tfrac {1} {2}}}$

Los polinomios de Gegenbauer se pueden expresar en términos de una serie hipergeométrica finita

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right).

Los polinomios de Gegenbauer son un caso especial de los polinomios de Jacobi c : $P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)$ $\mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2))$

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alfa -1/2,\;\alfa -1/2)}(z).

La derivada del polinomio de Gegenbauer se expresa en términos de un polinomio con índices desplazados

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}z}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{ (\alfa +1)}(z).

Se pueden expresar en términos de la fórmula de Rodrigues .

C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!)}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma ( n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )))(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{ \ rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right ] .

Ortogonalidad y normalización

Para un dado , los polinomios de Gegenbauer son ortogonales en el intervalo [−1,1] con la función de peso , es decir, (para n ≠ m ) [5] , $\alfa$ ${\ estilo de visualización (1-z ^ {2}) ^ {\ alfa -1/2))$

\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2} )^{\alfa -1/2}\,{\rm {d}}z=0.

Se normalizan como [5]

\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\ alfa -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alfa)]^{2}}}.

Caso de argumento complejo

Si , donde y son variables reales (y también es real), entonces las partes real e imaginaria de los polinomios de Gegenbauer se pueden expresar de la siguiente manera: $z=x+{\rm{i}}y$ $X$ $y$ $\alfa$

{\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lpiso n/2\rpiso }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{ (2k+\alfa)}(x)\;y^{2k},

{\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\ lpiso (n-1)/2\rpiso }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}} \;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.

Véase también

Notas

↑ Vilenkin, 1991 , pág. 415.
↑ Vilenkin, 1991 , pág. 468.
↑ Vilenkin, 1991 , pág. 439.
↑ Vilenkin, 1991 , pág. 438.
↑ 1 2 Vilenkin, 1991 , pág. 441.

Literatura

Suetin PK Polinomios ortogonales clásicos . - M. : Fizmatlit, 2007. - 480 p. - ISBN 978-5-9221-0406-7 .
Vilenkin N. Ya. Funciones especiales y teoría de la representación de grupos / Cap. edición Phys.-Math. iluminado. - 2ª ed., corregida. — M .: Nauka, 1991. — 576 p. — ISBN 5-02-014541-6 .
Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas , (1964) Publicaciones de Dover, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4 . Ver Capítulo 22

Enlaces

Función de Gegenbauer , functions.wolfram.com
Eric W. Weisstein, polinomio de Gegenbauer , MathWorld - mathworld.wolfram.com

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