Polinomios de Kravchuk

Polinomios de Kravchuk
información general
Fórmula	${\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_ {2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)$
producto escalar	$(f,g)=\sum \limits _{x=0}^{N}f(x)g(x)\sigma (x)$ .
Dominio	${\ estilo de visualización x \ en {1,2,... N}}$
características adicionales
Lleva el nombre de	Kravchuk, Mijaíl Filippovich

Los polinomios de Kravchuk ( M. F. Kravchuk , 1929 ) son polinomios ortogonales clásicos de variable discreta sobre una malla uniforme, para los cuales la relación de ortogonalidad no es una integral , sino una serie o una suma finita: . $\sum \limits _{x=0}^{N}k_{n}^{(p)}(x)k_{m}^{(p)}(x)\sigma (x)=d_ {n}^{2},\delta _{m,n}$

Aquí está la función de peso, es la norma cuadrática, . Para , la función de peso, hasta un factor constante, se reduce al coeficiente binomial . $\sigma (x)={\binom {N}{x}}p^{x}q^{Nx}$ ${\displaystyle d_{n}={\sqrt {{\binom {N}{n}}(pq)^{n))))$ $0<p<1,\quad 0<q<1,\quad p+q=1$ $p=q=1\left/2\right.$ $1\left/2^{N}\right.$

La relación de recurrencia de estos polinomios tiene la forma . $(n+1)k_{n+1}^{(p)}(x)+pq\left(N-n+1\right)k_{n-1}^{(p)}(x )={\bigl [}x+n(pq)-pN{\bigr ]}k_{n}^{(p)}(x)$

Por simples transformaciones, se puede reducir a la forma

$f_{n+1}{\frac {k_{n+1}^{(p)}(x)}{d_{n+1}}}+f_{n}{\frac {k_{n -1}^{(p)}(x)}{d_{n-1}}}=\left(rx+\varepsilon n+\Delta \right){\frac {k_{n}^{(p)}( x)}{d_{n}}}$ ,

dónde

$f_{n}={\sqrt {\frac {n(N+1-n)}{N))},\quad r={\frac {1}{\sqrt {pqN))},\ cuádruple \varepsilon =r(pq),\cuádruple \Delta =-rpN.$

Los polinomios de Kravchuk se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica gaussiana :

$k_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1} (-n,-x;-N;1/p)$

En el límite en , los polinomios de Kravchuk pasan a los polinomios de Hermite : $N\to\infty$

$\lim \limits _{N\to \infty }\left(2/Npq\right)^{n/2}n!;k_{n}^{(p)}\left(Np+{\sqrt {2Npq}},x\derecha)=H_{n}(x)$

Los primeros cuatro polinomios para el caso más simple son: ${\ estilo de visualización p = q = 1/2}$

${\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1$
${\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N$
${\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \elegir 2}$
${\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2 }-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \elegir 3}$

Literatura

Sobre una generalización de los polinomos de Hermite . M. Krawtchouk. CRAcad. ciencia 1929. T.189, No.17. P.620 - 622 - el artículo en el que se introdujeron por primera vez los polinomios de Kravchuk; el original en francés y las traducciones al inglés y al ruso están disponibles en el enlace.
A. F. Nikiforov, S. K. Suslov, V. B. Uvarov. Polinomios ortogonales clásicos de variable discreta. Moscú, Nauka, 1985.
Krawtchouk Polynomials Home Page es un sitio dedicado a los polinomios de Krawtchouk y contiene, en particular, una extensa bibliografía.

Véase también

polinomios ortogonales
Polinomios de Bessel Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Kravchuk Polinomios de Laguerre Polinomios de Legendre Polinomios de Polachek Polinomios de Rogers Polinomios de Zernike Polinomios de Chebyshev Polinomios de Charlier Polinomios de Hermite Polinomios de Jacobi