Radiación multipolar

La radiación multipolar es la radiación debida al cambio en el tiempo de los momentos multipolares del sistema. Se utiliza para describir la radiación electromagnética o gravitacional de una distribución variable en el tiempo (no estacionaria) de fuentes distantes. La descomposición multipolar se aplica a fenómenos físicos que ocurren a diferentes escalas, desde ondas gravitatorias debidas a la colisión de galaxias hasta radiación gamma debida a la desintegración radiactiva [1] [2] [3] . La radiación multipolar se analiza de forma similar a la utilizada para la expansión multipolar de campos de fuentes estacionarias. Sin embargo, existen diferencias importantes, ya que los campos de radiación multipolar se comportan de forma un tanto diferente a los campos de fuentes estacionarias. Este artículo se ocupa principalmente de la radiación multipolar electromagnética, aunque las ondas gravitacionales se tratan de manera similar.

Propiedades de la radiación multipolar

Linealidad de momentos

Dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales, el campo eléctrico y el campo magnético dependen linealmente de la distribución de la fuente. La linealidad permite calcular de forma independiente los campos de diferentes momentos multipolares y sumarlos para obtener el campo total del sistema. Este es el conocido principio de superposición .

Dependencia de momentos multipolares en el punto de referencia

Los momentos multipolares se calculan con respecto a un punto de referencia fijo, que se toma como el origen del sistema de coordenadas dado. El desplazamiento del origen cambia los momentos multipolares del sistema, excepto el primer momento distinto de cero. [4] [5] Por ejemplo, el momento monopolar de una carga es simplemente la magnitud de la carga total del sistema. Cambiar el punto de referencia nunca cambiará este momento. Si el momento monopolar es igual a cero, entonces el momento dipolar del sistema será invariante traslacionalmente. Si tanto el momento monopolar como el dipolar son iguales a cero, entonces el momento cuadripolar es invariante bajo desplazamiento, etc. Dado que los momentos de orden superior dependen de la posición del origen, no pueden considerarse propiedades invariantes del sistema.

Dependencia del campo en la distancia

El campo del momento multipolar depende tanto de la distancia desde el origen de coordenadas como de la orientación angular del punto considerado en relación con el sistema de coordenadas. [4] En particular, la dependencia radial del campo electromagnético del momento del campo estacionario es proporcional a [2] . Así, el campo eléctrico de un monopolo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. De manera similar , un momento dipolar eléctrico crea un campo que es inversamente proporcional al cubo de la distancia, y así sucesivamente. A medida que aumenta la distancia, la contribución de los momentos de alto orden se vuelve mucho menor que la contribución de los momentos de bajo orden. Por lo tanto, los momentos de alto orden se pueden omitir para facilitar los cálculos. ${\ estilo de visualización 2 ^ {\ ell}}$ $1/r^{\ell +2}$

La dependencia radial de las ondas de radiación multipolar difiere de los campos del caso estacionario, ya que estas ondas alejan la energía del sistema. Dado que la energía debe conservarse, un análisis geométrico simple muestra que la densidad de energía de una radiación esférica de radio debe ser proporcional a . A medida que la onda esférica se expande, su energía fija debe distribuirse sobre una esfera con área de superficie . En consecuencia, cada momento multipolar dependiente del tiempo debe contribuir a la densidad de energía radiada en proporción a , independientemente del orden del momento. En consecuencia, los momentos de alto orden no se pueden descartar tan fácilmente como en el caso estacionario. Sin embargo, incluso en este caso, los coeficientes multipolares del sistema generalmente disminuyen con un orden creciente, generalmente en proporción a , por lo que los campos radiados aún pueden aproximarse descartando los momentos de alto orden [5] . $r$ ${\ estilo de visualización 1/r^{2}}$ $4\pi r^{2}$ ${\ estilo de visualización 1/r^{2}}$ $1/(2\ell +1)!!$

Campos electromagnéticos dependientes del tiempo

Fuentes

Las distribuciones de fuentes dependientes del tiempo se pueden expresar mediante el análisis de Fourier . Esto permite analizar diferentes frecuencias independientemente unas de otras.

La densidad de carga viene dada por

\rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

y densidad de corriente

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

Por conveniencia, a partir de este momento, consideramos una sola frecuencia angular ; de este modo $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

El principio de superposición se puede aplicar para generalizar los resultados a varias frecuencias [5] .

Las cantidades vectoriales están en negrita. La convención estándar de tomar la parte real de un número complejo se usa para expresar cantidades físicas.

El momento angular intrínseco de las partículas elementales (ver Spin ) puede influir en la radiación electromagnética de las fuentes. Para tener en cuenta estos efectos, se introduce en consideración la magnetización interna del sistema . Sin embargo, por conveniencia, la consideración de estos efectos se postergará hasta la discusión de la radiación multipolar generalizada. ${\ estilo de visualización \ mathbf {M} (\ mathbf {x}, t)}$

Potenciales

Las distribuciones de fuentes se pueden integrar para obtener un potencial eléctrico φ y un potencial magnético A dependientes del tiempo . Las fórmulas se expresan teniendo en cuenta el calibre de Lorentz en unidades SI [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-( t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

En estas fórmulas , c es la velocidad de la luz en el vacío, es la función delta de Dirac y es la distancia euclidiana desde el punto de partida de la fuente x′ hasta el punto considerado x . $\delta$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

La integración de las distribuciones de fuentes dependientes del tiempo da

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

donde k = ω/ c . Estas fórmulas sirven como base para el análisis de la radiación multipolar.

Expansión multipolar a pequeñas distancias de la fuente

Las distancias pequeñas son una región del espacio cerca de la fuente en la que el campo electromagnético puede considerarse casi estacionario. Si la distancia al punto considerado desde la fuente es mucho menor que la longitud de onda de la radiación , entonces . Como resultado, el exponente se puede aproximar en esta región de la siguiente manera (ver serie de Taylor ): ${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2))$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 2 \ pi / k}$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

En esta aproximación, la dependencia x ′ restante es la misma que para el sistema estacionario, y se aplica el mismo análisis [4] [5] . De hecho, los potenciales en un momento dado a pequeñas distancias de la fuente se pueden calcular simplemente tomando una instantánea del sistema y tratándolo como si fuera estacionario. Por lo tanto, este caso se llama cuasi-estacionario [5] . En particular, la distancia recíproca se expande usando funciones esféricas , que se integran independientemente para obtener coeficientes multipolares esféricos (ver expansión multipolar ). ${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))$

Expansión multipolar a grandes distancias de la fuente: radiación multipolar

A grandes distancias de la fuente de alta frecuencia, tienen lugar las siguientes aproximaciones: ${\ estilo de visualización \ lambda \ ll r}$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Dado que a grandes distancias de la fuente solo los términos de primer orden son significativos, la expansión esencialmente se reduce a: ${\ estilo de visualización 1/r}$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _ {2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Cada grado corresponde a un momento multipolar diferente. A continuación se muestran los primeros puntos. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

La radiación de un monopolo eléctrico, la imposibilidad de existencia

El término de orden cero, , en relación con el potencial escalar da: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _ {2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{monopolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

donde la carga total del sistema es un monopolo eléctrico que oscila a la frecuencia ω. La ley de conservación de la carga eléctrica exige que $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q=0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Si el sistema es cerrado, entonces la magnitud de la carga no puede fluctuar, lo que significa que la amplitud de oscilación q debe ser igual a cero. Por lo tanto, . Los campos correspondientes y la potencia de radiación también deben ser iguales a cero [5] . $\phi _{\text{monopolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Radiación de dipolo eléctrico

Potencial dipolar eléctrico

La radiación de un dipolo eléctrico puede obtenerse considerando el término de orden cero, , aplicado al vector potencial [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _ {2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

La integración por partes da [7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

Y la ecuación de continuidad de carga muestra

{\frac {\parcial \rho (\mathbf {x},t)}{\parcial t))+\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x},t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

De ahí se sigue que

\mathbf {A} _{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ fracción {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Se pueden obtener resultados similares considerando el término de primer orden, , aplicado al potencial escalar. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _ {2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

La magnitud de la amplitud del momento dipolar eléctrico del sistema.

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Esto nos permite expresar los potenciales como

\phi _{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ fracción {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Campos dipolares eléctricos

Una vez que se encuentran los potenciales dependientes del tiempo, el campo eléctrico y el campo magnético dependientes del tiempo se pueden calcular de la manera habitual. A saber,

\mathbf {E} (\mathbf {x},t)=-\mathbf {\nabla} \phi (\mathbf {x},t)-{\frac {\parcial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\t parcial))

\mathbf {B} (\mathbf {x},t)=\mathbf {\nabla} \times \mathbf {A} (\mathbf {x},t)

o, en una región del espacio libre de fuentes, la relación entre el campo magnético y el campo eléctrico se puede usar para obtener

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

donde es la impedancia de onda del vacío . ${\ Displaystyle Z_ {0} = {\ sqrt {\ mu _ {0}/\ epsilon _ {0}}}}$

Campos eléctricos y magnéticos que corresponden a los potenciales anteriores:

\mathbf {H} _{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ veces \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E}_{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H}_{\text{dipolo eléctrico}}\times \mathbf {n} )

que corresponde a las ondas de radiación esférica [5] .

Potencia de radiación de un dipolo eléctrico

Densidad de flujo de energía utilizando el vector de Poynting . De ello se deduce que la densidad de flujo de energía promediada en el tiempo por unidad de ángulo sólido está determinada por $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \veces \mathbf {H} )

El producto escalar con da la magnitud de la radiación, y el factor 1/2 se obtiene del promedio temporal. Como se explicó anteriormente, elimina la dependencia radial de la densidad de energía radiada. Aplicado al dipolo eléctrico, obtenemos $\matemáticas {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

donde θ se mide en relación con [5] . $\mathbf{d}$

La integración sobre la esfera da la potencia de radiación total:

I_{\text{dipolo eléctrico}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Radiación de dipolo magnético

Potencial de dipolo magnético

El término de primer orden, , en relación al vector potencial da la radiación de un dipolo magnético o la radiación de un cuadrupolo eléctrico [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _ {2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{dipolo magnético / cuadrupolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

El integrando se puede dividir en partes simétricas y antisimétricas sobre n y x ′

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2))\left((\mathbf {n } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n}

El segundo término contiene la magnetización efectiva debida a la corriente y la integración da el momento dipolar magnético. $\mathbf {M}_{\text{efectivo}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M}_{\text{efectivo))(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{dipolo magnético}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Tenga en cuenta que tiene una apariencia similar . Esto significa que el campo magnético creado por un dipolo magnético se comporta de manera similar al campo eléctrico de un dipolo eléctrico. De manera similar, el campo eléctrico de un dipolo magnético es similar al campo magnético de un dipolo eléctrico. $\mathbf {A} _{\text{dipolo magnético))$ $\mathbf {H}_{\text{dipolo eléctrico))$

Realizando transformaciones

\mathbf {E}_{\text{dipolo eléctrico}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H}_{\text{dipolo magnético}}

\mathbf {H}_{\text{dipolo eléctrico}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E}_{\text{dipolo magnético}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

en cálculos anteriores da resultados para un dipolo magnético [5] .

Campos dipolares magnéticos

\mathbf {E} _{\text{dipolo magnético}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H}_{\text{dipolo magnético}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E}_{\ texto{dipolo magnético}}\times \mathbf {n} )

[5]

Potencia de radiación de un dipolo magnético

La densidad de flujo de energía de radiación del dipolo magnético promediada en el tiempo por unidad de ángulo sólido está determinada por

{\frac {dI_{\text{dipolo magnético}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin^{2}\theta

donde θ se mide por el dipolo magnético relativo . ${\mathbf {m))$

Potencia de radiación total [5] :

I_{\text{dipolo magnético}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Radiación cuadripolar eléctrica

Potencial de cuadrupolo eléctrico

La parte simétrica del integrando del apartado anterior se puede prointegrar aplicando la integración por partes y la ecuación de continuidad de carga , como ya se ha hecho para la radiación del dipolo eléctrico.

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{cuadrupolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ fracción {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Introduzcamos el tensor de momento cuadripolar eléctrico sin trazas . La restricción del segundo índice al vector normal nos permite expresar el vector potencial como [5] $D_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _ {2}^{2}\delta_{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ ${\displaystyle [D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }D_{\alpha \beta }n_{\beta ))$

\mathbf {A} _{\text{dipolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ fracción {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Campos de cuadripolos eléctricos

Campos magnéticos y eléctricos resultantes [5] :

\mathbf {H} _{\text{cuadrupolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E}_{\text{cuadrupolo eléctrico}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H}_{\text{cuadrupolo eléctrico}}\times \mathbf {n} )

Potencia de radiación de un cuadrupolo eléctrico

La densidad de flujo de energía promediada en el tiempo de la radiación de un cuadrupolo eléctrico por unidad de ángulo sólido está determinada por

{\frac {dI_{\text{cuadrupolo eléctrico}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Potencia de radiación total [5] :

I_{\text{cuadrupolo eléctrico}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alfa \beta }^{2}

Radiación multipolar generalizada

A medida que aumenta el momento multipolar del sistema de cargas distribuidas, los cálculos directos utilizados hasta ahora se vuelven demasiado engorrosos. El análisis de momentos superiores requiere un enfoque teórico más general. Como antes, consideramos solo una frecuencia . Por lo tanto, las densidades de carga, corriente y magnetización interna están determinadas por $\omega$

{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

respectivamente.

Los campos eléctricos y magnéticos resultantes comparten la misma dependencia temporal que las fuentes.

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t))

El uso de estas definiciones y ecuaciones de continuidad nos permite escribir las ecuaciones de Maxwell en la forma:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf{x})

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0))}\mathbf {E} (\mathbf {x} ) +\mathbf{J} (\mathbf{x})

Estas ecuaciones se pueden combinar aplicando un rotacional a las últimas ecuaciones y aplicando la identidad . Esto da las formas vectoriales de la ecuación de Helmholtz no homogénea : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\ matemáticasbf {\nabla} ^{2}\mathbf{V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\Correcto]

Soluciones de ecuaciones de onda

Las ecuaciones de onda homogéneas que describen la radiación electromagnética con una frecuencia en una región sin fuentes tienen la forma: $\omega$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

La función de onda se puede representar como la suma de armónicos esféricos vectoriales $\mathbf {\Psi} (\mathbf {x})$

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2 )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

donde son armónicos esféricos vectoriales normalizados y son funciones esféricas de Hankel (ver funciones de Bessel ). Un operador diferencial es un operador de momento angular con la propiedad . Los coeficientes y corresponden a ondas en expansión y contracción, respectivamente. Así, en el caso de la radiación . Para determinar los coeficientes restantes se utiliza la función de Green . Si la ecuación fuente $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(1)))$ ${\displaystyle h_{\ell }^{(2)))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ ${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)))$ ${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

entonces solución:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum_{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

La función de Green se puede expresar en términos de armónicos esféricos vectoriales:

G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Nótese que es un operador diferencial que actúa sobre la función fuente . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)))$ ${\mathbf{V}}$

Entonces la solución a la ecuación de onda es:

\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X}_{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Campos eléctricos multipolares

Aplicando la solución obtenida anteriormente a la ecuación de onda multipolar eléctrica

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\Correcto]

obtenemos la solución para el campo magnético [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X}_{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\derecho]

Campo eléctrico:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf{x})

La fórmula se puede simplificar aplicando las identidades

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\parcial {r\parcial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf { X))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla} s(\mathbf {x} )=0

al integrando, lo que da [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\parcial {r'\parcial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

El teorema de Green y la integración por partes llevan la fórmula a

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\parcial }{\parcial r'}}(r'j_{\ell }(kr' ))

la función esférica de Bessel también se puede simplificar si asumimos que la longitud de onda de la radiación es mucho mayor que las dimensiones de la fuente, que es el caso de la mayoría de las antenas $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Descartando todos los términos, excepto los términos de los órdenes más pequeños, obtenemos una forma simplificada de coeficientes multipolares eléctricos [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

${\displaystyle Q_{\ell m))$ es el mismo momento multipolar que en el caso estacionario si se aplicara a una distribución de carga estacionaria , mientras que corresponde al momento multipolar eléctrico inducido por la magnetización intrínseca de las fuentes originales. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Campos magnéticos multipolares

Aplicando la solución obtenida anteriormente a la ecuación de onda multipolar magnética

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} ) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

obtenemos la solución para el campo eléctrico [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X}_{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Un campo magnético:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0))}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Como antes, la fórmula se simplifica:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\parcial }{\parcial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Descartando todos los términos, excepto los términos de los órdenes más pequeños, obtenemos una forma simplificada de los coeficientes multipolares magnéticos [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

${\displaystyle M_{\ell m))$ es el momento multipolar magnético de la magnetización efectiva , y corresponde a la magnetización intrínseca . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {M} (\ mathbf {x})}$

Solución general

Los campos eléctrico y magnético se combinan para dar los campos finales [5] :

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X}_{\ell m}(\theta ,\phi )+ {\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum_{\ell =0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X}_{\ell m}(\theta ,\phi )- {\frac {i}{kZ_{0))}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

Tenga en cuenta que la función radial se puede simplificar para grandes distancias . $h_{\ell }^{(1)}(kr)$ ${\ estilo de visualización 1/r\ll 1}$

h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^ {2})

Así, se restablece la dependencia radial de la radiación.

Véase también

Notas

↑ Hartle, James B. Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .
↑ 12 Rose, ME Campos multipolares . — John Wiley & Sons , 1955. Archivado el 24 de junio de 2021 en Wayback Machine .
↑ Blatt, John M. Física nuclear teórica - Séptima edición / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. - John Wiley & Sons , 1963. - ISBN 0-471-30932-X . Archivado el 24 de junio de 2021 en Wayback Machine .
↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Teoría multipolar en electromagnetismo / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. - Oxford University Press , 2004. - ISBN 978-0-19-856727-1 . Archivado el 24 de junio de 2021 en Wayback Machine .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Electrodinámica clásica - Tercera edición . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .
↑ 1 2 Hafner, cristiano. La Técnica Multipolar Generalizada para Electromagnetismo Computacional . - Casa Artech , 1990. - ISBN 0-89006-429-6 . Archivado el 24 de junio de 2021 en Wayback Machine .
↑ Robert G. Brown. Cálculo Vectorial: Integración por Partes . Electrodinámica clásica: Parte II (28 de diciembre de 2007). Consultado el 19 de junio de 2021. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)