Espacio vectorial topológico

El espacio vectorial topológico , o espacio lineal topológico , es un espacio vectorial dotado de una topología , respecto del cual las operaciones de suma y multiplicación por un número son continuas . El término se utiliza principalmente en el análisis funcional [1] .

Definición

Un conjunto se llama espacio vectorial topológico si [2] [1] $mi$

$mi$ es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales o complejos ;
$mi$ es un espacio topológico ;
Las operaciones de suma y multiplicación por un número son continuas con respecto a la topología dada, es decir $mi$
1. si , entonces para cada vecindad del punto se pueden especificar tales vecindades y puntos y , respectivamente, que para , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $tu$ $z_{0}$ $V$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\en U$ $x \en V$ $y \ en W$
2. si , entonces para cada vecindad del punto existe una vecindad del punto y un número tal que para y . $z_{0}=\alfa _{0}x_{0}$ $tu$ $z_{0}$ $V$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\alfa x\en U$ $|\alfa -\alfa _{0}|<\varepsilon$ $x \en V$

Ejemplos

Tipos de espacios topológicos lineales

Dependiendo de las aplicaciones específicas, se suelen imponer algunas condiciones adicionales a los espacios topológicos lineales. A continuación se enumeran algunos tipos de espacios topológicos lineales, ordenados (con cierto grado de convención) por la presencia de propiedades "buenas".

Espacios vectoriales topológicos localmente convexos (simplemente "espacios localmente convexos" para abreviar): en tales espacios, cada punto tiene una base local que consta de conjuntos convexos . Usando los llamados funcionales de Minkowski, se puede demostrar que un espacio vectorial topológico es localmente convexo si y solo si su topología se define usando una familia de seminormas . La condición de convexidad local ha sido durante mucho tiempo precisamente el concepto sobre la base del cual se puede construir una teoría rica en aplicaciones, porque los espacios que no son localmente convexos pueden tener varias propiedades patológicas y su geometría puede ser demasiado "antinatural" para las aplicaciones. . Sin embargo, en la actualidad, la teoría de los espacios acotados localmente (generalmente no convexos) ha comenzado a desarrollarse activamente.
Espacios en forma de barril : espacios localmente convexos donde se cumple el principio de acotación uniforme .
Espacios estereotipados : espacios localmente convexos que satisfacen la condición de reflexividad , en los que el espacio dual está dotado de la topología de convergencia uniforme sobre conjuntos totalmente acotados.
Espacios de Montel : espacios en forma de barril que tienen la propiedad de Heine-Borel .
Espacios bornológicos : espacios localmente convexos en los que los operadores lineales continuos con valores en espacios localmente convexos son operadores lineales exactamente acotados.
Espacios LF : el espacio LF es el límite inductivo de los espacios de Fréchet. Los espacios ILH son límites proyectivos de los espacios de Hilbert.
Espacios F : espacios vectoriales topológicos completos con métrica invariante (bajo cambios). En particular, todos los espacios L p (p > 0) son tales.
Espacios de Fréchet : espacios localmente convexos cuya topología viene dada por alguna métrica invariante por desplazamiento o, de manera equivalente, por una familia contable de seminormas. El concepto de espacio de Fréchet es una de las generalizaciones más importantes del concepto de espacio de Banach. Muchos espacios funcionales de interés son espacios de Fréchet. Un espacio de Fréchet también se puede definir como un espacio F localmente convexo.
Espacios nucleares : un importante caso especial de los espacios de Fréchet; en espacios nucleares, todo mapeo acotado con valores en un espacio de Banach arbitrario es un operador nuclear . Los espacios nucleares, junto con los espacios de Banach, son los espacios de Frechet de mayor interés. En este caso, las clases de espacios nucleares y de Banach en la intersección forman una clase de espacios de dimensión finita.
Espacios normados : espacios localmente convexos cuya topología viene dada por una norma . Los operadores lineales que actúan sobre espacios normados son continuos si y solo si están acotados.
Espacios de Banach : espacios normados completos. Son objeto de estudio del análisis funcional clásico; la mayoría de los teoremas de análisis están formulados precisamente para espacios de Banach.
Espacios de Banach reflexivos : espacios de Banach naturalmente isomorfos a su segunda conjugación .
Espacios de Hilbert : Espacios de Banach cuya norma es generada por un producto interior ; a pesar de que estos espacios pueden ser de dimensión infinita, sus propiedades geométricas son muy parecidas a las de los espacios de dimensión finita.
Espacios euclidianos : espacios de Hilbert de dimensión finita. Cada espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente compacto es isomorfo (como un espacio vectorial topológico) a algún espacio euclidiano.

Notas

↑ 1 2 Espacio vectorial topológico // Diccionario enciclopédico matemático / cap. edición Yu. V. Prokhorov . - M., Enciclopedia soviética , 1988. - p. 582
↑ Kerin S. G. Análisis funcional. - M., Nauka , 1972. - pág. 19-21

Literatura

Shefer H. Espacios vectoriales topológicos. — M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Espacios vectoriales topológicos. — M.: Ed. extranjero iluminado, 1965.
Robertson A., Robertson V. Espacios vectoriales topológicos. — M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. Análisis sobre espacios lineales topológicos y sus aplicaciones : libro de texto. tolerancia. - M .: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1979. - 86 p.