Dados no transitivos

Un juego de dados es no transitivo si consta de tres dados A , B y C para los cuales el resultado de lanzar el dado A es más del 50% mayor que el resultado de lanzar el dado B , el resultado de lanzar el dado B es más de 50% mayor que el resultado de lanzar el dado C , sin embargo, la afirmación de que el resultado de lanzar el dado A es más del 50% más probable que el resultado de lanzar el dado C es falsa. Es decir, un conjunto de dados es no transitivo si para él la relación binaria "sacar un número mayor con una probabilidad mayor al 50%" no es transitiva .

Hay juegos de dados con una propiedad más pronunciada, en los que por cada dado hay otro, al lanzarlos con una probabilidad superior al 50% se obtendrá un número mayor.

Ejemplo

Un ejemplo de huesos no transitivos es el siguiente conjunto:

Para este conjunto, la probabilidad de que al lanzar A se obtenga un número mayor que al lanzar B ; la probabilidad de que al lanzar B se obtenga un número mayor que al lanzar C ; y también la probabilidad de que al tirar C salga un número mayor que al tirar A , son iguales e iguales a 5/9, es decir, este conjunto no es transitivo.

El uso de dados no transitivos afecta el resultado del juego con las siguientes reglas:

  1. El primer jugador elige un dado del conjunto.
  2. El segundo jugador elige uno de los dados que quedan en el conjunto después de la elección del primer jugador.
  3. Ambos jugadores tiran sus dados; el jugador con el número más alto gana.

Al usar dados transitivos, la ventaja en el juego es el primer jugador que puede elegir un dado, cuyo resultado, con una probabilidad de al menos el 50%, será mayor que el resultado de lanzar cualquier otro dado del conjunto. En el caso de utilizar el conjunto de dados no transitivos dado anteriormente, la ventaja se le da al segundo jugador, quien, independientemente de la elección del primer jugador, puede elegir entre los dados restantes uno cuyo tiro tenga una probabilidad de 5/ 9 superará el resultado del primer jugador.

Variantes de dados no transitivos

Los huesos de Efron

Los dados de Efron son un conjunto de cuatro dados no transitivos inventados por Bradley Efron .

Cuatro huesos A, B, C, D tienen los siguientes números en sus caras:

Probabilidades

El resultado de lanzar cada uno de los dados del conjunto es mayor que el resultado de lanzar el siguiente dado con una probabilidad de 2/3:

El resultado de lanzar el dado B está predeterminado; el hueso A superará este resultado en 2/3 de los casos, ya que los números en cuatro de sus seis caras son mayores.

De manera similar, el hueso B superará al C con una probabilidad de 2/3, ya que C solo tiene números grandes en dos de sus caras.

P(C>D) según los resultados de compilar las probabilidades condicionales de dos eventos:

  • Tirar C da como resultado un 6 (probabilidad 1/3); C da un resultado mayor, independientemente del resultado de tirar D (probabilidad 1)
  • Tirar C da como resultado un 2 (probabilidad 2/3); C da un resultado mayor, excepto por sacar un 5 al tirar D (probabilidad 1/2)

La probabilidad total de ganar C es así:

De manera similar, la probabilidad de ganar una tirada de D contra una tirada de A es:

Mejor Hueso

Los cuatro dados del juego de Efron, sin embargo, tienen diferentes probabilidades de ganar contra un dado seleccionado al azar de los tres restantes.

Según los cálculos, una tirada más alta del dado A da un resultado más alto de tirada B en dos tercios de los casos, pero solo puede ganar D en uno de cada tres casos. La probabilidad de obtener un mejor resultado al lanzar A que al lanzar C es 4/9 (A debe sacar un 4 y C debe sacar un 2). Por lo tanto, la probabilidad global de obtener un número mayor al lanzar A que al lanzar otro dado, elegido al azar:

De manera similar, B vence a C con una probabilidad de 2/3 y puede vencer a A 1/3 de las veces. La probabilidad de sacar un dado B es mayor que la de un dado D es 1/2 (probabilidad de sacar un 1 en un dado D). Por lo tanto, la probabilidad de ganar B sobre otro hueso del conjunto:

El dado C le gana a D dos tercios de las veces y tiene 1/3 de posibilidades de ganar contra el dado B. Tiene 5/9 de posibilidades de ganar contra el dado A. La probabilidad acumulada de que C gane a un "rival" elegido al azar es:

Finalmente, D gana 2/3 de las veces a A y 1/3 de las veces C. Hay una probabilidad de 1/2 de que la tirada de este dado supere a la de B (probabilidad de sacar un 5 en D). Por lo tanto, D dará un resultado mayor que el de un dado seleccionado al azar con una probabilidad de:

Por lo tanto, el dado C es el mejor del conjunto en términos de probabilidad de obtener un número mayor que el resultado de lanzar cualquier otro dado del conjunto. Para ella, esta probabilidad es 0.5185. El dado C también se caracteriza por la expectativa matemática más alta del resultado del lanzamiento: 3 1 ⁄ 3+ (para A es 2 2 ⁄ 3+ , y para B y D es 3).

Variantes con las mismas sumas de números

Como se señaló anteriormente, los dados de Efron se caracterizan por diferentes expectativas matemáticas de los resultados del lanzamiento, es decir, de hecho, por diferentes sumas de números trazados en sus caras. Para A, esta suma es 16, mientras que para B y D es 18, y para C es 20. Dado que la no transitividad de un juego de dados depende del valor relativo de los números en sus caras, y no de su valor absoluto, uno puede elegir tales variantes de números para las cuales con las mismas probabilidades de ganar al lanzar, la suma de números en las caras de los dados (así como la expectativa matemática de los resultados de su lanzamiento) será la misma. Ejemplos de tales opciones son:

  • R: 6, 6, 6, 6, 0, 0
  • B: 4, 4, 4, 4, 4, 4
  • C: 8, 8, 2, 2, 2, 2
  • D: 7, 7, 7, 1, 1, 1

o

  • R: 7, 7, 7, 7, 1, 1
  • B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
  • do: 9, 9, 3, 3, 3, 3
  • D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Estas variantes de los dados ilustran la importancia de las características de la distribución de probabilidad a la hora de comparar variables aleatorias , ya que son ejemplos de conjuntos de variables que tienen las mismas expectativas matemáticas, pero difieren significativamente en los resultados del "juego" que las utiliza.

Dados con números del 1 al 24

Un conjunto de cuatro dados, en cuyas caras se encuentran todos los números enteros del 1 al 24, puede ser no transitivo. Además, en cada par de dados contiguos, lanzar uno de ellos da un resultado mayor que el resultado de lanzar el otro, con una probabilidad cercana a los 2/3.

En un juego de números altos, es más probable que B le gane a A, C le gane a B, D le gane a C y A le gane a D.

  • A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
  • B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
  • C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
  • D: 10, 11, 12, 13, 14, 15
Relación con los huesos de Efron

Los dados con números del 1 al 24 son esencialmente análogos a los dados de Efron, ya que desde el punto de vista del resultado relativo de lanzar un par de dados sobre cada uno de ellos, cada uno de los números consecutivos puede ser reemplazado por el más pequeño entre ellos. Si, después de dicho reemplazo, los números que quedaron en todos los huesos se clasifican y cambian al rango apropiado (de 0 a 6), se obtendrán los huesos de Efron.

  • A: 1, 2, 16, 17, 18, 19 -> 1, 1, 16, 16, 16, 16 -> 0, 0, 4, 4, 4, 4
  • B: 3, 4, 5, 20, 21, 22 -> 3, 3, 3, 20, 20, 20 -> 1, 1, 1, 5, 5, 5
  • C: 6, 7, 8, 9, 23, 24 -> 6, 6, 6, 6, 23, 23 -> 2, 2, 2, 2, 6, 6
  • D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 -> 10, 10, 10, 10, 10, 10 -> 3, 3, 3, 3, 3, 3

Huesos de Miwin

Los huesos Miwin fueron inventados en 1975 por el físico alemán Michael Winkelmann y  obtuvieron su nombre de una abreviatura de su nombre y apellido. Las sumas de los números en los lados opuestos de cada dado son 9, 10 y 11. En consecuencia, la puntuación total en cada dado es 30.

El primer juego de dados Miwin consta de tres dados: III, IV y V (nombrados por la suma de los dos números más pequeños de cada uno):

  • Hueso III con números en las caras: 1, 2, 5, 6, 7, 9
  • Hueso IV con números en las caras: 1, 3, 4, 5, 8, 9
  • Hueso V con números en las caras: 2, 3, 4, 6, 7, 8

Donde:

  • la probabilidad de que el dado III al lanzarlo dé un número mayor que IV es 17/36
  • la probabilidad de que el dado IV al lanzarlo dé un número mayor que V es 17/36
  • la probabilidad de que el dado V al lanzarlo dé un número mayor que III es 17/36

Hay tres juegos más de dados Miwin con diferentes combinaciones de números.

Un conjunto con diferencias mínimas de los dados estándar

El siguiente conjunto de dados no transitivos tiene solo pequeñas diferencias con los dados estándar con números del 1 al 6:

  • como dados estándar, la suma de los números en todas las caras es 21
  • como dados estándar, solo se usan números del 1 al 6
  • las caras con el mismo número en cada uno de los huesos aparecen no más de dos veces
  • solo dos caras tienen números distintos a los dados estándar:
    • R: 1, 1 , 3, 5, 5 , 6
    • segundo: 2, 3, 3 , 4, 4 , 5
    • do: 1, 2, 2 , 4, 6, 6

Similar a los dados de Miwin, la probabilidad de "ganar" la ficha A contra B (o B contra C, C contra A) es 17/36. Al mismo tiempo, la probabilidad de empate es 4/36, por lo que perder es posible solo 15 veces de 36.

Dodecaedros no transitivos

Al igual que los dados de seis caras no transitivos (dados), hay conjuntos de dodecaedros , dados dodecaédricos, que también están conectados por relaciones no transitivas con respecto a tirar un número mayor.

Los dodecaedros no transitivos de juegos más famosos también están escritos por Michael Winckelmann y tienen las siguientes características:

  • La suma de los números de todas las caras de cada dodecaedro es 114.
  • Los números en las caras de cada dodecaedro en particular son únicos (no se repiten).
  • Las probabilidades de que cada uno de los dodecaedros de Miwin gane en un juego de mayor número contra el siguiente dodecaedro del conjunto son de 35:34 para el primer conjunto y de 71:67 ​​para el segundo conjunto.
DIII una 2 5 6 7 9 diez once catorce quince dieciséis Dieciocho
D IV una 3 cuatro 5 ocho 9 diez 12 13 catorce 17 Dieciocho
VD 2 3 cuatro 6 7 ocho once 12 13 quince dieciséis 17
D VI una 2 3 cuatro 9 diez once 12 13 catorce 17 Dieciocho
D VI una 2 5 6 7 ocho 9 diez quince dieciséis 17 Dieciocho
VIII 3 cuatro 5 6 7 ocho once 12 13 catorce quince dieciséis

Dodecaedros no transitivos con números primos

Hay conjuntos no transitivos de dodecaedros, en cada uno de los cuales los números no se repiten y son primos . Las posibilidades de que cada dodecaedro de los conjuntos Miwin no transitivos gane en un juego de números más altos contra el siguiente dodecaedro del conjunto son 35:34.

Conjunto 1: La suma de los números es 564.

Conjunto 2: La suma de los números es 468.

DP 1 7 once 19 23 29 37 43 47 53 61 67 71
PD2 7 13 17 19 31 37 41 43 59 61 67 73
PD 3 once 13 17 23 29 31 41 47 53 59 71 73

Huesos meta-transitivos (meta-huesos)

Tres o más conjuntos de huesos, en cada uno de los cuales los huesos forman su propio círculo no transitivo, y las relaciones entre los mismos conjuntos tampoco son transitivas. Un ejemplo son los huesos metatransitivos [1] de AV Lebedeva [2] .

Véase también

Enlaces

Notas

  1. ↑ Metanettransitive Dice Archivado el 20 de julio de 2021 en Wayback Machine .
  2. ↑ Lebedev Alexey Viktorovich Copia archivada del 19 de julio de 2021 en Wayback Machine