Superficie implícita

Una superficie implícita es una superficie en el espacio euclidiano definida por la ecuación

{\ estilo de visualización F (x, y, z) = 0.}

La superficie implícita es el conjunto de ceros de una función de tres variables. El término implícito aquí significa que la ecuación no se resuelve para ninguna de las variables, x , y o z .

La gráfica de una función generalmente se describe mediante una ecuación y tal representación se llama explícita . La tercera forma importante de describir una superficie es la representación paramétrica , donde las coordenadas x , y , yz de los puntos de la superficie están representadas por tres funciones dependiendo de los parámetros generales . Por lo general, cambiar la representación de una superficie se realiza simplemente si se proporciona una representación explícita . Entonces las otras dos representaciones serán (implícita) y (paramétrica). $z=f(x,y)$ ${\ estilo de visualización (x (s, t), y (s, t), z (s, t))}$ ${\ estilo de visualización x (s, t) \,, y (s, t) \,, z (s, t)}$ ${\ estilo de visualización s, t}$ $z=f(x,y)$ ${\ estilo de visualización zf (x, y) = 0}$ ${\ estilo de visualización (s, t, f (s, t))}$

Ejemplos :

plano ${\ estilo de visualización x+2y-3z+1=0.}$
esfera ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.}$
toro ${\ estilo de visualización (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2} +y^{2})=0.}$
Superficie de género 2 : (ver figura). $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2 }-1)(1-z^{2})=0$
La superficie de revolución (ver cuadro de vidrio ). $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0{,}02=0$

Hay una representación paramétrica simple para el plano, la esfera y el toro, que no es cierta para el cuarto ejemplo.

El teorema de la función implícita describe las condiciones bajo las cuales se puede resolver una ecuación (al menos implícitamente) para x , y o z . Pero en el caso general, puede que no exista una solución explícita. Este teorema es la clave para calcular propiedades geométricas importantes de una superficie, como planos tangentes , superficies normales , curvaturas (ver más abajo). Sin embargo, estas superficies tienen un inconveniente importante: su visualización es difícil. $F(x,y,z)=0$

Si es un polinomio en x , y , yz , se dice que la superficie es algebraica . El ejemplo 5 no es una superficie algebraica. $F(x,y,z)$

A pesar de la dificultad de visualización, las superficies implícitas proporcionan técnicas relativamente simples para su generación teórica (p. ej . , superficie de Steiner ) y superficies de interés para fines prácticos (ver más abajo).

Fórmulas

Bajo las siguientes convenciones, la superficie implícita está representada por la ecuación , donde la función satisface las condiciones de diferenciabilidad necesarias. A continuación denotaremos las derivadas parciales de la función como . $F(x,y,z)=0$ $F$ $F$ $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$

Plano tangente y vector normal

Se dice que un punto en la superficie es regular si y solo si el gradiente de la función en el punto no es igual al vector nulo , lo que significa ${\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $F$ ${\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $(0,0,0)$

{\ estilo de visualización (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}

Si un punto en la superficie no es regular, se llama singular (también se usa el término punto singular ). ${\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

Ecuación del plano tangente en un punto regular $(x_{0},y_{0},z_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0 })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

y la ecuación vectorial normal

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

Curvatura normal

Para facilitar las fórmulas, se omiten los argumentos de la siguiente fórmula. Después $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grado} F\|}}

es la curvatura normal de la superficie en un punto regular para un vector de dirección unitaria tangente . es la hessiana de la función (matriz de segundas derivadas). ${\ estilo de visualización \ mathbf {v}}$ ${\ estilo de visualización H_ {F}}$ $F$

La prueba de esta fórmula se basa (como en el caso de una curva implícita) en el teorema de la función implícita y la fórmula para la curvatura normal de una superficie paramétrica .

Aplicaciones de superficies implícitas

Como en el caso de las curvas implícitas, es fácil crear superficies implícitas de la forma deseada usando operaciones algebraicas (suma, multiplicación) de primitivas simples.

Superficie equipotencial de dos cargas puntuales

Una carga puntual en un punto forma un potencial en un punto (se omiten las constantes físicas) $q_{yo}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {p} _ {i} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

La superficie equipotencial para el valor potencial es una superficie implícita , que es una esfera centrada en un punto . $C$ $F_{i}(x,y,z)-c=0$ ${\mathbf p}_{i}$

El potencial de las cargas de cuatro puntos se calcula mediante la fórmula

F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p}_{1}\|}}+{\frac {q_{ 2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _ {3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.

En la figura, cuatro cargas tienen magnitud 1 y están ubicadas en los puntos . La superficie que se muestra es una superficie equipotencial (superficie implícita) . ${\ estilo de visualización (\ pm 1, \ pm 1,0)}$ $F(x,y,z)-2{,}8=0$

La superficie del producto constante de distancias

Un óvalo de Cassini se puede definir como un conjunto de puntos para los que el producto de las distancias desde dos puntos dados es constante (a diferencia de una elipse, para la que la suma de las distancias es constante). De manera similar, las superficies implícitas se pueden definir como un producto constante de distancias desde algunos puntos fijos.

En la figura de la metamorfosis , la superficie superior izquierda se forma de acuerdo con esta regla. Esta superficie es la superficie de nivel de la función , donde $F(x,y,z)-1{,}1=0$

{\begin{alineado}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2 ))}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2))}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+( y-1)^{2}+z^{2))}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2))}{\Grande)} \end{alineado}}

Metamorfosis de superficies implícitas

Otro método simple para crear nuevas superficies implícitas se llama metamorfosis de superficie implícita :

Para dos superficies implícitas (en la figura, esta es la superficie del producto constante de distancias y el toro), se definen nuevas superficies usando el parámetro : $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ ${\ estilo de visualización \ mu \ en [0,1]}$

F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0

La figura muestra superficies con valores de parámetros . $\mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1$

Aproximación suave de algunas superficies implícitas

$\Pi$ -superficies [1] se puede utilizar para aproximar cualquier objeto liso y acotado en , cuya superficie está definida por un polinomio que es igual al producto de otros polinomios. En otras palabras, podemos crear cualquier objeto suave con una sola superficie algebraica. Denotemos los polinomios como . Entonces el objeto que se aproxima está determinado por el polinomio $R^{3}$ $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots,x_{n}](i=1,\ldots,k)$

F(x,y,z)=\prod_{i}f_{i}(x,y,z)-r

[una]

donde define el parámetro de mezcla que controla el error de aproximación. $r\in \mathbb {R}$

De manera similar a la aproximación suave de curvas implícitas, la ecuación

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)- r=0

representa, para parámetros adecuados, aproximaciones suaves de tres toros que se intersecan mediante las ecuaciones $C$

{\begin{alineado}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}- 4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+ R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x ^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2 })=0.\end{alineado}}

(En la figura, los parámetros son iguales ) $R=1,\,a=0{,}2,\,r=0{,}01.$

Visualización de superficies implícitas

Hay varios algoritmos para renderizar superficies implícitas [3] , incluido el algoritmo de " cubos en marcha " [4] . De hecho, hay dos ideas para representar superficies implícitas: una crea una red de polígonos, que luego se dibujan (consulte Triangularización de una superficie ), y la segunda se basa en el trazado de rayos , cuando los puntos de intersección de los rayos con un se determina la superficie [5] .

Véase también

curva implícita

Notas

↑ 12 Raposo , Gomes, 2019 .
↑ POV-Ray (en inglés: The Persistence of Vision Ray-Tracer ) utiliza el trazado de rayos inverso para crear imágenes fotorrealistas en 3D. La escena en POV-Ray se describe en SDL ( Eng. Scene Description Language ), un lenguaje de programación interpretado con una sintaxis similar a C. Con SDL, el usuario establece la posición de la cámara, las fuentes de luz, la ubicación de los objetos y sus propiedades, los efectos atmosféricos, etc. Consulte el artículo Ilustraciones científicas en POV-Ray . Archivado el 20 de diciembre de 2019 en Wayback Machine .
↑ Bloomenthal, Bajaj, Wyvill, 1997 .
↑ Stephenson, 2004 .
↑ Haines, Akenine-Moller, 2019 .

Literatura

Adriano N. Raposo, Abel JP Gomes. Pi-superficies: productos de superficies implícitas hacia la composición constructiva de objetos 3D // Journal of WSCG. - 2019. - arXiv : 1906.06751 . (Conferencia Internacional en Europa Central sobre Gráficos por Computador, Visualización y Visión por Computador)

Jules Bloomenthal, Chandrajit Bajaj, Brian Wyvill. Introducción a las Superficies Implícitas . - Morgan Kaufmann, 1997. - ISBN 978-1-55860-233-5 .
Ian Stephenson. Rendering de Producción: Diseño e Implementación . - Springer Science & Business Media, 2004. - ISBN 978-1-85233-821-3 .
Eric Haines, Tomas Akenine-Moller. Gemas de trazado de rayos. - Springer, 2019. - ISBN 978-1-4842-4427-2 .
Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Curvas y superficies implícitas: matemáticas, estructuras de datos y algoritmos . — Londres: Springer-Verlag, 2009. — ISBN 978-1-84882-405-8 .
Thorpe JA Temas elementales en geometría diferencial. - Nueva York: Springer-Verlag, 1979. - (Textos de Licenciatura en Matemáticas). — ISBN 0-387-90357-7 .
- Thorp J. Capítulos iniciales de geometría diferencial. - "Mir", 1982. - (Matemáticas modernas. Cursos introductorios).

Enlaces

Sultanow: Implizite Flächen Archivado el 19 de enero de 2021 en Wayback Machine .
Hartmann: geometría y algoritmos para el DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA Archivado el 30 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
GEOMVIEW Archivado el 11 de julio de 2000 en Wayback Machine .
K3Dsurf: generador de superficie 3D Archivado el 10 de noviembre de 2020 en Wayback Machine .
SURF: Visualisierung algebraischer Flächen Archivado el 8 de marzo de 2021 en Wayback Machine .