Norma matricial

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Una norma matricial es una norma en un espacio lineal de matrices, generalmente relacionada de alguna manera con la norma vectorial correspondiente (consistente o subordinada ).

Definición

Sea K el campo fundamental (generalmente K = R o K = C ) y sea el espacio lineal de todas las matrices con m filas y n columnas que consisten en elementos de K. Se da una norma sobre el espacio de matrices si cada matriz está asociada a un número real no negativo , llamado su norma, de modo que $K^{{m\veces n}}$ $A\en K^{m\veces n}$ ${\ estilo de visualización \|A\|}$

${\ estilo de visualización \|A\|>0}$ , si , y , si . ${\ estilo de visualización A \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización \|A\|=0}$ ${\ estilo de visualización A = 0}$
${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\in K^{m\times n))$ .
${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \in K,\quad A\in K^{m\times n))$ [1] .

En el caso de matrices cuadradas (es decir, m = n ), las matrices se pueden multiplicar sin salir del espacio, y por tanto las normas en estos espacios suelen satisfacer también la propiedad submultiplicativa :

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ para todas las matrices A y B en . $K^{{n\veces n}}$

La submultiplicatividad también se puede realizar para las normas de matrices no cuadradas, pero se puede definir para varios tamaños requeridos a la vez. Es decir, si A es una matriz de ℓ × m y B es una matriz de m × n , entonces A B es una matriz de ℓ × n .

Normas del operador

Una clase importante de normas matriciales son las normas de operadores , también llamadas normas subordinadas o inducidas . La norma del operador se construye de forma única a partir de dos normas definidas en y , basándose en el hecho de que cualquier matriz de m × n se representa mediante un operador lineal de a . Específicamente, $K^n$ $K^{m}$ $K^n$ $K^{m}$

{\begin{alineado}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\ sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{alineado}}

[2]

Bajo la condición de una especificación consistente de normas sobre espacios de vectores, tal norma es submultiplicativa (ver arriba ).

Ejemplos de normas de operadores

Norma matricial subordinada a norma vectorial . $\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$
Norma matricial subordinada a norma vectorial . $\|A\|_{\infty}=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{\infty}=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
Norma espectral sujeta a la norma vectorial . $\|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Ax\|_{2}=\sup \limits _{(x, x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)))$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))))$

Propiedades de la norma espectral:

La norma espectral de un operador es igual al máximo valor singular de este operador.
La norma espectral de un operador normal es igual al valor absoluto del valor propio de módulo máximo de este operador.
La norma espectral no cambia cuando una matriz se multiplica por una matriz ortogonal ( unitaria ).

Normas de matriz no operador

Hay normas de matriz que no son normas de operador. El concepto de normas no operativas de matrices fue introducido por Yu. I. Lyubich [3] y estudiado por G. R. Belitsky .

Un ejemplo de una norma de no operador

Por ejemplo, considere dos normas de operador diferentes y , por ejemplo, las normas de fila y columna. Creemos una nueva norma . La nueva norma tiene la propiedad de anillo , conserva la identidad y no es operador [4] . ${\ estilo de visualización \|A\|_{1))$ ${\ estilo de visualización \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|=\max {(\|A\|_{1},\|A\|_{2)))))$ $\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|$ ${\ estilo de visualización \| yo \ | = 1}$

Ejemplos de normas

Norma L p,q

Sea un vector de columnas de la matriz.Por definición, la norma es igual a la suma de las normas euclidianas de las columnas de la matriz: $(a_{1},\ldots,a_{n})$ $UNA.$ ${\ estilo de visualización L_ {2,1}}$

\Vert A\Vert_{2,1}=\sum_{j=1}^{n}\Vert a_{j}\Vert_{2}=\sum_{j=1}^{ n}\left(\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}

La norma se puede generalizar a la norma. ${\ estilo de visualización L_ {2,1}}$ $L_{p,q},\;p,q\geqslant 1:$

\Vert A\Vert _{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij} |^{p}\right)^{q/p}\right)^{1/q}

Vector -norma

pags

Puede pensar en una matriz como un vector de tamaño y usar las normas de vector estándar. Por ejemplo, el vector p -norma se obtiene de la norma en : $m\veces n$ ${\ estilo de visualización mn}$ ${\ Displaystyle L_ {p, q}}$ $p = q$

\|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j =1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}

Esta norma difiere de la norma p inducida y de la norma p de Schatten (ver más abajo), aunque se usa la misma notación. $\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p)){\|x\|_{p))}$

La norma de Frobenius , o norma euclidiana (por espacio euclidiano ) es un caso especial de la norma p para p = 2 :. $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2 }}}$

La norma de Frobenius es fácil de calcular (en comparación, por ejemplo, con la norma espectral). Tiene las siguientes propiedades:

Consistencia : , ya que debido a la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky ${\displaystyle \|Ax\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2))$

\|Ax\|_{2}^{2}=\sum_{i=1}^{m}\left|\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{ j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\sum _ {j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\right)=\sum_{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\ |_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.

Submultiplicatividad : , ya que . ${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F})$ $\|AB\|_{F}^{2}=\sum_{i,j}\left|\sum_{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\ leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left( \sum _{k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\sum _{i,k}|a_{ik}| ^{2}\sum_{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}$
$\|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr)) A^{*}A=\mathop {\rm {tr)) AA^{*}$ , donde está la traza de la matriz , es la matriz conjugada hermitiana de . $\mahop {\rm {tr)) UN$ $A$ $un^{*}$
$\|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\puntos +\rho _{n}^{ 2}$ , donde son los valores singulares de la matriz . ${\ estilo de visualización \ rho _ {1}, \ rho _ {2}, \ puntos, \ rho _ {n}}$ $A$
${\ estilo de visualización \|A\|_{F}\geq \|A\|_{2))$ , donde es la norma espectral. ${\ estilo de visualización \|\ cdot \|_{2))$
${\ estilo de visualización \|A\|_{F}}$ no cambia cuando una matriz se multiplica por la izquierda o por la derecha por matrices ortogonales ( unitarias ) [5] . $A$

Módulo máximo

La norma de módulo máximo es otro caso especial de la norma p para p = ∞ .

\|A\|_{{{\text{max}}}}=\max\{|a_{{ij}}|\}.

Norma Shatten

Las normas de Schatten surgen cuando la norma se aplica a un vector de valores singulares de una matriz. Si denotamos por el -ésimo valor singular de una matriz de tamaño , entonces la norma de Schatten se define como $pags$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {i} (A)}$ $i$ $A$ $m\veces n$ $pags$

\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\ derecha)^{1/p}.

Las normas de Schatten se denotan de la misma forma que las normas inducidas y vectoriales , pero no coinciden con ellas. $pags$

Para cualquier , la norma de Schatten es submultiplicativa y unitariamente invariante, es decir , para cualquier matriz y y cualquier matriz unitaria y . $pags$ ${\displaystyle ||AB||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p})$ ${\displaystyle \|A\|_{p}=\|UAV\|_{p})$ $A$ $B$ $tu$ $V$

En , la norma de Schatten coincide con la norma de Frobenius, en , con la norma espectral, y en , con la norma nuclear (también conocida como norma de trazas y norma de Ki Fan ), que se define como $pag=2$ $p=\infty$ $pag=1$

\|A\|_{1}=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\))\sigma _{i}(A)={\mbox{tr)) \left({\sqrt {A^{*}A}}\right).

La norma del kernel es la envolvente convexa de la función de rango en el conjunto de matrices con norma espectral unitaria, por lo que a menudo se usa en problemas de optimización para encontrar matrices de bajo rango [6] .

Consistencia entre normas matriciales y vectoriales

La matriz norma on se llama compatible con las normas on y on si: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\veces n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

para cualquier Por construcción, la norma del operador es consistente con la norma del vector original. $A\en K^{{m\veces n}},x\en K^{n}$

Ejemplos de normas matriciales consistentes pero no subordinadas:

La norma euclidiana es consistente con la norma vectorial [5] . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}^{2)) }$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2))))$
La norma es consistente con la norma vectorial [7] . $\|A\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

Equivalencia de normas

Todas las normas en el espacio son equivalentes, es decir, para cualquier par de normas y y para cualquier matriz, la doble desigualdad es cierta: $K^{{m\veces n}}$ ${\ estilo de visualización \|.\|_{\ alfa))$ ${\ estilo de visualización \|.\|_{\ beta))$ $A\en K^{m\veces n}$

C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },

donde las constantes y no dependen de la matriz . $C_{1}$ $C_{2}$ $A$

Para las siguientes desigualdades son verdaderas: $A\en \mathbb {R} ^{m\times n}$

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n))\|A\|_{2))$ ,
$\|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}$ ,
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A \|_{\infty ))$ ,
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\ |_{1}$ ,

donde , y son normas de operadores [8] . ${\ estilo de visualización \|A\|_{1))$ ${\ estilo de visualización \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|_{\infty ))$

Aplicación

Las normas de matriz se utilizan a menudo en el análisis de métodos computacionales de álgebra lineal . Por ejemplo, un programa para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales puede dar un resultado inexacto si la matriz de coeficientes está mal condicionada (“casi degenerada ”). Para caracterizar cuantitativamente la proximidad a la degeneración, se debe poder medir la distancia en el espacio de las matrices. Esta posibilidad la brindan las normas matriciales [9] .

Véase también

Notas

↑ Gantmakher, 1988 , pág. 410.
↑ Prasolov, 1996 , pág. 210.
↑ Lyubich Yu. I. Sobre normas de operadores de matrices // Uspekhi Mat . - 1963. - N. 18. Edición. 4(112) - S. 161-164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
↑ Belitsky, 1984 , pág. 99
↑ 1 2 Ilyin, Kim, 1998 , pág. 311.
↑ Fazel, M. , Hindi, H. , Boyd, S. P. Una heurística de minimización de rango con aplicación a la aproximación del sistema de orden mínimo // Actas de la Conferencia de control estadounidense de 2001. - 2001. - vol. 6 _ - Pág. 4734-4739 . -doi : 10.1109/ ACC.2001.945730 .
↑ Bellman, 1969 , pág. 196.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , pág. 63.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , pág. 61.

Literatura

Ilyin V. A. , Kim G. D. Álgebra lineal y geometría analítica. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1998. - 320 p. — ISBN 5-211-03814-2 .
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. — M .: Nauka, 1988.
Bellman R. Introducción a la teoría de matrices. - M. : Nauka, 1969.
Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .
Golub J., Van Lone Ch . Cálculos matriciales: Per. del inglés.- M . : Mir, 1999. - 548 p. — ISBN 5-03-002406-9 .
Belitsky G. R. , Lyubich Yu. I. Normas de matriz y sus aplicaciones. - Kyiv: Naukova Dumka, 1984. - 160 p.

Enlaces

exponenta.ru. Portal matemático educativo . Fecha de acceso: 15 de noviembre de 2016. (indefinido)
Mundo de las Matemáticas. La Norma Matrix . Recuperado: 3 de diciembre de 2016. (indefinido)