Teorema inverso

Un teorema inverso o un enunciado inverso de un teorema dado es un enunciado en el que la conclusión establece la condición del teorema original (enunciado directo), y la conclusión es la condición. [una]

El inverso al teorema inverso es el teorema original (directo). La validez de ambos teoremas mutuamente inversos significa que el cumplimiento de las condiciones de cualquiera de ellos es necesario y suficiente para la validez de la conclusión. [una]

Todo teorema se puede expresar en forma de implicación , en la que la premisa es la condición del teorema y la consecuencia es la conclusión del teorema. Entonces el teorema escrito en la forma es inverso a él [2] . $A\Flecha derecha B$ $A$ $B$ ${\ estilo de visualización B \ flecha derecha A}$

A menudo se usa una definición más general del teorema inverso: si es un teorema directo, entonces no solo el teorema se llama inverso , sino también los teoremas , [3] . $(A\land C)\Rightarrow B$ ${\ estilo de visualización B \ flecha derecha (A \ tierra C)}$ $(B\land A)\Rightarrow C$ $(B\land C)\Rightarrow A$

Si la condición y/o conclusión del teorema son juicios complejos, entonces el teorema inverso admite un conjunto de formulaciones que no son equivalentes entre sí. Por ejemplo, si la condición del teorema es , y la conclusión es : , entonces hay cinco formas para el teorema inverso: [4] $A$ ${\ estilo de visualización Y \ flecha derecha Z}$ $A\Flecha derecha (Y\Flecha derecha Z)$

${\ estilo de visualización (Y \ flecha derecha Z) \ flecha derecha A}$
${\ estilo de visualización (A \ flecha derecha Z) \ flecha derecha Y}$
${\ estilo de visualización Z \ flecha derecha (A \ y Y)}$
$A\Flecha derecha (Z\Flecha derecha Y)$
$Y\Flecha derecha (Z\Flecha derecha A)$

En términos generales, el teorema inverso puede no ser cierto incluso si el teorema directo es cierto. Así, se sabe que el teorema “los ángulos verticales son iguales” (en otras palabras: “si los ángulos son verticales, entonces son iguales”) es cierto. Pero la afirmación opuesta "si los ángulos son iguales, entonces son verticales", en términos generales, no es cierta.

Incluso si lo contrario es cierto, entonces su demostración puede ser mucho más difícil que la demostración directa. Por ejemplo, el teorema de los cuatro vértices se demostró en 1912 y su inverso recién en 1998.

Propiedades

El teorema directo es equivalente al teorema opuesto : $(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B))\Rightarrow {\overline {A)))$
El teorema de la inversa es equivalente a la recta opuesta: [5] $(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B)))$

Ejemplos

El teorema de Pitágoras se puede formular de la siguiente manera:

Si en un triángulo con lados de longitud , y el ángulo opuesto al lado es recto, entonces . $a$ $b$ $C$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

El inverso de este teorema aparece en los Elementos de Euclides (libro I, proposición 48), y puede enunciarse como sigue:

Si en un triángulo con lados de longitud , y , entonces el ángulo opuesto al lado es recto. $a$ $b$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $C$

Teorema de Abel y teorema de Abel-Tauber
Teoremas sobre los vértices de un triángulo subdérmico
Teorema del límite directo e inverso
En un sentido diferente: los teoremas de Shannon para una fuente general

Véase también

Teorema opuesto

Notas

↑ 1 2 Teorema inverso // Diccionario enciclopédico matemático / ed. Prokhorova Yu. V. - M., Enciclopedia soviética , 1988. - p. 423
↑ Edelman, 1975 , pág. 32.
↑ Gindikin, 1972 , pág. 19
↑ Gradstein, 1965 , pág. 92.
↑ Edelman, 1975 , pág. 33.

Literatura

Edelman S.L. Lógica matemática. - M. : Escuela superior, 1975. - 176 p.
Gindikin S.G. Álgebra de la lógica en tareas. - M. : Nauka, 1972. - 288 p.
I.S. de Gradshtein Teoremas directo e inverso. Elementos del álgebra de la lógica. - M. : Nauka, 1965. - 127 p.