Condiciones necesarias y suficientes

Una condición necesaria y una condición suficiente son tipos de condiciones que están lógicamente relacionadas con alguna proposición . La diferencia entre estas condiciones se usa en lógica y matemáticas para designar los tipos de conexión de los juicios.

Condición necesaria

Si una implicación es una proposición absolutamente verdadera, entonces la verdad de la proposición es una condición necesaria para la verdad de la proposición [1] [2] . $A\Flecha derecha B$ $B$ $A$

Las condiciones necesarias para la verdad de un enunciado A son las condiciones sin las cuales A no puede ser verdadero.

La proposición P es una condición necesaria para la proposición X cuando (verdadera) X implica (verdadera) P. Es decir, si P es falsa, entonces también lo es X.

Para los juicios X del tipo "el objeto pertenece a la clase M", dicho juicio P se denomina propiedad (de los elementos) de M.

Condición suficiente

Si la implicación es un enunciado absolutamente verdadero, entonces la verdad del enunciado es una condición suficiente para la verdad del enunciado [1] [2] . $A\Flecha derecha B$ $A$ $B$

Las condiciones suficientes son tales condiciones, en presencia (cumplimiento, observancia) de las cuales el enunciado B es verdadero.

La proposición P es condición suficiente para la proposición X cuando (verdadera) P implica (verdadera) X, es decir, si P es verdadera, ya no es necesario comprobar X.

Para los juicios X del tipo "un objeto pertenece a la clase M", dicho juicio P se denomina signo de pertenencia a la clase M.

Condición necesaria y suficiente

Una proposición K es una condición necesaria y suficiente para una proposición X cuando K es tanto una condición necesaria de X como una condición suficiente. En este caso, también dicen que K y X son equivalentes , o equivalentes , y denotan o . $K\Leftrightarrow X$ $K\leftrightarrow X$

Esto se sigue de la fórmula idénticamente verdadera que relaciona la implicación y la operación de equivalencia [3] :

$(X\leftrightarrow Y)\leftrightarrow (X\Rightarrow Y)\land (Y\Rightarrow X)$

Para los juicios X del tipo "un objeto pertenece a la clase M", dicho juicio K se denomina criterio de pertenencia a la clase M.

Las declaraciones anteriores sobre las condiciones necesarias y suficientes se pueden demostrar claramente utilizando la tabla de verdad de las expresiones lógicas.

Considere los casos donde la implicación es verdadera. En efecto, si el juicio es una condición necesaria para el juicio , entonces debe ser verdadero para que la implicación sea verdadera, al mismo tiempo, el juicio es una condición suficiente para el juicio , lo que significa que si es verdadero , entonces debe serlo . verdadero. $B$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$

Un razonamiento similar funciona en el caso contrario, cuando el juicio es una condición necesaria para el juicio y el juicio es una condición suficiente para el juicio . $A$ $B$ $B$ $A$

Si es una condición necesaria y suficiente , como se ve en la tabla de verdad, ambos juicios deben ser verdaderos o ambos juicios deben ser falsos. $A$ $B$

mesa de la verdad

A	B	$A\Flecha derecha B$	$A\Flecha izquierda B$	$A\Flecha izquierda-derecha B$
0	0	una	una	una
0	una	una	0	0
una	0	0	una	0
una	una	una	una	una

Ejemplo

Declaración X: "Vasya recibe una beca en esta universidad".
Condición necesaria P: "Vasya es estudiante de esta universidad".
Condición suficiente P: "Vasya estudia en esta universidad sin triples".
Corolario R: "Obtener una beca en esta universidad".

Esta fórmula se puede representar como un silogismo condicional de varias maneras:

1) fórmula: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P) ;

2) formato aceptado oficialmente:

Si Vasya estudia sin triples en esta universidad, entonces recibe una beca.
Si Vasya recibe una beca, entonces es estudiante de esta universidad.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
Si Vasya estudia sin triples en esta universidad, entonces él es un estudiante de esta universidad.

3) usando razonamiento de habla ordinaria:

Del hecho de que Vasya sea un estudiante, todavía no se deduce que reciba una beca. Pero esta condición es necesaria, es decir, si Vasya no es estudiante, obviamente no recibe becas.

Si Vasya estudia en una universidad sin triples, ciertamente recibe una beca. Sin embargo, el estudiante Vasya puede recibir una beca (en forma de subsidio) si estudia con triples, pero, por ejemplo, tiene una enfermedad crónica.

La regla general es la siguiente:
En la implicación A → B :
A es una condición suficiente para B , y
B es una condición necesaria para A .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Edelman, 1975 , pág. treinta.
↑ 1 2 Gindikin, 1972 , pág. 21
↑ Edelman, 1975 , pág. 26

Literatura

Edelman S. L. Lógica matemática. - M. : Escuela superior, 1975. - 176 p.
Gindikin S. G. Álgebra de lógica en tareas. - M. : Nauka, 1972. - 288 p.

Enlaces

Video archivado el 15 de abril de 2016 en Wayback Machine sobre Condiciones necesarias y suficientes
" Necesidad y suficiencia Archivado el 10 de octubre de 2019 en Wayback Machine " en el libro de texto de MathIt

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