Operador (matemáticas)

Operador ( Operador latino tardío - trabajador, ejecutante, de operor - trabajo, actúo) - un mapeo matemático entre conjuntos , en el que cada uno de ellos está dotado de alguna estructura adicional (orden, topología, operaciones algebraicas). El concepto de operador se utiliza en varias ramas de las matemáticas para distinguirlo de otros tipos de aplicaciones (principalmente funciones numéricas ); el significado exacto depende del contexto, por ejemplo, en el análisis funcional, los operadores se entienden como mapeos que asocian funciones con otra función ("un operador en el espacio de funciones" en lugar de "una función de una función").

Algunos tipos de operadores:

operadores en espacios de funciones ( diferenciación , integración , convolución del núcleo , transformada de Fourier ) en análisis funcional ;
mapeos (especialmente los lineales) entre espacios vectoriales (proyectores, rotaciones de coordenadas, homotecias, multiplicaciones de vectores y matrices) en álgebra lineal ;
transformación de sucesiones (convolución de señales discretas, filtro mediano) en matemáticas discretas .

Terminología básica

Se dice que un operador actúa de conjunto a conjunto . Es posible que el operador no esté definido en todas partes en ; entonces se habla de su dominio de definición . Por el resultado de aplicar el operador para denotar o . ${\ estilo de visualización A: X \ a Y}$ $X$ $Y$ $X$ $D_{A}=D(A)\subconjunto X$ $x\en X$ $A$ $X$ $Hacha)$ $Hacha$

Si y son espacios vectoriales , entonces en el conjunto de todos los operadores desde hasta podemos destacar la clase de operadores lineales . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Si y son espacios topológicos vectoriales , entonces en el conjunto de operadores de a la clase de operadores continuos , así como la clase de operadores lineales acotados y la clase de operadores compactos lineales (también llamados completamente continuos) se distinguen naturalmente . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Ejemplos simples

Un operador que actúa sobre espacios de funciones es una regla según la cual una función se transforma en otra. La transformación de una función según la regla en otra función tiene la forma o, más simplemente, . $x(t)$ $A$ $y(t)$ $y(t)=A\{x(t)\}$ $y = hacha$

Ejemplos de tales transformaciones son la multiplicación por un número: y la diferenciación: . Los operadores correspondientes se denominan operadores de multiplicación por un número, diferenciación, integración, solución de una ecuación diferencial, etc. $y(t)=cx(t)$ $\scriptstyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$

Los operadores que modifican el argumento de una función se denominan operadores de conversión o transformaciones . La transformación reemplaza los ejes de coordenadas, muestra la función en otro espacio. Por ejemplo , la transformada de Fourier del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia:

F(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits_{{-\infty }}^({\infty }}f(t)e^{ {-it\omega }}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}.

La diferencia entre un operador y una simple superposición de funciones en este caso es que el valor de la función , en términos generales, en cada punto depende no solo de , sino de los valores de la función en todos los puntos . Expliquemos en el ejemplo de la transformada de Fourier. El valor de esta transformación (espectro de función) en un punto cambia con un cambio continuo en la función original en la vecindad de cualquier punto . $y$ $t$ $x(t)$ $X$ $t$ $\omega$ $t$

La teoría de operadores se ocupa del estudio de las propiedades generales de los operadores y su aplicación a la resolución de diversos problemas . Por ejemplo, resulta que el operador de multiplicación vector-matriz y el operador de convolución de una función con peso tienen muchas propiedades en común.

Fundamental para la práctica es la clase de los llamados operadores lineales . También es el más investigado. Un ejemplo de un operador lineal es la operación de multiplicar un vector -dimensional por una matriz de tamaño . Este operador asigna el espacio -dimensional de vectores al espacio -dimensional . $norte$ $n\veces m$ $norte$ $metro$

Operadores lineales

Un operador (que actúa de un espacio vectorial a un espacio vectorial) se llama lineal homogéneo (o simplemente lineal ) si tiene las siguientes propiedades: $L$

se puede aplicar término por término a la suma de los argumentos: $L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})$ ;
se puede sacar un escalar (valor constante) del signo del operador: $C$ $L(cx)=cL(x)$ ;

De la segunda propiedad se sigue que la propiedad es verdadera para un operador lineal homogéneo . $L(0)=0$

Un operador se llama lineal no homogéneo si consiste en un operador lineal homogéneo con la adición de algún elemento fijo: $L$

L\{x\}=L_{0}\{x\}+\varfi

donde es un operador homogéneo lineal. $L_0$

En el caso de una transformación lineal de funciones discretas (sucesiones, vectores), los nuevos valores de las funciones son funciones lineales de los valores antiguos : $y_{k}$ $x_k$

y_{k}=\sum_{{l=1}}^{n}T_{{kl}}\,x_{l}

En el caso más general de las funciones continuas, la matriz de peso bidimensional toma la forma de una función de dos variables y se denomina núcleo de la transformación integral lineal: $K(t,\;\omega )$

\varphi (t)=\int \limits _{V}\!K(t,\omega )f(\omega )\,d\omega =K\{f(\omega )\}.

La función operando en este caso se llama función espectral . El espectro también puede ser discreto, en cuyo caso se reemplaza por un vector . En este caso, es representable por una serie finita o infinita de funciones: $f(\omega)$ $f(\omega)$ $W$ $\varfi (t)$

\varphi (t)=\sum _{{i=1}}^{n}T_{i}(t)w_{i}.

Operador cero

El operador que asigna a cada vector un vector nulo es obviamente lineal; se llama el operador nulo [1] . $O$ ${\ matemáticas {a}}$ $\mathbf {0}$

Operador de identidad (identidad)

El operador que asocia cada vector con el vector mismo es obviamente lineal; se llama identidad u operador de identidad. $mi$ ${\ matemáticas {a}}$ ${\ matemáticas {a}}$

Un caso especial de un operador lineal que devuelve el operando sin cambios:

E{\mathbf {a}}={\mathbf {a}},

es decir, cómo se define el operador matricial por la igualdad

\sum _{k}E_{{ik}}\,a_{k}=a_{i}

y, como operador integral, por la igualdad

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x)

La matriz identidad se escribe mayoritariamente con un símbolo ( el símbolo de Kronecker ). Tenemos: en y en . $E_{{ik}}$ $\delta _{{ik}}=\delta _{{ki}}$ $\delta _{{ik}}=1$ $yo=k$ $\delta _{{ik}}=0$ $yo\neq k$

El núcleo de la unidad se escribe como ( función delta ). en todas partes excepto , donde la función se vuelve infinita y, además, tal que $E(x,t)$ $E(x,t)=\delta(tx)$ $\delta(xt)=0$ $x=t$

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!\delta (xt)\,dt=1

Grabación

En matemáticas y tecnología, se usa ampliamente la forma condicional de escribir operadores, similar al simbolismo algebraico. Tal simbolismo en varios casos permite evitar transformaciones complejas y escribir fórmulas en una forma simple y conveniente. Los argumentos de un operador se denominan operandos , el número de operandos se denomina aridad del operador (por ejemplo, único, binario). La escritura de los operadores se puede sistematizar de la siguiente manera:

prefijo : donde el operador viene primero y los operandos siguen, por ejemplo:

Q(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{n});

sufijo : si el carácter del operador sigue a los operandos, por ejemplo:

(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{n})\;Q;

infijo : operador insertado entre operandos, usado principalmente con operadores binarios:

x_{1}\;Q\;x_{2};

posicional : se omite el signo del operador, el operador está implícitamente presente. La mayoría de las veces, el operador del producto (variables, valor numérico por unidad física, matrices, composición de funciones) no se escribe, por ejemplo, 3 kg. Esta capacidad de un solo operador para actuar sobre entidades heterogéneas se logra mediante la sobrecarga de operadores ;
subíndice o superíndice a la izquierda oa la derecha; se utiliza principalmente para exponenciación y selección de elementos vectoriales por índice.

Como puede ver, la notación de operadores a menudo toma una forma abreviada de la notación convencional para funciones. Cuando se usa la notación de prefijo o posfijo, los paréntesis se omiten en la mayoría de los casos si se conoce la aridad del operador. Por lo tanto, un solo operador sobre una función generalmente se escribe por brevedad en lugar de ; los corchetes se utilizan para mayor claridad, por ejemplo, la operación en el producto . , actuando sobre , también se escribe . Se introducen caracteres especiales para denotar algunos operadores, por ejemplo, unarios (factorial "!", a la derecha del operando), (negación, a la izquierda) o símbolos caligráficos , como en el caso de la transformada de Fourier de una función . La potenciación se puede considerar como un operador binario de dos argumentos, o como una potencia o función exponencial de un argumento . $q$ $F$ $Qf$ $q(f)$ $Q(fg)$ $q$ $f(x)$ $(Qf)(x)$ $¡norte!$ $-norte$ ${\mathcal {F}}\{f(t)\}$ $n^{x}$

Símbolo de operador diferencial lineal

El símbolo de un operador diferencial lineal asocia un polinomio con un operador diferencial, en términos generales, reemplazando la composición de las derivadas parciales con el producto de las variables asociadas a ellas. Los monomios superiores del símbolo del operador (el símbolo principal del operador) reflejan el comportamiento cualitativo de la solución de la ecuación diferencial parcial correspondiente a este operador. Las ecuaciones diferenciales parciales elípticas lineales se caracterizan por el hecho de que su símbolo principal nunca llega a 0.

Sean y multiíndices y . Luego ponemos $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots,\beta _{n})$

{\begin{aligned}D^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\parcial ^{\vert \alpha \vert }}{\parcial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \parcial x_{n}^{\alpha_{n}}}}x_{1}^{\beta_{1}}\cdots x_{n}^{\beta_{n }}\\&={\frac {\parcial ^{\alpha _{1}}}{\parcial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{ 1))\cdots {\frac {\parcial ^{\alpha _{n))}{\parcial x_{n}^{\alpha _{n))))x_{n}^{\beta _{n }}.\end{alineado}}

Sea un operador de orden diferencial lineal en el espacio euclidiano . Entonces es un polinomio en la derivada , en notación multiíndice se escribirá como $PAGS$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $PAGS$ $D$

P=p(x,D)=\sum_{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.

Un polinomio , por definición, es un carácter completo : $pags$ $PAGS$

\sigma P(\xi )=p(x,\xi )=\sum _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }.

El símbolo principal del operador consiste en monomios de grado máximo : ${\ estilo de visualización \ sigma _ {P}}$

\sigma _{P}(\xi )=\sum _{{|\alpha |=k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }

y es la parte del símbolo del operador completo que se transforma como un tensor al cambiar de coordenadas.

Véase también

Lista de operadores (matemáticas)
Operador potencial

Notas

↑ Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - M.: Fizmatlit, 1961. - C. 203

Literatura

(1995) Operador. Diccionario enciclopédico matemático. cap. edición Yu. V. Prokhorov. M.: "Gran Enciclopedia Rusa".