Ortopolo

El ortopolo del sistema formado por el triángulo ABC y la recta ℓ (en la figura de la derecha esta recta ℓ corresponde a la recta A ′ C ′ ) en el plano dado es un punto definido como sigue. [1] . Sean A ′, B ′, C ′ las bases de las perpendiculares trazadas a la línea ℓ desde los vértices del triángulo A , B , C , respectivamente . Sean A ′′, B ′′, C ′ ′ las bases de las perpendiculares trazadas a los lados opuestos correspondientes A , B , C del triángulo especificado o a las extensiones de estos lados. Luego, tres líneas rectas A ′ A ′ ′, B ′ B ′ ′, C ′ C ′ ′, se cortan en un punto, en el ortopolo H . [2] Debido a sus muchas propiedades [3] , los ortópolos se han convertido en objeto de serios estudios [4] . Se estudiaron algunos conceptos clave: la definición de líneas que tienen un ortópolo dado [5] y círculos de ortópolo. [6]

Propiedades

Nota

En todas partes debajo del texto, el ortopolo P corresponde al ortopolo H en la fig. a la derecha, y la recta ℓ del ortopolo P en la misma fig. corresponde a la línea A ′ C ′ .

Ortopolo y ortocentro

Si pasa por el ortocentro Q del triángulo, entonces el punto situado en la continuación del segmento PQ que une el ortopolo con el ortocentro, en el otro lado a una distancia igual a PQ , se encuentra en el círculo de Euler de este triángulo. [7]
El ortocentro Q de un triángulo es el ortopolo de sus lados con respecto al propio triángulo. [ocho]

Ortopolo como centro radical

El ortopolo P de la recta ℓ del triángulo es el centro radical de tres circunferencias tangentes a la recta ℓ y con centros en los vértices del triángulo anticomplementario con respecto al triángulo dado. [9]

Ortopolo y círculo circunscrito

Si la línea ℓ del ortópolo pasa por el centro del círculo circunscrito al triángulo , entonces el ortópolo mismo se encuentra en el círculo de Euler de este triángulo. [3] [10]
De la última propiedad se sigue que para un triángulo dado, el lugar geométrico de los puntos - todos los ortopolos P de todas las líneas ℓ que pasan por el centro del círculo circunscrito del triángulo , es el círculo de Euler de este triángulo.
Si la línea ℓ del ortopolo intersecta el circuncírculo del triángulo en dos puntos P y Q , entonces el propio ortopolo se encuentra en la intersección de las dos líneas de Simson de los dos últimos puntos P y Q. [once]
Para un triángulo dado , el lugar geométrico de los puntos , todos los ortopolos P de todas las líneas ℓ que pasan por un punto fijo que se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo, es una línea (segmento).

Ortopolo y línea de Simson

Si el ortópolo se encuentra en la línea de Simson , entonces su línea ℓ es perpendicular a él. [3]
Si la línea ℓ del ortopolo es la línea de Simson del punto P , entonces el punto P se llama el polo de la línea de Simson ℓ [3]

Ortopolos de rectas paralelas

Si la línea ℓ del ortopolo se mueve paralela a sí misma, entonces su ortopolo se mueve a lo largo de la línea perpendicular a ℓ una distancia igual al desplazamiento. [3]
Los ortopolos de dos rectas paralelas se encuentran sobre su perpendicular común a las dos rectas a una distancia igual a la distancia entre las rectas. [12]

Ortopolos de ternas de vértices de un cuadrilátero

Si se da una línea recta fija ℓ y se elige cualquiera de los tres vértices del cuadrilátero , entonces todos los ortopolos de la línea recta dada ℓ con respecto a todos esos triángulos se encuentran en la misma línea recta. Esta línea se llama la línea ortopolar de la línea dada ℓ con respecto al cuadrilátero. [13]

Cónica (elipse) generada por ortopolos

Se sabe (ver [14] [15] ) que encontrar para un triángulo fijo dado todos los ortopolos para todas las líneas que pasan por un punto fijo genera una cónica, que siempre es una elipse tangente en 3 puntos al deltoides de Steiner del triángulo dado . Una cónica degenera en una línea (segmento de línea) cuando el punto está en el círculo circunscrito del triángulo . Esta cónica generaliza la propiedad discutida en [16] , según la cual, para un punto que coincide con el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo , la cónica se convierte en la circunferencia de Euler [17] $O_{PQ}$ $PQ$ $PAGS$ $PAGS$ $A B C$ $PAGS$ $O$
comentario _ En este artículo, en el párrafo "Ortopolo y el círculo circunscrito ", la propiedad mencionada anteriormente suena así:

Si la línea ℓ del ortópolo pasa por el centro del círculo circunscrito al triángulo , entonces el ortópolo mismo se encuentra en el círculo de Euler de este triángulo . [3] [18]

Puntos de Feuerbach como ortopolos

En la literatura inglesa, 4 centros de 4 círculos: 1 inscrito y 3 excírculos con centros, respectivamente , tocando respectivamente 3 lados diferentes del triángulo o sus extensiones, se denominan 4 centros tritangentes del triángulo ( los centros tritangentes ) [19] . Esta observación es importante para la siguiente afirmación. ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C))$ $a B C$

Los puntos de Feuerbach de un triángulo son los ortópolos de este triángulo si los diámetros de la circunferencia circunscrita que pasa por los correspondientes centros tritangentes se toman como las rectas ℓ para estos ortópolos [20] . La última afirmación es consecuencia de la afirmación que se indica a continuación.

El punto de Feuerbach para un inscrito o excírculo dado (círculo de tres tangentes - en inglés "un círculo tritangente") es el punto de intersección de 2 líneas de Simson , construido para los extremos del diámetro del circuncírculo que pasa por el centro correspondiente del inscrito o excluir. Así, los puntos de Feuerbach se pueden construir sin utilizar la circunferencia inscrita o excircunferencia correspondiente y la circunferencia de Euler tangente a ella [21] .

Generalización

La existencia de un ortópolo se deriva de un teorema más general, el llamado teorema de Steiner sobre triángulos ortológicos [22] .

El teorema del triángulo ortólogo de Steiner establece (ver el teorema del triángulo ortólogo de Steiner ) que si ΔABC es ortólogo a ΔA'B'C' , entonces es equivalente a que ΔA'B'C' sea ortólogo a ΔABC . En el caso de un ortopolo , las proyecciones de los vértices del triángulo ABC sobre la línea recta ℓ —los puntos A' , B' , C'— pueden considerarse los vértices de un triángulo degenerado, y las perpendiculares paralelas se cortan en un punto infinitamente distante.

Los triángulos ortológicos son triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 para los cuales las perpendiculares caídas desde los puntos A, B y C a las líneas B 1 C 1 , C 1 A 1 y A 1 B 1 se cortan en un punto. En este caso, las perpendiculares caídas desde los puntos A 1 , B 1 y C 1 a las líneas BC, CA y AB también se cortan en un punto.

Historia

El ortópolo fue descubierto por el matemático M. Soons en 1886 en un artículo en la p. 57 en la revista científica belga sobre matemáticas elementales Mathesis (revista), fundada en 1881 por Paul Mansion ( Paul Mansion ) y Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ), y el término ortopolo (orthopole) fue propuesto por el mencionado Neuberg en la revista "Mathesis" para 1911 en la p. 244 según fuentes [23] , [24]

Véase también

Polo y polar

Enlaces

↑ MathWorld: Ortopolo . Consultado el 20 de junio de 2020. Archivado desde el original el 31 de diciembre de 2019. (indefinido)
↑ Copia archivada . Consultado el 20 de junio de 2020. Archivado desde el original el 25 de febrero de 2017. (indefinido)
↑ 1 2 3 4 5 6 The Orthopole (21 de enero de 2017). Consultado el 20 de junio de 2020. Archivado desde el original el 22 de junio de 2020. (indefinido)
↑ "Los lugares geométricos ortopolares de algunos sistemas de líneas de un parámetro referidos a un triángulo fijo" Autor(es): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , vol. 37, núm. 3 (marzo de 1930), págs. 130–136 Publicado por: Asociación Matemática de América URL estable: https://www.jstor.org/stable/2299415 Archivado el 27 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ "La teoría proyectiva de los ortópolos", Sister Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly , vol. 39, núm. 6 (junio-julio de 1932), págs. 327–338 Publicado por: Asociación Matemática de América URL estable: https://www.jstor.org/stable/2300757 Archivado el 24 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Goormaghtigh, R. (1 de diciembre de 1946). “1936. El ortópolo” . La Gaceta Matemática . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR3610737 . _ Archivado desde el original el 25 de febrero de 2017 . Consultado el 20 de junio de 2020 a través de Cambridge Core. Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El Ortopolo. §699. Teorema. Higo. 156. Pág. 290-291.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El Ortopolo. §Ejercicios. §una. pág. 291.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El Ortopolo. §Ejercicios. §6. pág. 291.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El Ortopolo, §694, Fig. 155, pág. 288.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El ortopolo, §697. Teorema, Fig. 155, pág. 289-290.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El Ortopolo, §693, Fig. 154, pág. 287-288
↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Archivado el 22 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Honsberger, R. Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX. Washington DC, Matemáticas. Asoc. Ammer., 1995, págs. 106-110.
↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. París, Jacques Gabay, 1987, pág. 17
↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Archivado el 5 de agosto de 2020 en Wayback Machine .
↑ "5. Cónica generada por ortopolos" En: Ortopolo de una cuerda// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Archivado el 8 de julio de 2020 en Wayback Machine
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El ortopolo, §694. Higo. 155, pág. 288.
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Los centros tritangentes. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. corolario. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Observación. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivado el 30 de junio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Myakishev A. Caminar en círculos: de Euler a Taylor // Matemáticas. ¡Todo para el maestro! Nº 6 (6). Junio. 2011. pág. 6, Definición del ortopolo, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
↑ Ion Pătraşcu. EL TEOREMA DUAL DEL ORTOPOPO// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Archivado el 28 de julio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Nathan Altshiller-Court, Geometría universitaria. Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. segunda edicion. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover, Inc. 2007. Pág. 306, §692, §694

Literatura

Atul Dixit, Darij Grinberg. Ortopolos y el teorema de Pappus// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo. Nathan Altshiller-Court. Mineola, Nueva York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. El Ortopolo. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ #v=unapágina&q=En%20geometría%2C%20el%20ortopolo&f=false
Bogomolny, A. "Ortópolo". https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml .
Goormaghtigh R. Tratamiento analítico de algunos teoremas ortópolares// Amer. Matemáticas. Mensual 46. 1939. P. 265-269,
Gallatly W. La geometría moderna del triángulo, 2ª ed. Londres: Hodgson, 1913. - Capítulo 6. El ortópolo. págs. 46-54.
Honsberger , R. Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX. Washington, DC: Matemáticas. Asoc. Amer., 1995. - Capítulo 11. El Ortopolo. págs. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
Johnson RA Geometría moderna: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo. Boston, MA: Houghton Mifflin, pág. 247, 1929.
Ramler OJ Los lugares geométricos de los ortopolos de algunos sistemas de líneas de un solo parámetro referidos a un triángulo fijo// Amer. Matemáticas. Mensual 37, 1930, págs. 130-136.
Lalesco T. La Geometrie du Triangle. París: Jacques Gabay, 1987, p. 17
Ortopolo// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Ortopolo.html
Ortopolo de una cuerda// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
Junko HIRAKAWA. Algunos teoremas sobre el ortópolo. Diario matemático de Tohoku, primera serie. 1933 vol. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
Myakishev A. Caminar en círculos: de Euler a Taylor // Matemáticas. ¡Todo para el maestro! Nº 6 (6). Junio. 2011. pág. 6, Definición del ortopolo, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf