Hacer un pedido

Un pre -orden ( cuasi-orden ) es una relación binaria sobre un conjunto que tiene las propiedades de reflexividad y transitividad . Por lo general, esta relación se denota , entonces los axiomas de orden previo en el conjunto toman la forma:

, .

Un pedido anticipado lineal  es un pedido anticipado en un conjunto para el cual dos elementos cualesquiera del conjunto son comparables:

.

Teoría de categorías

Una categoría se llama preorden si hay como máximo un morfismo para dos objetos cualesquiera . Si  es una categoría pequeña , entonces en el conjunto de sus objetos se puede establecer la relación de preorden de acuerdo con la siguiente regla:

.

De los axiomas de la categoría se sigue que tal relación será reflexiva y transitiva. Un preorden es una categoría abstracta , es decir, en el caso general, no se puede representar como una categoría de algunos conjuntos con una estructura dada y mapeos que conservan esta estructura. También la preorden es una categoría esquelética .

Si una categoría pequeña está completa en un pequeño , entonces es un pedido anticipado y cada conjunto pequeño de sus elementos tiene el límite inferior más grande. El producto de un conjunto (conjunto, clase) de objetos de preorden es el mayor límite inferior de este conjunto. El coproducto de un conjunto de objetos es su cota superior mínima . El objeto inicial en el pedido previo , si existe, es su objeto más pequeño, entonces . Del mismo modo, el objeto terminal de un pedido anticipado es el objeto más grande del mismo.

Los objetos de la categoría de preórdenes (normalmente denotados por ) son preórdenes (en el sentido de categorías), en particular, conjuntos sobre los que se da la relación de preorden. Los morfismos de esta categoría son asignaciones establecidas que conservan la relación de preorden, es decir, asignaciones monótonas . Una subcategoría de pequeños pedidos anticipados  es una categoría concreta dotada de un funtor olvidadizo univalente obvio :

,

asignando a cada pequeño preorden un conjunto de sus objetos, ya cada morfismo un mapeo monótono de los conjuntos correspondientes. Este functor crea límites en . Así, de manera similar , el objeto inicial en es un conjunto vacío , el objeto terminal es un conjunto de un elemento, el producto de objetos es el producto directo de los conjuntos correspondientes con una comparación componente por componente.

Literatura