Función (matemáticas)

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Una función en matemáticas es una correspondencia entre elementos de dos conjuntos , una regla según la cual cada elemento del primer conjunto, denominado dominio de definición , corresponde a uno y solo un elemento del segundo conjunto, denominado rango de valores .

El concepto matemático de función expresa una idea intuitiva de cómo una cantidad determina completamente el valor de otra cantidad. Entonces, el valor de la variable determina de manera única el valor de la expresión , y el valor del mes determina de manera única el valor del mes siguiente. Un ejemplo "cotidiano" de una función: cada persona puede ser inequívocamente asignada a su padre biológico. $X$ $x^{2}$

De manera similar, un algoritmo predeterminado , dado el valor de los datos de entrada, produce el valor de los datos de salida.

A menudo, el término "función" se refiere a una función numérica , es decir, una función que pone unos números en línea con otros. Estas funciones se representan convenientemente en forma de gráficos .

Historia

El término "función" (en un sentido algo más restringido) fue utilizado por primera vez por Leibniz (1692). A su vez, Johann Bernoulli, en una carta a Leibniz, le dio a este término un significado más cercano al moderno [1] [2] .

Inicialmente, el concepto de función era indistinguible del concepto de representación analítica. Posteriormente apareció la definición de función, dada por Euler (1751), luego por Lacroix (1806), casi en su forma moderna. Finalmente, Lobachevsky (1834) y Dirichlet (1837) [3] dieron una definición general de función (en su forma moderna, pero solo para funciones numéricas) .

A fines del siglo XIX, el concepto de función había superado el alcance de los sistemas numéricos. Primero, el concepto de función se extendió a funciones vectoriales , Frege pronto introdujo funciones lógicas ( 1879 ), y después del advenimiento de la teoría de conjuntos, Dedekind ( 1887 ) y Peano ( 1911 ) formularon una definición universal moderna [2] .

Definición informal

Una función definida en un conjunto con valores en el conjunto se llama una "regla" tal que cada elemento de corresponde a un elemento que se encuentra en y, además, solo uno [4] . $F$ $X$ $Y$ $X$ $X$ $f(x)$ $Y$

Notación aceptada: , , abreviada o simplemente . $f:X\a Y$ $X{\stackrel {f}{\longrightarrow}}Y$ $f\colon x\mapsto y$ $y=f(x)$

Un gráfico se llama , donde es un producto directo de . $f:X\a Y$ ${\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\,\))$ $X\veces Y$

En términos generales, los conceptos de una función y su gráfico son equivalentes, y dado que este último se define matemáticamente de manera más estricta, la definición formal (desde el punto de vista de la teoría de conjuntos) de una función es su gráfico [4] .

Para la función : $f:X\a Y$

el conjunto se denomina área de tareas o área de definición de función , denotada por o ; $X$ $D(f)$ $\mathrm {dom} \,f$
el conjunto se denomina rango de la función, denotado por o ( ); $Y$ $mi(f)$ $\mathrm {código} \,f$ $\mathrm {corrió} \,f$
cada elemento del conjunto se denomina variable independiente o argumento de función ; $X$ $X$

el elemento correspondiente al elemento fijo se llama valor parcial de la función en el punto . $y=f(x)$ $X$ $X$

Notas:

Una función para la cual se llama un mapeo de un conjunto dado en sí mismo o una transformación , en particular, si , entonces se habla de una transformación idéntica , a menudo denotada por . $F$ $D(f)\equiv E(f)$ $\forall x\in D(f):f(x)=x$ $\nombre del operador{id}_X$

Si se usa el término operador , entonces se dice que el operador actúa de un conjunto a otro y se agrega un registro . $F$ $X$ $Y$ $y=fx$
Si quieren enfatizar que la regla de correspondencia se da por conocida, entonces dicen que sobre el conjunto se da una función que toma valores de . Si la función se debe encontrar como resultado de resolver alguna ecuación, entonces se dice que es una función desconocida o implícitamente dada. En este caso, la función todavía se considera dada, aunque indirectamente. $X$ $F$ $Y$ $F$ $F$
Dado que la igualdad de funciones (en cualquiera de sus definiciones) incluye no solo la coincidencia de las reglas de correspondencia entre los elementos de los conjuntos, sino también la coincidencia de las áreas de tareas, entonces las funciones y , donde es el conjunto de los números reales y es el conjunto de los números reales positivos, son funciones diferentes. $f_{1}(x)=x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{2}(x)=x\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\matemáticas {R}$ $\mathbb{R} ^{+}$
También hay una notación de operador para una función , que se puede encontrar en álgebra general . $y=x^{f}$
El cálculo lambda de Church usa la notación para una función . $\lambda xy$

Funciones de múltiples argumentos:

En términos generales, una función se puede definir en un espacio lineal , en cuyo caso se trata de una función de varios argumentos.

Si el conjunto es un producto cartesiano de conjuntos , entonces el mapeo (donde está el conjunto de números reales) resulta ser un mapeo de -lugar; en este caso, los elementos del conjunto ordenado se denominan argumentos (de una función local dada), cada uno de los cuales recorre su propio conjunto: $X$ $X_{1},\;X_{2},\;\ldots,\;X_{n}$ $f\dos puntos X\a Y$ $Y$ $norte$ $x=(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{n})$ $norte$

x_{i}\en X_{i}

donde _

\forall i:1\leqslant i\leqslant n

En este caso, la notación significa que . $y=f(x)$ $y=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots,\;x_{n})$

Formas de definir una función

Método analítico

Una función se puede definir mediante una expresión analítica (por ejemplo, una fórmula). En este caso, se denota como una correspondencia en forma de igualdad.

Ejemplos:

Una función dada por una sola fórmula:

$f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} ) ;$

Función definida por partes:

$f(x)=|x|={\begin{cases}x,\;\forall x\geqslant 0,\\-x,\;\forall x<0;\end{cases))$

Función implícitamente definida:

$f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);$

Forma gráfica

La función también se puede especificar mediante un gráfico. Sea una función real de variables. Entonces su gráfica es un conjunto de puntos en el espacio -dimensional: . Este conjunto de puntos suele ser una hipersuperficie . En particular, cuando la gráfica de una función en algunos casos se puede representar mediante una curva en un espacio bidimensional. $y=f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\;$ $norte$ $(n+1)$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\))$ $n=1$

Para funciones con tres o más argumentos, dicha representación gráfica no es aplicable. Sin embargo, incluso para este tipo de funciones, se puede llegar a una representación semi-geométrica visual (por ejemplo, cada valor de la cuarta coordenada de un punto se puede asociar con un determinado color en el gráfico, como sucede en los gráficos de funciones complejas ).

Enumeración de valores

Una función en un conjunto finito se puede definir mediante una tabla de valores, indicando directamente sus valores para cada uno de los elementos del dominio de definición. Este método se utiliza, por ejemplo, para definir funciones booleanas . De hecho, este método también es una tarea de la gráfica de la función , si la gráfica de la función se considera como un conjunto de pares ordenados de la forma . $f\dos puntos A\a B$ $(x,f(x))$

Propiedades generales

Composición de mapeos

Sean dadas dos aplicaciones tales que el conjunto de valores del primero sea un subconjunto del dominio del segundo. Luego, la acción sucesiva del primer y segundo mapeo en cualquier argumento del primer mapeo coincide de manera única con un elemento del rango del segundo mapeo:

$f:X\a Y,\;\;g:K\a Z\;\;(Y\subconjunto K)\;\Rightarrow \existe \;h:X\a Z,\;\;h (x)=g(f(x))\;\;(\para todo x\en X)$

En tal caso, se denomina composición de mapeos y se denota mediante una expresión que dice " después de ". En general, la composición no es conmutativa : o $h$ $F$ $gramo$ $g\circ f$ $gramo$ $F$ $g(f(x))\neq f(g(x)),$ $g\circ f\neq f\circ g.$

Inyección

Una función se llama inyectiva (o simplemente inyección ) si dos elementos diferentes del conjunto también están asociados con elementos diferentes (desiguales) del conjunto . Más formalmente, una función es inyectiva si de . En otras palabras, es inyectivo si . $f:X\a Y$ ${\ estilo de visualización x_ {1}, \, x_ {2})$ $X$ $Y$ $F$ ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\;\flecha derecha x_{1}=x_{2))$ $F$ $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Sobreyección

Una función se llama sobreyectiva (o simplemente sobreyectiva ) si cada elemento del conjunto se puede asociar con al menos un elemento del conjunto . Es decir, una función es sobreyectiva si . $f:X\a Y$ $Y$ $X$ $F$ $\forall y\in Y\;\existe x\in X:f(x)=y$

Este mapeo también se denomina mapeo de conjunto a conjunto . Si se viola la condición de sobreyectividad, este mapeo se denomina mapeo de conjunto a conjunto . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Biyección

Una función que es a la vez sobreyectiva e inyectiva se llama biyectiva o biyectiva ( biyección para abreviar ) .

Función inversa

Si la función es una biyección , entonces existe para qué . $f\dos puntos X\a Y$ $f^{{-1}}\dos puntos Y\a X$ $x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)$

La función en este caso se llama la inversa de ; además, también es biyectiva. $f^{-1}$ $F$ $f^{-1}$

Explicación:

Como es una inyección, generalmente hablando una función, se sigue de la sobreyección que se da en . Una función es inyectiva porque es una función, y su sobreyectividad se sigue de su definición. $F$ $f^{-1}$ $F$ $f^{-1}$ $Y$ $f^{-1}$ $F$

En general, se dice que una aplicación que tiene una inversa es invertible . La propiedad de reversibilidad consiste en el cumplimiento simultáneo de dos condiciones: y . $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ $f\circ f^{-1}=\operatorname {id}_{Y}$

Contracción y continuación de la función

Sea dada una aplicación y un conjunto que es un subconjunto estricto del conjunto $f\dos puntos X\a Y$ $M\subsetneq X,$ $X.$

Una aplicación que toma los mismos valores que la función se llama restricción (o de otra manera restricción ) de la función al conjunto . $g\dos puntos M\a Y$ $METRO$ $F$ $F$ $METRO$

La restricción de una función a un conjunto se denota como . $F$ $METRO$ $f{\grande |}_{M}$

En este caso, la función original , por el contrario, se llama la extensión de la función al conjunto . $F,$ $gramo$ $X$

Imagen y prototipo

Imagen y preimagen (cuando se muestra), valor en el punto

El elemento que se asigna al elemento se llama la imagen del elemento (punto) (cuando se muestra ) o el valor de visualización en el punto . $y=f(x)$ $X$ $X$ $F$ $F$ $X$

Si tomamos el subconjunto completo del área de definición de la función , entonces el conjunto de imágenes de todos los elementos de este conjunto, es decir, el subconjunto del área de valor (función ) del formulario $A$ $F$ $F$

f(A):=\{f(x)\dos puntos x\en A\}

se llama la imagen del conjunto bajo mapeo . Este conjunto a veces se denota como o . $A$ $F$ $fa]$ $A^{f}$

La imagen de todo el dominio de una función se denomina imagen de la función o, si la función es una sobreyección , generalmente se denomina rango de la función .

Y viceversa, tomando algún subconjunto en el rango de valores de la función , podemos considerar el conjunto de todos los elementos del área de configuración de la función , cuyas imágenes caen en el conjunto , es decir, el conjunto de la forma $B$ $F$ $F$ $B$

f^{{-1}}(B):=\{x\dos puntos f(x)\en B\}

que se llama la imagen inversa ( completa ) del conjunto (cuando está mapeado ). $B$ $F$

En particular, cuando el conjunto consta de un solo elemento, digamos, entonces el conjunto tiene una notación más simple $B$ $B=\{y\}$ $f^{{-1}}(\{y\})=\{x\dos puntos f(x)=y\}$ $f^{{-1}}(y)$ .

Propiedades de imágenes y prototipos

Propiedades de imagen

Sean y sean subconjuntos del dominio de establecer la función . Entonces las imágenes de los conjuntos y bajo mapeo tienen las siguientes propiedades: $A$ $B$ $f\dos puntos X\a Y$ $A$ $B$ $F$

$f[\varnada]=\varnada$ ;
$A\neq \varnada\Rightarrow f[A]\neq \varnada$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow f[A]\subseteq f[B]$ .

la imagen de la unión de conjuntos es igual a la unión de imágenes: $f[A\taza B]=f[A]\taza f[B];$
la imagen de la intersección de conjuntos es un subconjunto de la intersección de imágenes: . $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$

Las dos últimas propiedades se pueden generalizar a cualquier número de conjuntos.

Si el mapeo es invertible (ver arriba ), entonces la imagen inversa de cada punto del rango es de un punto, por lo que para los mapeos invertibles, se cumple la siguiente propiedad fuerte para las intersecciones:

la imagen de la intersección es igual a la intersección de las imágenes: . $f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]$

Propiedades de los prototipos

Sean y sean subconjuntos del conjunto . Entonces, las imágenes inversas de los conjuntos y bajo el mapeo tienen las siguientes dos propiedades obvias: $A$ $B$ $Y$ $A$ $B$ $f\dos puntos X\a Y$

La preimagen de unión es igual a la unión de preimágenes: ; $f^{-1}[A\taza B]=f^{-1}[A]\taza f^{-1}[B]$
La imagen inversa de la intersección es igual a la intersección de las preimágenes: . $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]$

Estas propiedades se pueden generalizar a cualquier número de conjuntos.

Comportamiento

Ascendente y descendente

Sea una función entonces $f\dos puntos M\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

una función se llama no decreciente en si $F$ $METRO$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

una función se llama no creciente en si $F$ $METRO$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);

una función se llama creciente en si $F$ $METRO$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)>f(y);

una función se llama decreciente en si $F$ $METRO$

(\forall x,y\in M)\ x>y\Rightarrow f(x)<f(y);

Las funciones no crecientes y no decrecientes se denominan ( no estrictamente ) monótonas , mientras que las funciones crecientes y decrecientes se denominan estrictamente monótonas . Para una función arbitraria, uno puede encontrar intervalos de monotonicidad : subconjuntos del dominio en el que la función es de una forma u otra (la rigurosidad se elige en la mayoría de los casos por acuerdo) es monótona.

Periodicidad

Una función se llama periódica con un período si la igualdad $f\dos puntos M\to N$ $T\no=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M

Dado que una función que es periódica con un período también es periódica con períodos de la forma , entonces, en términos generales, el período más pequeño de la función. $T$ $nT\;(n\in \mathbb {N} )$ $T$

Si esta igualdad no se cumple para ninguna , entonces la función se llama aperiódica . $T\en M,\,T\no =0$ $F$

Paridad

Una función se llama impar si la igualdad $f\colon X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Una función se llama incluso si la igualdad $F$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Función extrema

Sea una función dada y un punto sea un punto interior del área de tarea Entonces $f\dos puntos X\to \mathbb {R}$ $x_{0}\en X$ $F.$

$x_{0}$ se llama punto máximo local si existe una vecindad del punto tal que $METRO$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)<f(x_{0});$
$x_{0}$ se llama punto mínimo local si existe una vecindad del punto tal que $METRO$ $x_{0}$ $\forall x\in M,x\neq x_{0}\colon \quad f(x)>f(x_{0}).$

Funciones en teoría de conjuntos

En función de la naturaleza del área de referencia y del área de valor, se distinguen los siguientes casos de áreas:

conjuntos abstractos - conjuntos sin ninguna estructura adicional;
conjuntos que están dotados de alguna estructura.

En el caso 1 , los mapeos se consideran en la forma más general y se resuelven las preguntas más generales, por ejemplo, sobre la comparación de conjuntos en términos de cardinalidad : si hay un mapeo uno a uno (biyección) entre dos conjuntos, entonces estos Los conjuntos se denominan equivalentes o equivalentes . Esto nos permite clasificar los conjuntos según sus cardinalidades, y los más pequeños de ellos, en orden creciente, son los siguientes:

conjuntos finitos - aquí la cardinalidad del conjunto coincide con el número de elementos;
conjuntos contables - conjuntos equivalentes al conjunto de los números naturales ;
conjuntos de potencia de un continuo (por ejemplo, un segmento de la recta real o la propia recta real ).

Así, se obtienen los siguientes tipos de mapeos - según la potencia del dominio de definición:

las funciones finitas son mapeos de conjuntos finitos;
secuencias : un mapeo de un conjunto contable en un conjunto arbitrario;
Las funciones continuas son mapeos de conjuntos incontables en conjuntos finitos, contables o incontables.

En el caso 2 , el objeto principal de consideración es la estructura dada en el conjunto (donde los elementos del conjunto están dotados de algunas propiedades adicionales que conectan estos elementos, por ejemplo, en grupos , anillos , espacios lineales ) y qué sucede con esto. estructura durante el mapeo: si con un mapeo uno a uno se conservan las propiedades de una estructura dada, entonces decimos que se establece un isomorfismo entre las dos estructuras . Así, las estructuras isomorfas dadas en diferentes conjuntos, en términos generales, no se pueden distinguir, por lo que en matemáticas se acostumbra decir que una estructura dada se considera "hasta el isomorfismo ".

Existe una amplia variedad de estructuras que se pueden definir en conjuntos. Esto incluye:

estructura de orden - orden parcial o lineal de elementos de un conjunto;
estructura algebraica - grupoide , semigrupo , grupo , anillo , cuerpo , dominio de integridad o campo , definido sobre los elementos del conjunto;
la estructura del espacio métrico - sobre los elementos del conjunto , se establece la función distancia ;
la estructura del espacio euclidiano - el producto escalar se establece sobre los elementos del conjunto ;
la estructura del espacio topológico : un conjunto de " conjuntos abiertos " (que no contienen su propio límite ) se especifica en el conjunto;
la estructura del espacio medible : el sigma-álgebra de subconjuntos del conjunto original se especifica en el conjunto (por ejemplo, especificando una medida con el sigma-álgebra dado como el dominio de la definición de función)

Las funciones con una determinada propiedad pueden no existir en aquellos conjuntos que no tengan la estructura correspondiente. Por ejemplo, para formular una propiedad como la continuidad de una función definida en un conjunto, se debe definir una estructura topológica en este conjunto .

Variaciones y generalizaciones

Funciones parcialmente definidas

Una función parcialmente definida de un conjunto a un conjunto es una función con un área de tareas . $F$ $X$ $Y$ $f\dos puntos X'\to Y$ $X'={\rm {Dom}}f\subsetneq X$

Algunos autores pueden referirse a la función en sí misma solo a su estrechamiento, de modo que la función se define completamente en el dominio de definición "estrechado". Esto tiene sus ventajas: por ejemplo, es posible escribir , donde - en este caso, significa . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización f (x) = 1/x,}$ ${\mahop {\rm {Dom}}}f=\mathbb {R} \barra invertida \{0\}$

Funciones multivaluadas

Un valor de argumento dado debe coincidir exactamente con el valor de una función, debido a la propia definición de la función. Pero, a pesar de esto, a menudo se pueden encontrar las llamadas funciones multivaluadas . De hecho, esto no es más que una notación conveniente para una función cuyo rango es en sí mismo una familia de conjuntos.

Sea , donde sea una familia de subconjuntos del conjunto . Entonces habrá un conjunto para cada . $f\colon X\to \mathbb {B}$ $\matemáticas {B}$ $Y$ $f(x)$ $x\en X$

Una función tiene un solo valor si cada valor del argumento corresponde a un solo valor de la función. Una función es multivaluada si al menos un valor de argumento corresponde a dos o más valores de función [5] .

Véase también

Notas

↑ VA Zorich . Capítulo I. Algunos conceptos matemáticos generales y notación. § 3. Función // Análisis matemático. Parte I.- Cuarta, corregida. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ 1 2 Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Álgebra y los comienzos del análisis. Libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria. - M., Educación, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . — C. 86-87
↑ G.E. Shilov . Capítulo 2. Elementos de la teoría de conjuntos. § 2.8. El concepto general de una función. Gráfico // Análisis matemático (funciones de una variable). - M. : Nauka, 1969. - S. 69. - 528 p.
↑ 1 2 V. A. Zorich . Capítulo I. Algunos conceptos matemáticos generales y notación. § 3. Función // Análisis matemático. Parte I.- Cuarta, corregida. - M. : MTsNMO, 2002. - S. 13, 22, 25, 31. - 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .
↑ G. Korn, T. Korn. manual de matemáticas. Para científicos e ingenieros. M., 1973 Capítulo 4. Funciones y límites, cálculo diferencial e integral. 4.2. Funciones. 4.2-2. Funciones con propiedades especiales . ( a ), p.99. . Fecha de acceso: 26 de enero de 2012. Archivado desde el original el 19 de enero de 2015. (indefinido)

Literatura

Función. Diccionario Enciclopédico Matemático / Cap. edición Yu. V. Prokhorov. - M.: "Gran Enciclopedia Rusa", 1995.
Klein F. El concepto general de una función . En: Matemáticas elementales desde un punto de vista superior. T. 1. M.-L., 1933.
I. A. Lavrov yL. L. Maksimova Parte I. Teoría de Conjuntos//Problemas en Teoría de Conjuntos, Lógica Matemática y Teoría de Algoritmos. -3ra ed. -M.: Fizmatlit, 1995. - S. 13-21. — 256 págs. —ISBN 5-02-014844-X.
J. L. Kelly . Capítulo 0. Preliminares// Topología general. -2ª ed. -M.: Nauka, 1981. - S. 19-27. — 423 pág.
A. N. Kolmogorov . ¿Qué es una función ? // "Quantum" : Scientific-pop. Phys.-Math. revista - M. : "Nauka" , 1970. - Nº 1 . - S. 27-36 . — ISSN 0130-2221 .
Vilenkin N. Cómo surgió y se desarrolló el concepto de función // "Kvant" : nauch.-pop. Phys.-Math. revista - M. : "Nauka" , 1977. - Nº 7 . - S. 41-45 . — ISSN 0130-2221 .
JJ O'Connor, E. F. Robertson. El concepto de función . MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas . Escuela de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia (octubre de 2005). (indefinido)

diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
BNF : 11946892t TIERRA : 4071510-3 J9U : 987007553160705171 LCCN : sh85052327 NDL : 00564960 NKC : ph114594